Lei dos Senos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A Lei dos Senos determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.

Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos admite as seguintes relações:

lei dos senos

Representação da Lei dos Senos no triângulo.

Exemplo

Para compreender melhor, vamos calcular a medida dos lados AB e BC desse triângulo, em função da medida b do lado AC.

Pela lei dos senos, podemos estabelecer a seguinte relação:

Logo, AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Obs: Os valores dos senos foram consultados na tabela das razões trigonométricas. Nela, podemos encontrar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos de trigonometria. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis. Confira abaixo um quadro com os valores:

Relações Trigonométricas	30°	45°	60°
Seno	1/2	√2/2	√3/2
Cosseno	√3/2	√2/2	1/2
Tangente	√3/3	1	√3

Aplicação da Lei dos Senos

Utilizamos a Lei dos Senos nos triângulos acutângulos, onde os ângulos internos são menores que 90º (agudos); ou nos triângulos obtusângulos, que apresentam ângulos internos maiores que 90º (obtusos). Nesses casos, também é possível utilizar a Lei dos Cossenos.

O objetivo principal da utilização da Lei dos Senos ou Cossenos é de descobrir as medidas dos lados de um triângulo e ainda, de seus ângulos.

Representação de triângulos segundo seus ângulos internos

E a Lei dos Senos no Triângulo Retângulo?

Como mencionado acima, a Lei dos Senos é utilizada nos triângulos acutângulos e obtusângulos.

Já nos triângulos retângulos, formados por um ângulo interno de 90º (reto), utilizamos o Teorema de Pitágoras e as relações entre seus lados: cateto oposto, adjacente e hipotenusa.

Representação do triângulo retângulo e seus lados

Esse teorema possui o seguinte enunciado: "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa". Sua fórmula é expressa:

h² = ca²+ co²

Assim, quando temos um triângulo retângulo, o seno será à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa:

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Já o cosseno, corresponde à proporção entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Exercícios de Vestibular

1.(UFPB) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 200 m do ponto A e na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos $B C com conjunção lógica sobrescrito A espaço e espaço C A com conjunção lógica sobrescrito B$ mediam, respectivamente, 30º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir.

Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de:

$a parêntese direito espaço 200 raiz quadrada de 2 espaço fim da raiz b parêntese direito espaço 180 raiz quadrada de 2 espaço fim da raiz c parêntese direito espaço 150 raiz quadrada de 2 espaço d parêntese direito espaço 100 raiz quadrada de 2 espaço e parêntese direito espaço 50 raiz quadrada de 2$

Ver Resposta

$R e s p o s t a espaço c o r r e t a dois pontos espaço d parêntese direito espaço 100 raiz quadrada de 2$

Objetivo: Determinar a medida de AB.

Ideia 1 - Lei dos senos para determinar AB

A figura forma o triângulo ABC, onde o lado AC mede 200 m e temos dois ângulos determinados.

Sendo o ângulo $B com conjunção lógica sobrescrito$ oposto ao lado AC de 200 m e, o ângulo C oposto ao lado AB, podemos determinar AB através da lei dos senos.

$numerador A B sobre denominador s e n espaço 30 sinal de grau fim da fração espaço igual a espaço numerador A C sobre denominador s e n espaço começar estilo mostrar B com conjunção lógica sobrescrito fim do estilo fim da fração$

A lei dos senos determina que as razões entre as medidas dos lados e os senos dos ângulos opostos, respectivos a esses lados, são iguais em um mesmo triângulo.

Ideia 2 - determinar o ângulo $B com conjunção lógica sobrescrito$

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, assim, podemos determinar o ângulo B.

B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°

Substituindo o valor de $B com conjunção lógica sobrescrito$ na lei dos senos e fazendo os cálculos.

$numerador A B espaço sobre denominador s e n espaço 30 sinal de grau fim da fração espaço igual a numerador espaço A C sobre denominador espaço s e n espaço B fim da fração numerador A B espaço sobre denominador s e n espaço 30 sinal de grau fim da fração espaço igual a numerador espaço A C sobre denominador espaço s e n espaço 45 sinal de grau fim da fração numerador A B espaço sobre denominador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo fim da fração espaço igual a numerador espaço A C sobre denominador espaço começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração 2 A B espaço igual a numerador 2 A C sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração A B espaço igual a numerador A C sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração$

Note que há uma raiz quadrada em um denominador. Vamos tirar esta raiz fazendo a racionalização, que é a multiplicação de ambos, denominador e numerador da fração, pela própria raiz.

