Equações irracionais

Equações irracionais apresentam uma incógnita dentro de um radical, ou seja, há uma expressão algébrica no radicando.

tabela linha com blank blank radical blank blank blank linha com blank blank seta para baixo blank blank blank linha com índice seta para a direita célula com reto n enésima raiz de reto x espaço espaço fim da célula célula com igual a reto y fim da célula seta para a esquerda raiz linha com blank blank seta para cima blank blank blank linha com blank blank radicando blank blank blank fim da tabela

Confira alguns exemplos de equações irracionais.

  • raiz quadrada de menos reto x espaço mais espaço 3 fim da raiz igual a 2
  • raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço 25 fim da raiz igual a 4
  • cúbica raiz de reto x ao quadrado menos espaço 1 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 5

Como resolver uma equação irracional?

Para resolver uma equação irracional a radiciação deve ser eliminada, transformando-a em uma equação racional mais simples para encontrar o valor da variável.

Exemplo 1

raiz quadrada de 2 reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3

1º passo: isole o radical no primeiro membro da equação.

raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço igual a menos 3 mais 4 raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço igual a 1

2º passo: eleve ambos os membros da equação ao número que corresponde ao índice do radical.

Por se tratar de uma raiz quadrada, deve-se elevar os dois membros ao quadrado e, com isso, elimina-se a raiz.

parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 x espaço mais espaço 5 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a 1 ao quadrado 2 reto x espaço mais espaço 5 espaço igual a espaço 1 espaço

3º passo: encontre o valor de x resolvendo a equação.

2 reto x espaço mais espaço 5 espaço igual a 1 2 reto x espaço igual a espaço 1 espaço menos 5 2 reto x espaço igual a espaço menos 4 reto x espaço igual a espaço numerador menos 4 sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço menos 2

4º passo: verifique se a solução é verdadeira.

raiz quadrada de 2 reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3 raiz quadrada de 2. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a espaço menos 3 raiz quadrada de menos 4 espaço mais espaço 5 fim da raiz espaço menos espaço 4 espaço igual a menos 3 raiz quadrada de 1 espaço menos 4 igual a espaço menos 3 1 espaço menos 4 igual a espaço menos 3 menos 3 espaço igual a espaço menos 3

Para a equação irracional, o valor de x é – 2.

Exemplo 2

reto x espaço menos 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz

1º passo: elevar ambos os membros da equação ao quadrado.

parêntese esquerdo reto x espaço menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço parêntese esquerdo reto x espaço menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5

2º passo: resolva a equação.

parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 1 parêntese direito. parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5 reto x ao quadrado espaço menos reto x espaço menos reto x espaço mais 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais 5 reto x ao quadrado espaço menos 2 reto x espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 5 reto x ao quadrado espaço menos 2 reto x espaço menos reto x espaço mais 1 espaço menos espaço 5 espaço igual a espaço 0 reto x ao quadrado espaço menos 3 reto x espaço menos 4 espaço igual a espaço 0

3º passo: encontre as raízes da equação do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.

reto x espaço igual a espaço numerador menos reto b espaço mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos espaço 4. reto a. reto c fim da raiz sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 16 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais ou menos espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração tabela linha com célula com reto x apóstrofo espaço igual a espaço numerador 3 espaço mais espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 8 sobre 2 igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla espaço igual a espaço numerador 3 espaço menos espaço 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 sobre 2 igual a espaço menos 1 fim da célula fim da tabela em moldura esquerda fecha moldura

4º passo: verificar qual a solução verdadeira para a equação.

Para x = 4:

reto x espaço menos 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de reto x espaço mais espaço 5 fim da raiz 4 espaço menos espaço 1 espaço igual a espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 5 fim da raiz 3 espaço igual a espaço raiz quadrada de 9 3 espaço igual a espaço 3

Para a equação irracional, o valor de x é 3.

Para x = – 1.

Error converting from MathML to accessible text.

Para a equação irracional, o valor x = – 1 não é uma solução verdadeira.

Veja também: Números Irracionais

Exercícios sobre equações irracionais (com gabarito comentado)

1. Resolva as equações irracionais em R e verifique se as raízes encontradas são verdadeiras.

a) raiz quadrada de reto x ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5

Resposta correta: x = 3.

