Fatoração

A fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão de uma maneira mais simplificada.

A fatoração pode ser de números, de raiz quadrada ou de expressões algébricas (polinômios).

Fatoração Numérica

A fatoração numérica (ou fatoração de números) é um método utilizado para decompor os números naturais em fatores primos. Nesse caso, utilizam-se os números primos para realização da operação.

Lembre-se que os números primos são aqueles divisíveis por 1 ou por ele mesmo, por exemplo, 2; 3; 5; 7; 11; 13, etc.

Para exemplificar, vamos fatorar o número 100:

Fatoração

Acima, podemos ver que o processo de fatoração começou com o menor número primo: 2.

Na terceira linha, o número 25 já não era divisor de 2. Assim, passamos para o outro número primo: 3.

No entanto, 25 também não é divisível por 3. Portanto, só poderíamos dividir esse valor pelo próximo número primo, ou seja, o 5.

Logo,

A forma fatorada do número 100 é: 22 . 52

Obs: Lembre-se que para encontrar o MDC (máximo divisor comum) e MMC (mínimo múltiplo comum) dos números, devemos utilizar a fatoração.

Saiba mais sobre esse tema com a leitura dos artigos:

Fatoração de Raízes

Para calcular a raiz quadrada de um número, o processo mais fácil é a fatoração desse número.

Sabemos que a raiz quadrada de um número significa que ele apresenta uma potência 2 (ou está elevado a 2).

Como exemplo, podemos pensar no número 25. Assim, a raiz quadrada de √25 é 5, uma vez que 52 é igual a 25.

Vamos pensar, portanto, num número maior, em que seja necessário realizar a fatoração para encontrar o valor da raiz quadrada:

Exemplo: Qual a raiz quadrada de √2704?

Visto ser um número muito grande, faz-se necessário realizar a fatoração e agrupá-lo em fatores primos.

Fatoração

Sendo assim, após a fatoração vamos agrupar os números de dois em dois, num processo chamado de “quadrados perfeitos”. Para esse caso, temos:

√2704 = √22 . 22 . 132

Ao cortar todos os expoentes 2, temos que 2 . 2 . 13 é igual a 52.

Assim, a √2704 é 52. (pois 522 é 2704)

Entenda mais com a leitura do artigo: .

Fatoração de Polinômios

Os polinômios são expressões algébricas que incluem incógnitas, números e potências. Dependendo da maior potência dos polinômios, eles são classificados em:

Potência 1 (grau 1): 5x + 6 Potência 2 (grau 2): 5x2 + 6x + 2 Potência 3 (grau 3): 5x3 + 10x2 – 6x + 15 Potência 4 (grau 4): 20x4 – 15x3+ 5x2 + x – 10 Potência 5 (grau 5): 25x5 + 12x4 – 9x3 + 5x2 + x – 1

A fatoração dos polinômios serve para representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de seus termos. Ou seja, fatorar um polinômio significa apresentá-lo por meio da multiplicação de dois ou mais polinômios.

Para realizar a fatoração de expressões algébricas existem diversas maneiras de fatorar:

Fator comum em evidência

ax + bx = x (a.b)

Exemplo: 4x + 25 = 4 (x + 20)

Agrupamento

ax + bx +ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a.b)

Exemplo: 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Exemplo: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Exemplo: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

Diferença de dois quadrados

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Exemplo: x2 – 25 = (x + 5) . (x – 5)

Cubo Perfeito (Soma)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Exemplo: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3

Cubo Perfeito (Diferença)

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a - b)3

Exemplo: a3 – 9a2 + 27a – 27 = a3 – 3 . a2 . 3 + 3 . a . 32 – 33 = (a – 3)3

Leia também o artigo:

Exercícios Resolvidos

1. Fatore o número 250.

Fatoração

Logo, o número 250 fatorado é representado: 250 = 2 . 53

2. Qual a raiz quadrada de √729?

Para saber a raiz quadrada de √729, primeiramente temos que fatorar esse número:

Fatoração

Depois de fatorado, vamos reunir os números em quadrados perfeitos, para cortar os expoentes com a raiz:

√729 = √36 =√32 . 32 . 32 = 3 . 3 . 3 = 27

Portanto, √729 = 27

3. Fatore os seguintes polinômios:

a) 33x + 22y – 55z
b) 6nx – 6ny
c) 4x – 8c + mx – 2mc
d) 49 – a2
e) 9a2 + 12a + 4

a) 11. (3x + 2y – 5z)
b) 6n . (x – y)
c) (x – 2c) . (4 + m)
d) (7 + a) . (7 – a)
e) (3a + 2)2