Soma e Produto

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x² - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros. Onde S é a soma e P o produto.

Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:

$começar estilo tamanho matemático 22px reto x com 1 subscrito mais reto x com 2 subscrito igual a menos reto b sobre reto a reto x com 1 subscrito espaço. espaço reto x com 2 subscrito espaço igual a reto c sobre reto a fim do estilo$

Sendo,

x₁ e x₂: raízes da equação do 2º grau
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau

Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.

Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.

Como encontrar esses números?

Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a $c sobre a$ . Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.

Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.

Para tal, teremos as seguintes situações:

P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
P > 0 e S < 0 ⇒ As duas raízes são negativas.
P < 0 e S > 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.
P < 0 e S < 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é negativa.

Exemplos

a) Encontre as raízes da equação x² - 7x + 12 = 0

Os coeficientes são:
a = 1
b = -7
c = 12

$P espaço igual a espaço c sobre a espaço igual a espaço 12 sobre 1 igual a 12 S espaço igual a menos b sobre a igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito sobre denominador 1 fim da fração igual a mais 7$

Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12.
Sabemos que:

1 . 12 = 12
2 . 6 = 12
3 . 4 = 12

Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7.
Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7

b) Encontre as raízes da equação x² + 11x + 24

Os coeficientes são:
a = 1
b = 11
c = 24

$P espaço igual a espaço c sobre a espaço igual a espaço 24 sobre 1 espaço igual a espaço 24 S espaço igual a espaço menos b sobre a espaço igual a espaço numerador menos 11 sobre denominador 1 fim da fração espaço igual a menos 11$

Procurando o produto igual a 24, temos:

1 . 24 = 24
2 . 12 = 24
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24

Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.

c) Quais são as raízes da equação 3x² - 21x - 24 = 0?

Os coeficientes são:
a = 3
b = -21
c = -24

$P espaço igual a espaço c sobre a espaço igual a numerador menos 24 sobre denominador 3 fim da fração igual a menos 8 S espaço igual a espaço menos b sobre a igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 21 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração igual a 7$

O produto poderá ser:

1 . 8 = 8
2 . 4 = 8

Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.

Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7

d) Encontre as raízes da equação x² + 3x + 5

Os coeficientes são:
a = 1
b = 3
c = 5

$P igual a c sobre a espaço igual a espaço 5 sobre 1 espaço igual a espaço 5 S espaço igual a espaço menos b sobre a igual a numerador menos 3 sobre denominador 1 fim da fração igual a menos 3$

O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.

Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆<0).

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

O valor do produto das raízes da equação 4x² + 8x - 12 = 0 é:

a) - 12
b) 8
c) 2
d) - 3
e) não existe

Ver Resposta

Resposta correta: d) - 3

Resolução

Passo 1: determinar as raízes x1 e x2 da equação.
Os coeficientes são:
a = 4
b = 8
c = -12

Pelo método soma e produto, temos:
$P espaço igual a espaço c sobre a espaço igual a espaço numerador menos 12 sobre denominador 4 fim da fração igual a menos 3$

Como o produto é negativo, as raízes devem ter sinais contrários. As possibilidades são:
3 . (-1) ou -3 . 1

$S igual a menos b sobre a espaço igual a 8 sobre 4 igual a menos 2$

Como a soma é negativa, a raiz com maior valor absoluto deve ser a negativa.

Dessa forma, temos que as raízes são -3 e 1 pois, -3 + 1 = -2.

Passo 2: multiplicar as raízes.
$menos 3 espaço. espaço 1 espaço igual a espaço menos 3$

Portanto, a resposta é a opção b, -3.

Exercício 2

A equação x² - x - 30 = 0 apresenta duas raízes iguais a:

a) - 6 e - 5
b) - 1 e - 30
c) 6 e - 5
d) 30 e 1
e) - 6 e 5

Ver Resposta

Resposta correta: c) 6 e - 5.

Resolução

Passo 1: determinar as raízes x1 e x2 da equação.
Os coeficientes são:
a = 1
b = -1
c = -30

Pelo método soma e produto das raízes, temos:

$P espaço igual a espaço c sobre a espaço igual a espaço numerador menos 30 sobre denominador 1 fim da fração igual a menos 30$

Como o produto é negativo as raízes devem ter sinais diferentes.

Possibilidades:
1 . 30
2 . 15
3 . 10
5 . 6

$S espaço igual a espaço menos b sobre a espaço igual a espaço menos numerador menos 1 sobre denominador 1 fim da fração igual a menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a mais 1$

Como a soma é positiva, a raiz com maior valor absoluto deve ser positiva.

Das possibilidades determinadas no produto, apenas 5 e 6 satisfazem esta condição, sendo:

6 - 5 = 1

Portanto, as raízes são -5 e 6.

3) Se 1 e 5 são as raízes da equação x² + px + q = 0, então o valor de p + q é :

a) - 2
b) - 1
c) 0
d) 1
e) 2

Ver Resposta

Resposta correta: b) -1.

Resolução

Os coeficientes são:
a = 1
b = p
c = q

As raízes são 1 e 5.

Passo 1: determinar p e q

Usando as relações do método soma e produto temos:

Do produto:

$x com 1 subscrito espaço. espaço x com 2 subscrito espaço igual a espaço c sobre a 1 espaço. espaço 5 espaço igual a espaço q sobre 1 5 espaço igual a espaço q$

Da soma:

$x com 1 subscrito mais espaço x com 2 subscrito igual a menos b sobre a 1 espaço mais espaço 5 espaço igual a espaço menos espaço p sobre 1 6 espaço igual a espaço menos p espaço 6 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a espaço menos p espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito menos 6 espaço igual a espaço p$

Passo 2: somar p + q

p + q = -6 + 5 = -1

Portanto, a resposta é a opção b) -1

Pratique mais exercícios sobre equações do 2° grau.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.