1º passo: elevar os dois termos da equação ao quadrado, eliminar a raiz e resolver a equação.

parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço menos espaço 4 fim da raiz parêntese direito à potência de 2 espaço fim do exponencial igual a espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 parêntese direito ao quadrado espaço reto x ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço igual a espaço 5 reto x ao quadrado espaço igual a espaço 5 espaço mais espaço 4 reto x ao quadrado espaço igual a 9 reto x espaço igual a espaço 3

2º passo: verificar se a solução é verdadeira.

raiz quadrada de reto x ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 3 ao quadrado menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 9 menos espaço 4 fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 raiz quadrada de 5 espaço igual a raiz quadrada de 5

b) raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1

Resposta correta: x = – 3.

1º passo: isolar o radical em um lado da equação.

raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço reto x

2º passo: elevar ambos os termos ao quadrado e resolver a equação.

parêntese esquerdo raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito ao quadrado espaço menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito. parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto x parêntese direito menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a 1 espaço menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado menos reto x ao quadrado mais espaço 25 igual a 1 menos 2 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado 0 espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço 25 espaço menos 2 reto x espaço espaço mais espaço reto x ao quadrado mais espaço reto x ao quadrado 0 espaço igual a espaço menos 24 espaço menos 2 reto x espaço mais 2 reto x ao quadrado

3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.

reto x espaço igual a espaço numerador menos reto b espaço mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos espaço 4. reto a. reto c fim da raiz sobre denominador 2. reto a fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao quadrado menos espaço 4.2. parêntese esquerdo menos 24 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.2 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço 192 fim da raiz sobre denominador 4 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 196 sobre denominador 4 fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais ou menos espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração tabela linha com célula com reto x apóstrofo espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração igual a 16 sobre 4 igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla espaço igual a espaço numerador 2 espaço menos espaço 14 sobre denominador 4 fim da fração igual a menos 12 sobre 4 igual a espaço menos 3 fim da célula fim da tabela em moldura esquerda fecha moldura

4º passo: verificar qual solução é verdadeira.

Para x = 4:

raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 4 ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 16 mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço 4 espaço igual a 1 espaço raiz quadrada de 9 espaço mais espaço 4 igual a 1 3 espaço mais espaço 4 igual a espaço 1 7 não igual espaço 1

Para x = – 3:

raiz quadrada de menos reto x ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito ao quadrado mais espaço 25 fim da raiz espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de menos 9 mais espaço 25 fim da raiz espaço menos espaço 3 igual a espaço 1 raiz quadrada de 16 espaço menos 3 igual a espaço 1 4 espaço menos 3 espaço igual a espaço 1 1 espaço igual a espaço 1

Para os valores de x encontrados, apenas x = – 3 é a verdade solução da equação irracional.

Veja também: Fórmula de Bhaskara

2. (Ufv/2000) Sobre a equação irracional raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1 é CORRETO afirmar que:

a) não possui raízes reais.
b) possui apenas uma raiz real.
c) possui duas raízes reais distintas.
d) é equivalente a uma equação do 2º grau.
e) é equivalente a uma equação do 1° grau.

Alternativa correta: a) não possui raízes reais.

1º passo: elevar os dois termos ao quadrado.

raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1 parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito ao quadrado

2º passo: resolver a equação.

parêntese esquerdo raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito ao quadrado reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a espaço reto x ao quadrado menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais 1 reto x ao quadrado mais 1 espaço igual a reto x ao quadrado espaço menos espaço 2 reto x espaço mais 1 reto x ao quadrado espaço menos espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x espaço igual a espaço 1 espaço menos 1 2 reto x espaço igual a espaço 0 reto x espaço igual a 0 sobre 2 reto x espaço igual a 0

3º passo: verificar se a solução é verdadeira.

raiz quadrada de reto x ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a reto x menos 1 raiz quadrada de 0 ao quadrado mais 1 fim da raiz espaço igual a 0 menos 1 raiz quadrada de 1 espaço igual a menos 1 1 espaço não igual menos 1

Como o valor de x encontrado não satisfaz a solução da equação irracional, não há raízes reais.