Exercícios de fatoração de polinômios resolvidos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A fatoração é utilizada na álgebra, geometria, análise numérica e diversos campos da matemática. Pratique com os exercícios que preparamos para você melhorar suas habilidades em fatoração.

Questão 1

Utilizando o fator comum em evidência fatore a expressão abaixo.

$18 reto x à potência de 4 mais 12 reto x ao quadrado mais 10 reto x$

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Resposta: $2 reto x. parêntese esquerdo 9 reto x ao cubo mais 6 reto x mais 5 parêntese direito$

Devemos procurar um divisor que seja comum ao 18, 12 e 10. Como os três são divisíveis por dois, este é um fator comum.

Em relação à incógnita, a menor potência é x, sendo o fator comum. Desta forma:

$18 reto x à potência de 4 mais 12 reto x ao quadrado mais 10 reto x igual a 2 reto x. parêntese esquerdo 9 reto x ao cubo mais 6 reto x mais 5 parêntese direito$

Fora dos parênteses colocamos o fator comum e dentro, o resultado das divisões das parcelas originais por 2x.

Para verificar a resposta, é possível fazer a prova real, aplicando a distributiva e multiplicando 2x pelas parcelas dentro do parênteses. Assim, retornamos à expressão original.

Questão 2

Utilize o agrupamento na fatoração de $3 ax menos 3 reto b mais 9 reto a menos bx$ .

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Resposta: $abre parênteses 3 reto a menos reto b fecha parênteses parêntese esquerdo reto x mais 3 parêntese direito$

Podemos alterar a ordem, a fim de agrupar termos com fatores comuns.

$3 ax menos 3 reto b mais 9 reto a menos bx igual a 3 ax mais 9 reto a menos 3 reto b menos bx$

Colocamos em evidência os fatores comuns:

$3 reto a parêntese esquerdo reto x mais 3 parêntese direito espaço menos espaço reto b parêntese esquerdo reto x mais 3 parêntese direito$

Utilizamos novamente o fator comum em evidência.

$começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo x mais 3 ligadura parêntese direito fim do estilo começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo 3 a menos b ligadura parêntese direito fim do estilo$

Questão 3

Fatore o trinômio quadrado perfeito a seguir:

$25 reto a ao quadrado mais 20 reto a mais 4$

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Resposta: $abre parênteses 5 reto a espaço mais espaço 2 fecha parênteses ao quadrado$

Verificamos se o primeiro e o terceiro termos podem ser escritos com uma potência de expoente 2.

$25 a ao quadrado igual a abre parênteses 5 a fecha parênteses ao quadrado 4 igual a 2 ao quadrado$

Verificamos se o segundo termo pode ser escrito como um produto das bases das potências com o número 2.

20a = 2 . 5a . 2

Assim, escrevemos:

$começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo 5 a espaço mais espaço 2 ligadura parêntese direito fim do estilo à potência de negrito 2$

Questão 4

Escreva a diferença de dois quadrados a seguir como um produto entre expressões algébricas.

$36 reto a à potência de 4 menos 9 reto b ao quadrado$

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Resposta: $abre parênteses 6 reto a ao quadrado mais 3 reto b fecha parênteses abre parênteses 6 reto a ao quadrado menos 3 reto b fecha parênteses$

Escrevemos os termos como potências de expoentes 2.

$36 reto a à potência de 4 menos 9 reto b ao quadrado igual a abre parênteses 6 reto a ao quadrado fecha parênteses ao quadrado menos abre parênteses 3 reto b fecha parênteses ao quadrado$

Uma diferença entre dois quadrados pode ser escrita como um produto da soma pela diferença.

$começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo 6 a ao quadrado mais 3 b ligadura parêntese direito fim do estilo começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo 6 a ao quadrado menos 3 b ligadura parêntese direito fim do estilo$

Questão 5

Utilize o Produto de Stevin para fatorar a seguinte expressão:

$texto x fim do texto ao quadrado mais 7 x mais 12$

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Resposta: $ligadura parêntese esquerdo reto x mais 4 ligadura parêntese direito ligadura parêntese esquerdo reto x mais 3 ligadura parêntese direito$

O produto de Stevin, também conhecido como soma e produto, afirma que polinômios do tipo $reto x ao quadrado mais Sx mais reto P$ ,

onde S = a + b e P = a . b, pode ser escritos como (x+a)(x+b).

Assim, devemos examinar a existência de dois números que somados resultem em 7 e multiplicados igual 12.

Testando as possibilidades:

6 + 1 = 7 e 6 . 1 = 6 (não atende)

5 + 2 = 7 e 5 . 2 = 10 (não atende)

4 + 3 = 7 e 4 . 3 = 12 (atende)

Assim, os números a e b são 4 e 3, não importando a ordem, pois soma e multiplicação são comutativas, ou seja, a ordem não altera o resultado.