$A B espaço igual a numerador A C sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador A C espaço. espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 espaço. espaço raiz quadrada de 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador A C espaço. espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 4 fim da fração espaço igual a espaço numerador A C espaço. espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração$

Substituindo o valor de AC, temos:

$A B espaço igual a espaço numerador 200 espaço. espaço raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 100 raiz quadrada de 2$

Portanto, a distância entre os pontos A e B é de $100 raiz quadrada de 2 espaço m$ .

2. (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Ver Resposta

Resposta correta: e) 1,7 km

Objetivo: determinar a medida do segmento AB.

Ideia 1: Usar a lei senos para descobrir a medida de AB

Lei dos senos: As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos de seus ângulos opostos.

$numerador 12 sobre denominador s e n espaço 30 fim da fração espaço igual a espaço numerador A B sobre denominador espaço s e n espaço começar estilo mostrar C com conjunção lógica sobrescrito fim do estilo fim da fração espaço$

Ideia 2: determinar o ângulo $C com conjunção lógica sobrescrito$

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Ideia 3: Aplicar o valor de C na lei dos senos

$numerador 12 sobre denominador s e n espaço 30 fim da fração espaço igual a espaço numerador A B sobre denominador espaço s e n espaço começar estilo mostrar 45 fim do estilo fim da fração espaço 12 espaço. espaço s e n espaço 45 espaço igual a espaço A B espaço. espaço s e n espaço 30 12 espaço. espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço A B espaço. espaço 1 meio 6 raiz quadrada de 2 espaço igual a numerador A B sobre denominador 2 fim da fração 12 raiz quadrada de 2 espaço igual a espaço A B$

Ideia 4: aproximar o valor da raiz quadrada e usar a escala

Fazendo $raiz quadrada de 2 espaço aproximadamente igual 1 vírgula 4$

12 . 1,4 = 16,8

A escala diz 1:10000, multiplicando:

16,8 . 10000 = 168 000 cm

Ideia 5: passando de cm para km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Conclusão: Como a distância calculada é de 1,68 km, a alternativa que mais se aproxima é a letra e.

Observação: Para passarmos de cm para km, dividimos por 100 000 pois, na seguinte escala, de centímetros para km, conta-se 5 casas para a esquerda.

km -5- hm -4- dam -3- m -2- dm -1- cm --- mm

3. (Unifor-CE) Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, conclui-se que a medida do lado AB do triângulo representado abaixo é:

$a parêntese direito espaço 12 raiz quadrada de 6 espaço m b parêntese direito espaço 12 raiz quadrada de 3 espaço m c parêntese direito espaço 8 raiz quadrada de 6 espaço m d parêntese direito espaço 8 raiz quadrada de 3 espaço m e parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 6 espaço m$

Ver Resposta

$R e s p o s t a espaço c o r r e t a dois pontos espaço e parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 6 espaço m.$

O enunciado fornece a lei dos senos.

$numerador 12 sobre denominador s e n espaço 120 fim da fração espaço igual a espaço numerador A B sobre denominador s e n espaço 45 fim da fração$

Da trigonometria, temos que: sen 120 = sen 60.

Substituindo os valores na fórmula:

$numerador 12 sobre denominador s e n espaço 120 fim da fração espaço igual a espaço numerador A B sobre denominador s e n espaço 45 fim da fração numerador 12 sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração espaço igual a numerador A B sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração 12 espaço. espaço numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço A B espaço. espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração 12 raiz quadrada de 2 espaço igual a espaço A B raiz quadrada de 3 A B espaço igual a espaço 12 numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração$

Para não deixarmos uma raiz no denominador, utilizamos a racionalização, multiplicando o denominador e o numerador pela raiz de 3.

$A B espaço igual a espaço 12 numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração espaço. espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração espaço igual a espaço 12 numerador raiz quadrada de 6 sobre denominador raiz quadrada de 9 fim da fração espaço igual a espaço 12 numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a espaço 4 raiz quadrada de 3$

Portanto, a medida do lado AB é de $4 raiz quadrada de 6 espaço m$ .

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.