Produtos Notáveis

Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos matemáticos, por exemplo, nas equações de primeiro e de segundo grau.

O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a área da matemática.

Antes de sabermos suas propriedades é importante estar atento a alguns conceitos importantes:

• quadrado: elevado a dois
• cubo: elevado a três
• diferença: subtração
• produto: multiplicação

Propriedades dos Produtos Notáveis

Quadrado da Soma de Dois Termos

O quadrado da soma dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)² = (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

Quadrado da Diferença de Dois Termos

O quadrado da diferença dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)² = (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a – b)² = a² - 2ab + b²

Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

O Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

O produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão:

a² - b² = (a + b) . (a – b)

Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro e do segundo termo.

O Cubo da Soma de Dois Termos

O cubo da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Dessa forma, o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. Por fim, ele é somado ao cubo do segundo termo.

O Cubo da Diferença de Dois Termos

O cubo da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)³ = (a – b) . (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Assim, o cubo do primeiro termo é subtraído ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo. Por conseguinte, ele é somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. E, por fim, é subtraído ao cubo do segundo termo.

Exercícios de Vestibular

1. (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.

2. (FEI) Simplificando a expressão representada a seguir, obtemos:

a) a + b
b) a² + b²
c) ab
d) a² + ab + b²
e) b – a

3. (UFPE) Se x e y são números reais distintos, então:

a) (x² + y²)/(x-y) = x+y
b) (x² - y²)/(x-y) = x+y
c) (x² + y²)/(x-y) = x-y
d) (x² - y²)/(x-y) = x-y
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

4. (PUC-Campinas) Considere as sentenças a seguir:

I. (3x - 2y)² = 9x² - 4y²
II. 5xy + 15xm + 3zy + 9zm = (5x + 3z). (y + 3m)
III. 81x⁶ - 49a⁸ = (9x³ - 7a⁴) . (9x³ + 7a⁴)

a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.

5. (Fatec) A sentença verdadeira para quaisquer números a e b reais é:

a) (a - b)³ = a³ - b³
b) (a + b)² = a² + b²
c) (a + b) (a - b) = a² + b²
d) (a - b) (a² + ab + b²) = a³ - b³
e) a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a + b)³

Para praticar mais:

Exercícios sobre produtos notáveis (comentados e resolvidos)

Exercícios sobre cubo da soma e cubo da diferença (com gabarito)

Veja também:

Polinômios

Fatoração de polinômios

Expressões algébricas