Polinômios

Os polinômios (ou expressões polinomiais) são expressões algébricas que incluem números, incógnitas e expoentes. Ele é representado pela expressão:

an . xn + an – 1 . xn – 1 + ...+a2 . x2 + a1 . x + a0

onde,

n: número natural
x: variável
a0, a1, ....an – 1, an: coeficientes
an . xn, an – 1. xn – 1, ... a1 . x + a0: termos

Atenção!

Um monômio é um número (coeficiente) associado a uma variável, por exemplo: 2x. Note que entre eles há uma operação de multiplicação: 2.x.

Sendo assim, os polinômios são expressões algébricas constituídas por monômios.

Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios. Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios.

Grau dos Polinômios

Dependendo do expoente mais elevado que apresentam em relação à variável, os polinômios são classificados em:

  • Potência 1 (grau 1): x + 6
  • Potência 2 (grau 2): 2x2 + x – 2
  • Potência 3 (grau 3): 5x3 + 10x2 – 6x + 15
  • Potência 4 (grau 4): 20x4 – 15x3+ 5x2 + x – 10
  • Potência 5 (grau 5): 25x5 + 12x4 – 9x3 + 5x2 + x – 1

Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso ocorre, o grau do polinômio não é definido.

Operações com Polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição

(- 7x3 + 5 x2 - x + 4) + (-2x2 + 8x -7)
- 7x3 + 5x2 - 2x2 - x + 8x + 4 - 7
-7x3 + 3x2 + 7x -3

Subtração

(4x2 - 5x + 6) - (3x - 8)
4x2 - 5x + 6 - 3x + 8
4x2 - 8x + 14

Multiplicação

(3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8

Divisão

Polinômios

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

A divisão é formada por: dividendo, divisor, quociente e resto.

divisor . quociente + resto = dividendo

Teorema do Resto

O Teorema do Resto representa o resto na divisão dos polinômios e possui o seguinte enunciado:

O resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual a f(a).

Fatoração de Polinômios

Para realizar a fatoração de polinômios temos as seguintes maneiras:

  • Fator comum em evidência: ax + bx = x (a.b)
  • Agrupamento: ax + bx +ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a.b)
  • Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (adição)
  • Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (subtração)
  • Diferença de dois quadrados: (a + b) . (a – b) = a2 – b2
  • Cubo Perfeito (Soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
  • Cubo Perfeito (Diferença): a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a - b)3

Leia também o artigo: Produtos Notáveis.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (FEI - SP) O resto da divisão do polinômio p (x) = x5 + x4 – x3 + x + 2 pelo polinômio q (x) = x – 1 é:

a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Alternativa a

2. (Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que ax2 + b (x + 1)2 + c (x+2)2 = (x + 3)2 para todo x real, então o valor de a – b + c é:

a) –5
b) –1
c) 1
d) 3
e) 7

Alternativa e

3. (UF-GO) Considere o polinômio:
p(x) = (x – 1) (x – 3)2 (x–5)3 (x –7)4 (x –9)5 (x -11)6.
O grau de p(x) é igual a:

a) 6
b) 21
c) 36
d) 720
e) 1080

Alternativa b

4. (Cefet-MG) O polinômio P(x) é divisível por x – 3. Dividindo-se P(x) por x – 1, obtém-se o quociente Q(x) e resto 10. Nessas condições, o resto da divisão de Q(x) por x – 3 vale:

a) –5
b) –3
c) 0
d) 3
e) 5

Alternativa a

5. (UF-PB) Na inauguração da praça, foram realizadas várias atividades recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte problema: Encontrar valores para a e b, de modo que o polinômio p(x) = ax3 + x2 + bx + 4 seja divisível por q(x) = x2 – x – 2. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além disso, constataram que a e b satisfazem a relação:

a) a2 + b2 = 73
b) a2 – b2 = 33
c) a + b = 6
d) a2 + b = 15
e) a – b= 12

Alternativa a