Pratique exercícios de equações biquadradas com gabarito e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Exercício 1
Determine a soma das raízes reais de .
Resposta: A soma das raízes reais é zero.
Fatoramos o como e reescrevemos a equação como:
Fazemos e substituímos na equação.
Recaímos em uma equação do segundo grau com parâmetros:
a = 1
b = -2
c = -3
O discriminante da equação é:
As raízes são:
y1 e y2 são as raízes da equação do segundo grau, mas estamos determinando as raízes da equação biquadrada, do 4º grau.
Utilizamos a relação para determinar as raízes da equação biquadrada para cada valor de y encontrado.
Para y1 = 3
são raízes reais.
Para y2 = -1
Como não há no conjunto dos números reais uma solução para raiz quadrada de um número negativo, as raízes são complexas.
Assim, a soma das raízes reais é:
Exercício 2
Determine o conjunto solução da equação:
Resposta correta:
Primeiro devemos manipular a equação a fim de posicionar no mesmo membro da igualdade.
Fazendo a distributiva e passando o 81 para o lado esquerdo:
Temos um equação biquadrada, ou seja, duas vezes quadrada. Para resolver, utilizamos uma variável auxiliar, fazendo:
Fatoramos o na equação I e o reescrevemos como . Assim, a equação I fica:
Utilizamos o artifício da equação II, substituindo na equação I, por .
Uma vez que temos uma equação do segunda grau, vamos resolvê-la utilizando Bhaskara.
Os parâmetros são:
a = 1
b = -18
c = 81
O delta é:
As duas raízes serão iguais a:
Uma vez determinadas as raízes y1 e y2, as substituímos na equação II:
Desta forma, o conjunto solução da equação é:
Exercício 3
A seguinte equação apresenta quatro raízes irracionais. Determine o conjunto solução da equação:
Resposta:
Passando o 15 para o lado esquerdo:
Fatorando como :
Fazendo e substituindo na equação:
Na equação polinomial do segundo grau de variável y, os parâmetros são:
a = 1
b = -8
c = 15
Utilizando Bhaskara para determinar as raízes:
A equação que estamos resolvendo é a biquadrada, de variável y, por isto temos que voltar com os valores para y.
Substituindo na relação :
Para a raiz x1=5
Para a raiz x2 = 3
Desta forma, o conjunto solução é: .
Exercício 4
Determine o produto das raízes reais de .
Resposta: o produto das raízes reais da equação é -4.
Fatorando para e reescrevendo a equação biquadrática:
Fazendo e substituindo na equação, temos uma equação do segundo grau de parâmetros:
a = 1
b = 2
c = -24
O delta é:
As raízes são:
A equação biquadrática está na variável x, portanto devemos voltar através da relação .
Para y1 = 4
Para y2 = -6
Como não há solução real para a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.
O produto das raízes reais será:
Exercício 5
Determine as raízes da equação: .
Resposta: As raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.
Fazendo a distributiva e trazendo o -81 para o lado esquerdo:
Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 9:
Como obtemos uma equação biquadrada, vamos reduzí-la a uma equação do segundo grau, fazendo .
A equação fica:
Os parâmetros são:
a = 1
b = -10
c = 9
O delta será:
As raízes são:
Voltando para x, fazemos:
Para a raiz y1 = 9
Para a raiz y2 = 1
Logo, as raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.
Exercício 6
(SEDUC-RJ 2015) Seja S o conjunto solução da inequação para x pertencente ao conjunto dos números reais. A quantidade total de números inteiros que pertencem ao conjunto S é igual a
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Resposta correta: d) 6
Fatorando o para e reescrevendo a inequação:
Fazendo e substituindo na inequação anterior:
Resolvendo a inequação de parâmetros:
a = 1
b = -20
c = 64
Calculando o delta:
As raízes serão:
Substituindo as raízes y1 e y2 na relação entre x e y:
Para a raiz y1 = 16
Para a raiz y2 = 4
Analisando os intervalos que satisfazem a condição :
[ -4 ; -2 ] e [2 ; 4]
Logo, considerando apenas os inteiros que compõem os intervalos:
-4, -3, -2 e 2, 3, 4
Seis números inteiros satisfazem a inequação.
Exercício 7
(ETAM 2015) A solução da equação é:
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: a) .
Fatorando para e reescrevendo a equação:
Fazendo e substituindo na equação acima:
Recaímos em uma equação do segundo grau de parâmetros:
a = 2
b = -8
c = 6
Calculando o delta:
A raízes são:
Substituindo as raízes da equação do segundo grau x1 e x2 na equação que relaciona x e y:
Para x = 3, temos:
Para x = 1, temos:
Logo, o conjunto solução é:
Exercício 8
.(Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de vale:
Resposta correta: .
Fatorando igual a e reescrevendo a equação:
Fazendo e reescrevendo a equação:
Na equação do segundo grau os parâmetros são;
a= 1
b= -11
c = 18
O delta é:
Agora devemos substituir os valores das raízes da equação do segundo grau y1 e y2 na relação .
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
.
como 
e reescrevemos a equação como:
e substituímos na equação.
são raízes reais.
no mesmo membro da igualdade.
.
.
.
para x pertencente ao conjunto dos números reais. A quantidade total de números inteiros que pertencem ao conjunto S é igual a
é:
para 
e reescrevendo a equação:
e substituindo na equação acima:
vale:
.
