Produtos Notáveis

Rosimar Gouveia

Os produtos notáveis são expressões algébricas utilizadas em muitos cálculos matemáticos, por exemplo, nas equações de primeiro e de segundo grau.

O termo "notável" refere-se à importância e notabilidade desses conceitos para a área da matemática.

Antes de sabermos suas propriedades é importante estar atento a alguns conceitos importantes:

  • quadrado: elevado a dois
  • cubo: elevado a três
  • diferença: subtração
  • produto: multiplicação

Propriedades dos Produtos Notáveis

Quadrado da Soma de Dois Termos

O quadrado da soma dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Assim, o quadrado do primeiro termo é somado ao dobro do primeiro termo pelo segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

Quadrado da Diferença de Dois Termos

O quadrado da diferença dos dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)2 = (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos que:

(a – b)2 = a2 - 2ab + b2

Logo, o quadrado do primeiro termo é subtraído ao dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo e, por fim, somado ao quadrado do segundo termo.

O Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

O produto da soma pela diferença dois termos é representado pela seguinte expressão:

a2 - b2 = (a + b) . (a – b)

Nota-se que ao aplicar a propriedade distributiva da multiplicação, o resultado da expressão é a subtração do quadrado do primeiro e do segundo termo.

O Cubo da Soma de Dois Termos

O cubo da soma de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Dessa forma, o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. Por fim, ele é somado ao cubo do segundo termo.

O Cubo da Diferença de Dois Termos

O cubo da diferença de dois termos é representado pela seguinte expressão:

(a – b)3 = (a – b) . (a – b) . (a – b)

Logo, ao aplicar a propriedade distributiva temos:

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Assim, o cubo do primeiro termo é subtraído ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo. Por conseguinte, ele é somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo. E, por fim, é subtraído ao cubo do segundo termo.

Exercícios de Vestibular

1. (IBMEC-04) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.

Alternativa e: ao quádruplo do produto dos números.

2. (FEI) Simplificando a expressão representada a seguir, obtemos:

a) a + b
b) a² + b²
c) ab
d) a² + ab + b²
e) b – a

Alternativa d: a² + ab + b²

3. (UFPE) Se x e y são números reais distintos, então:

a) (x² + y²)/(x-y) = x+y
b) (x² - y²)/(x-y) = x+y
c) (x² + y²)/(x-y) = x-y
d) (x² - y²)/(x-y) = x-y
e) Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

Alternativa b: (x² - y²)/(x-y) = x+y

4. (PUC-Campinas) Considere as sentenças a seguir:

I. (3x - 2y)2 = 9x2 - 4y2
II. 5xy + 15xm + 3zy + 9zm = (5x + 3z). (y + 3m)
III. 81x6 - 49a8 = (9x3 - 7a4) . (9x3 + 7a4)

a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.

Alternativa e: II e III são verdadeiras.

5. (Fatec) A sentença verdadeira para quaisquer números a e b reais é:

a) (a - b)3 = a3 - b3
b) (a + b)2 = a2 + b2
c) (a + b) (a - b) = a2 + b2
d) (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
e) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a + b)3

Alternativa d: (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.