Números Irracionais

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

Interessante notar que a descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1.

Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras.

Com vimos, a medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico.

Por mais que tentemos encontrar um valor exato, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 12 casas decimais essa raiz pode ser escrita como:

√2 = 1,414213562373....

Alguns exemplos de irracionais:

• √3 = 1,732050807568....
• √5 = 2,236067977499...
• √7 = 2,645751311064...

Números Irracionais e Dízimas Periódicas

Diferente dos números irracionais, as dízimas periódicas são números racionais. Apesar de apresentarem uma representação decimal infinita, podem ser representados por meio de frações.

A parte decimal que compõe uma dízima periódica apresenta um período, ou seja, possui sempre a mesma sequência de repetição.

Por exemplo, o número 0,3333... pode ser escrito na forma de fração irredutível, pois:

Portanto, as dízimas periódicas não são números irracionais.

Classificação dos Números Irracionais

Os números irracionais podem ser algébricos ou transcendentes. Será algébrico quando satisfaz uma equação algébrica de coeficientes inteiros, se não for algébrico, então será transcendente.

Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x² - 2 = 0, então é irracional algébrico.

O número pi (π) é o mais famoso dos números irracionais transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro.

Um outro exemplo de irracional transcendente é o número de Neper, representado por e, sendo aproximadamente igual a 2,718281.

Podemos ainda citar o número de ouro, representado por Phi (ϕ). Seu valor é ϕ = 1,618033...

O número de ouro é encontrado a partir da razão áurea ou divina proporção, sendo encontrada em muitos elementos da natureza. Além disso, esta razão está presente em diversas pinturas, esculturas e construções.

Vídeo

Veja na animação abaixo e entenda como o número de ouro está presente em nosso cotidiano.

Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Da união deste conjunto com o conjunto dos números racionais (Q) temos o conjunto dos números reais (R).

O conjunto dos números irracionais possui infinitos elementos, sendo que existem mais irracionais do que racionais.

Saiba mais sobre os Conjuntos Numéricos.

Exercícios Resolvidos

1) UEL - 2003

Observe os seguintes números.

I. 2,212121...
II. 3,212223...
III.π/5
IV. 3,1416
V. √- 4

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.

a) I e II
b) I e IV
c) II e III
d) II e V
e) III e V

2) Fuvest - 2014

O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero. Considere as seguintes afirmações:

I. x é irracional.
II. x ≥ 10/3
III. x . 10^{2 000 000} é um inteiro par.

Então:

a) nenhuma das três afirmações é verdadeira.
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c) apenas a afirmação I é verdadeira.
d) apenas a afirmação II é verdadeira.
e) apenas a afirmação III é verdadeira.

3) UFSM - 2003

Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

( ) A letra grega π representa o número racional que vale 3,14159265.
( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum.
( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.

A sequência correta é

a) F - V - V
b) V - V - F
c) V - F - V
d) F - F - V
e) F - V - F

Pratique com exercícios de equações irracionais.

Para saber mais, veja também:

• Números: o que são, história e conjuntos
• Números Naturais
• Números Inteiros
• Teoria dos Conjuntos
• Operações com Conjuntos
• Equações Irracionais

Rosimar Gouveia

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.