Sistemas de Equações


Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.

Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas.

Como resolver um sistema de equações do 1º grau?

Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substituição ou o da soma.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação.

Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.

Exemplo

Resolva o seguinte sistema de equações:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left espaçamento de coluna 1.4ex fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a fim da célula 12 linha com célula com 3 x menos y igual a fim da célula 20 fim da tabela fecha

Resolução

Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. Assim temos:

exemplo sistema de equação

Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

3. espaço parêntese esquerdo 12 menos y parêntese direito espaço menos y espaço igual a espaço 20 36 menos 3 y menos y igual a 20 menos 4 y igual a 20 menos 36 4 y igual a 16 y igual a 16 sobre 4 igual a 4

Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o valor do x:

x mais 4 igual a 12 x igual a 12 menos 4 x igual a 8

Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20.

Método da Adição

No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.

Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.

Exemplo

Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left espaçamento de coluna 1.4ex fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a fim da célula 12 linha com célula com 3 x menos y igual a fim da célula 20 fim da tabela fecha

Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo:

exemplo sistema por adição

Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação:

x igual a 32 sobre 4 igual a 8

Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples:

8 mais y igual a 12 seta dupla para a direita y igual a 12 menos 8 seta dupla para a direita y igual a 4

Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição.

Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método.

Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 x mais y igual a 24 fim da célula linha com célula com 5 x mais 2 y igual a 60 fim da célula fim da tabela fecha

Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação.

Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado de multiplicarmos todos os termos por - 2, para não modificarmos a igualdade.

Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 6 x menos 2 y igual a menos 48 fim da célula linha com célula com 5 x mais 2 y igual a 60 fim da célula fim da tabela fecha

Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo:

exemplo método da adição

Logo, x = - 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações para encontrar o valor do y. Substituindo na primeira equação, temos:

menos 6. parêntese esquerdo menos 12 parêntese direito menos 2 y igual a menos 48 mais 72 menos 2 y igual a menos 48 menos 2 y igual a menos 48 menos 72 menos 2 y igual a menos 120 y igual a 120 sobre 2 igual a 60

Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60)

Classificação dos sistemas de equações

Um sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y, formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

O sistema será possível e determinado quando apresentar uma única solução. Isso acontecerá quando:

a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito não igual b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito

Quando o sistema apresentar infinitas soluções, será classificado como possível e indeterminado. A condição para que um sistema seja desse tipo é:

a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito igual a b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito igual a c com 1 subscrito sobre c com 2 subscrito

Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma solução. Nesse tipo de sistema temos:

a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito igual a b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito não igual c com 1 subscrito sobre c com 2 subscrito

Exemplo

Classifique o sistema abaixo:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 2 x mais y igual a menos 4 fim da célula linha com célula com 4 x mais 2 y igual a 6 fim da célula fim da tabela fecha

Para identificar o tipo de sistema, vamos calcular a razão entre os coeficientes das equações:

a com 1 subscrito sobre a com 2 subscrito igual a 2 sobre 4 b com 1 subscrito sobre b com 2 subscrito igual a 1 meio c com 1 subscrito sobre c com 2 subscrito igual a numerador menos 4 sobre denominador 6 fim da fração igual a menos 2 sobre 3

Como

2 sobre 4 igual a 1 meio não igual menos 2 sobre 3

Então, o sistema é impossível.

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Cefet - RJ - 2016

Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa?

a) R$ 0,05
b) R$ 0,15
c) R$ 0,25
d) R$ 0,35

Considerando x o valor da garrafa e y o valor da tampa, temos o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 0 vírgula 60 fim da célula linha com célula com x igual a 0 vírgula 50 mais espaço y fim da célula fim da tabela fecha espaço o u espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais y igual a 0 vírgula 60 fim da célula linha com célula com x menos y igual a 0 vírgula 50 fim da célula fim da tabela fecha

Resolvendo o sistema por adição, temos:

Error converting from MathML to accessible text.

x = 0,55 , que é o valor da garrafa. Logo só a tampa custa 0,55-0,50 = 0,05

Alternativa a: R$0,05

2) Cefet - RJ - 2014

Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

a) 120
b) 125
c) 130
d) 135

Considerando x a quantidade de dias na 1ª situação; e y a quantidade de dias na 2ª situação, e que em ambas situações o número de páginas lidas é o mesmo, podemos formar o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 5. x igual a 3. y fim da célula linha com célula com x espaço igual a y menos 16 fim da célula fim da tabela fecha

Resolvendo o sistema por substituição, temos:

5 (y-16) = 3y
5y - 80 = 3y
5y - 3y = 80
2y = 80
y = 80/2 = 40

O número de páginas do livro será dado por 3.y, logo o livro tem 120 páginas.

Alternativa a: 120

3) Uerj - 2015

Questão 23 Uerj 2015

De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas.
Desse total, o número de unidades de maçãs comprado foi igual a:

a) 24
b) 30
c) 36
d) 42

Considerando as informações contidas na imagem e nos dados do problema, temos o seguinte sistema:

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 5. x espaço mais 5. y espaço mais 12 espaço igual a espaço 67 fim da célula linha com célula com 6. x mais y mais 48 igual a 89 fim da célula fim da tabela fecha

Vamos resolver o sistema por substituição, isolando o y na segunda equação. Assim, temos:

y= 41-6x

Substituindo na segunda equação, encontramos:

5x + 5(41 - 6x) = 67 - 12
5x +205 - 30x = 55
30x - 5x = 205 - 55
25x = 150
x = 6

Logo, foram comprados 6 lotes de maçãs. Como cada lote tem 6 unidade, então foram comprados 36 unidades de maçãs.

Alternativa c: 36