Agora podemos escrever o polinômio $texto x fim do texto ao quadrado mais 7 x mais 12$ como um produto entre fatores.

$texto x fim do texto ao quadrado mais 7 reto x mais 12 espaço igual a espaço começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo x mais 4 ligadura parêntese direito fim do estilo começar estilo negrito ligadura parêntese esquerdo x mais 3 ligadura parêntese direito fim do estilo$

Questão 6

Simplifique a expressão:

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Resposta: 1

$numerador abre parênteses reto x ao quadrado menos 16 fecha parênteses parêntese esquerdo reto x menos 4 parêntese direito sobre denominador abre parênteses reto x ao quadrado menos 8 reto x mais 16 fecha parênteses abre parênteses reto x mais 4 fecha parênteses fim da fração igual a numerador abre parênteses x ao quadrado menos 4 ao quadrado fecha parênteses abre parênteses x menos 4 fecha parênteses sobre denominador abre parênteses reto x ao quadrado menos 8 reto x mais 16 fecha parênteses abre parênteses reto x mais 4 fecha parênteses fim da fração igual a numerador abre parênteses x mais 4 fecha parênteses abre parênteses x menos 4 fecha parênteses abre parênteses x menos 4 fecha parênteses sobre denominador abre parênteses x menos 4 fecha parênteses ao quadrado abre parênteses x mais 4 fecha parênteses fim da fração igual a numerador riscado diagonal para baixo sobre abre parênteses x mais 4 fecha parênteses fim do riscado riscado diagonal para cima sobre abre parênteses x menos 4 fecha parênteses abre parênteses x menos 4 fecha parênteses fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre abre parênteses x menos 4 fecha parênteses parêntese esquerdo x menos 4 parêntese direito fim do riscado riscado diagonal para baixo sobre abre parênteses x mais 4 fecha parênteses fim do riscado fim da fração igual a 1$

Questão 7

Determine a diferença entre as áreas dos quadriláteros e escreva na forma fatorada.

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Resposta: x(6+x)

Área do quadrado menor:

$3 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 9 espaço reto m ao quadrado$

Área do quadrado maior:

$parêntese esquerdo 3 mais reto x parêntese direito ao quadrado igual a 9 mais 2.3. reto x mais reto x ao quadrado igual a 9 mais 6 reto x mais reto x ao quadrado$

Diferença:

$9 mais 6 reto x mais reto x ao quadrado menos 9 igual a 6 reto x mais reto x ao quadrado$

Colocando o fator comum x em evidência:

$negrito x negrito parêntese esquerdo negrito 6 negrito mais negrito x negrito parêntese direito$

Questão 8

(CMJF) Respeitada a condição de existência (x ≠ 3) e simplificando a expressão,

$numerador 2 abre parênteses reto x menos 2 fecha parênteses abre parênteses reto x menos 3 fecha parênteses ao cubo menos 3 abre parênteses reto x menos 2 fecha parênteses ao quadrado abre parênteses reto x menos 3 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador abre parênteses reto x menos 3 fecha parênteses ao cubo fim da fração$

obteremos:

a) $numerador reto x abre parênteses reto x menos 2 fecha parênteses sobre denominador abre parênteses reto x menos 3 fecha parênteses ao cubo fim da fração$

b) $numerador reto x parêntese esquerdo 2 menos reto x parêntese direito sobre denominador abre parênteses reto x menos 3 fecha parênteses fim da fração$

c) $numerador reto x parêntese esquerdo reto x menos 2 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo reto x menos 3 parêntese direito ao quadrado fim da fração$

d) $numerador reto x parêntese esquerdo 2 menos reto x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo reto x menos 3 parêntese direito à potência de 4 fim da fração$

Questão 9

(IF - BA) Dada a expressão $numerador abre parênteses reto x ao quadrado mais 6 reto x mais 9 fecha parênteses espaço abre parênteses reto x ao cubo menos 6 reto x ao quadrado mais 9 reto x fecha parênteses sobre denominador reto x à potência de 4 menos 18 reto x ao quadrado mais 81 fim da fração$ , é correto afirmar que, para x = 997, seu valor numérico é igual a

a) 990.

b) 994.

c) 997.

d) 1003

Questão 10

(UEPE) A expressão $reto E igual a numerador reto x mais 2 mais começar estilo mostrar 4 sobre reto x fim do estilo sobre denominador reto x ao quadrado menos começar estilo mostrar 8 sobre reto x fim do estilo fim da fração$ , com $reto x não igual 0$ é equivalente a:

a) x + 2

b) $parêntese esquerdo reto x mais 2 parêntese direito à potência de menos 1 fim do exponencial$

c) x - 2

d) $abre parênteses reto x menos 2 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial$

e) $abre parênteses x menos 1 fecha parênteses à potência de menos 1 fim do exponencial$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.