Números Complexos


Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária.

Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

O conjunto dos números complexos é indicado por C e definido pelas operações:

  • Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
  • Adição: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
  • Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Unidade Imaginária (i)

Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1). Logo:

i . i = –1 ↔ i2 = –1

Assim, i é a raiz quadrada de –1.

Forma Algébrica de Z

A forma algébrica de Z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:

Z = x + yi

Onde:

  • x é um número real indicado por x = Re (Z), sendo chamado de parte real de Z.
  • y é um número real indicado por y = Im (Z), sendo chamado de parte imaginária de Z.

Conjugado de um Número Complexo

O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Então, se z = a + bi, logo z = a – bi

Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.

Igualdade entre Números Complexos

Sendo dois números complexos Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:

a + bi = c + di quando a = c e b = d

Operações com Números Complexos

Com os números complexos é possível realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Confira abaixo as definições e exemplos:

Adição

Z1 + Z2 = (a + c, b + d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Exemplo:

(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 – 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Subtração

Z1 – Z2 = (a – c, b – d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)

Exemplo:

(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i

Multiplicação

(a, b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc)

Na forma algébrica, usamos a propriedade distributiva:

(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (i2 = –1)
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)

Exemplo:

(4 + 3i) . (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 – 14i + 15
23 – 14i

Divisão

Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2 . Z3

Na igualdade acima, se Z3 = x + yi, temos:

Z1 = Z2 . Z3

a + bi = (c + di) . (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)

Pelo sistema das incógnitas x e y temos:

cx – dy = a
dx + cy = b

Logo,

x = ac + bd/c2 + d2
y = bc – ad/c2 + d2

Exemplo:

2 – 5i/i
2 – 5i/ . (– i)/ (– i)
–2i +5i2/–i2
5 – 2i

Para saber mais, veja também

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (UF-TO) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor a expressão (i + 1)8 é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Alternativa c: 16

2. (UEL-PR) O número complexo z que verifica a equação iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica o conjugado de z) é:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) – i
c) z = (1 – i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 – i

Alternativa e: z = 1 – i

3. (Vunesp-SP) Considere o número complexo z = cos π/6 + i sen π/6. O valor de Z3 + Z6 + Z12 é:

a) – i
b) ½ +√3/2i
c) i – 2
d) i
e) 2i

Alternativa d: i

Videoaula

Para expandir seus conhecimentos sobre os números complexos, assista o vídeo "Introdução aos Números Complexos"

História dos números complexos

A descoberta dos números complexos foi realizada no século XVI graças as contribuições do matemático Girolamo Cardano (1501-1576).

No entanto, somente no século XVIII que esses estudos foram formalizados pelo matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Isso foi um grande avanço na matemática, visto um número negativo ter uma raiz quadrada, o que até a descoberta dos números complexos era considerado impossível.