Números Complexos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os números complexos são números compostos por uma parte real e uma imaginária.

Eles representam o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), cujos elementos pertencem ao conjunto dos números reais (R).

O conjunto dos números complexos é indicado por , onde se definem as operações:

• Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
• Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

Unidade Imaginária (i)

Indicado pela letra i, a unidade imaginária é o par ordenado (0, 1). Logo:

Assim, i é a raiz quadrada de –1, pois:

Exemplo

Forma algébrica de um número complexo

A forma mais usual de representar números complexos é utilizando a forma algébrica ou, binomial.

A forma algébrica, de um número complexo z é:

Onde:

• x é um número real indicado por: x = Re (Z), sendo a parte real de z.
• y é um número real indicado por: y = Im (Z), sendo a parte imaginária de z.

Exemplos

• z = 4 + 3i, onde 4 é a parte real e 3i a imaginária
• z = 8, onde 8 é a parte real e 0 a imaginária
• z = 16i, onde 0 é a parte real e 16i a imaginária. (neste caso chama-se z de imaginário puro)

Conjugado de um Número Complexo

O conjugado de um número complexo z = a + bi é definido por:

Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Exemplos

Se z = 5 + 2i, então

Se z = 1 - 3i, então

Se z = -15i, então

Se z = 4. então

Quando multiplicamos um número complexo por seu conjugado, o resultado será um número real.

Igualdade entre Números Complexos

Sendo dois números complexos Z₁ = (a, b) e Z₂ = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:

a + bi = c + di quando a = c e b = d

Exemplo

e

Então =

Operações com Números Complexos

Com os números complexos é possível realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Confira as definições e exemplos:

Adição

Z₁ + Z₂

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)

Exemplo
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 – 4) + i (3 + 5)
–2 + 8i

Subtração

Z₁ – Z₂

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + i (b – d)

Exemplo
(4 – 5i) – (2 + i)
(4 – 2) + i (–5 –1)
2 – 6i

Multiplicação

Usamos a propriedade distributiva:

(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi² (lembre que i² = –1)
(a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci – bd

Juntando as partes reais e imaginárias:
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + i (ad + bc)

Exemplo
(4 + 3i) . (2 – 5i)
8 – 20i + 6i – 15i²
8 – 14i + 15
23 – 14i

Divisão

Z₁/Z₂ = Z₃
Z₁ = Z₂ . Z₃

Na igualdade acima, se Z₃ = x + yi, temos:

Z₁ = Z₂ . Z₃

a + bi = (c + di) . (x + yi)
a + bi = (cx – dy) + i (cy + dx)

Pelo sistema das incógnitas x e y temos:

cx – dy = a
dx + cy = b

Logo,

x = ac + bd/c² + d²
y = bc – ad/c² + d²

Exemplo:

2 – 5i/i
2 – 5i/ . (– i)/ (– i)
–2i +5i²/–i²
5 – 2i

Plano Complexo ou Plano de Argand-Gauss.

Os números complexos podem ser representados geometricamente no plano complexo.

Dado um número complexo em sua forma algébrica, z = a + bi, um ponto P no plano complexo tem as coordenadas P(a, b) representa este número complexo.

Módulo de um número complexo

O módulo ou, medida de comprimento, de um número complexo é a distância entre a origem do sistema de coordenadas e o ponto que o define no plano complexo. É representado por entre barras verticais, |z| ou pela letra grega e definido como:

Esta definição vem do teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo OPa. |z| é a hipotenusa do triângulo.

Exercícios sobre números complexos com Gabarito

Exercicio 1

(UF-TO) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor a expressão (i + 1)⁸ é:

a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i

Exercício 2

(UEL-PR) O número complexo z que verifica a equação iz – 2w (1 + i) = 0 (w indica o conjugado de z) é:

a) z = 1 + i
b) z = (1/3) – i
c) z = (1 – i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 – i

Exercício 3

(Vunesp-SP) Considere o número complexo z = cos π/6 + i sen π/6. O valor de Z³ + Z⁶ + Z¹² é:

a) – i
b) ½ +√3/2i
c) i – 2
d) i
e) 2i

Confira mais questões com resolução comentada, em Exercícios sobre Números Complexos.

Videoaula

Para expandir seus conhecimentos sobre os números complexos, assista o vídeo "Introdução aos Números Complexos"

História dos números complexos

A descoberta dos números complexos foi realizada no século XVI graças as contribuições do matemático Girolamo Cardano (1501-1576).

No entanto, somente no século XVIII que esses estudos foram formalizados pelo matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Os números complexos foram um avanço na matemática, visto um número negativo ter uma raiz com índice par, o que até a descoberta dos números complexos era considerado impossível.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.