Função Quadrática - Exercícios

Rosimar Gouveia

A função quadrática é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Este tipo de função pode ser aplicada em diversas situações do cotidiano, nas mais variadas áreas. Portanto, saber resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é fundamental.

Assim, aproveite as questões de vestibulares resolvidas e comentadas para tirar todas as suas dúvidas.

Questões de Vestibulares Resolvidas

1) UFRGS - 2018

As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, o valor de b - c é
a) −26.
b) −22.
c) −1.
d) 22.
e) 26.

As raízes de uma equação do 2º grau correspondem aos valores de x em que o resultado da equação é igual a zero.

Portanto, substituindo o x pelos valores das raízes poderemos encontrar o valor de b e c. Fazendo isso, ficaremos com o seguinte sistema de equações:

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Subtraindo os valores encontrados, temos:

b - c = 2 - (-24) = 26

Alternativa e) 26

2) Enem - 2017

A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Questão função quadrática Enem 2017

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

a) 16/3
b) 31/5
c) 25/4
d) 25/3
e) 75/2

Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a parábola no eixo cartesiano, conforme figura abaixo.

Função do 2º grau Enem 2017

Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. Assim, notamos que a altura representa o ponto (0, yH).

Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da função e que o ponto (4,3) pertence a parábola.

Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

Onde:

a: coeficiente
x1 e x2: raízes da equação

Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:

itálico 3 itálico igual a a itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 4 itálico menos itálico 5 itálico parêntese direito itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 4 itálico mais itálico 5 itálico parêntese direito itálico 3 itálico igual a a itálico. itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 1 itálico parêntese direito itálico. itálico 9 a itálico igual a itálico menos itálico 3 sobre itálico 9 itálico igual a itálico menos itálico 1 sobre itálico 3

Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima:

y com H subscrito itálico igual a itálico menos itálico 1 sobre itálico 3 itálico parêntese esquerdo itálico 0 itálico menos itálico 5 itálico parêntese direito itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 0 itálico mais itálico 5 itálico parêntese direito y com H subscrito itálico igual a itálico 25 sobre itálico 3

Alternativa: d) 25/3

3) UNESP - 2017

Uma função quadrática f é dada por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais. Se f(1) = –1 e f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a

a) –12.
b) –6.
c) –10.
d) –5.
e) –9.

O gráfico da função apresentada é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois a = 1 (positivo). Sendo assim, o menor valor da f(x) será a coordenada y do seu vértice.

Sendo yv encontrado através da fórmula:

y com v subscrito itálico igual a itálico menos numerador itálico incremento sobre denominador itálico 4 a fim da fração itálico espaço e itálico espaço itálico incremento itálico igual a b à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. a itálico. c

Assim, para encontrar o vértice é necessário conhecer os valores de b e c. Para tal, iremos utilizar as informações, substituindo os valores de x e y na função. Ou seja:

Expressão I : f(1) = - 1 ⇒ 12 + 1 . b + c = - 1 ⇒ b + c = - 2
Expressão II : f(2) - f(3) = 1 ⇒ 22+ 2 . b + c - (32 + 3 . b + c) = 1 ⇒ 4 + 2b +c - 9 - 3b - c = 1
⇒ - 5 - b = 1⇒ b = - 6

Substituindo o valor encontrado de b, na expressão I, temos:

- 6 + c = - 2 ⇒ c = - 2 + 6 ⇒ c = 4

Portanto, a função é: f(x) = x2 - 6x + 4. Calculando o yv desta função, encontramos:

y com v subscrito itálico igual a itálico menos numerador itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 6 itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 1 itálico. itálico 4 sobre denominador itálico 4 itálico. itálico 1 fim da fração itálico igual a itálico menos numerador itálico 36 itálico menos itálico 16 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico igual a itálico menos itálico 20 sobre itálico 4 itálico igual a itálico menos itálico 5

Alternativa: d) -5

4) UERJ - 2016

Observe a função f, definida por:

f itálico parêntese esquerdo x itálico parêntese direito itálico espaço itálico igual a x à potência de itálico 2 itálico menos itálico 2 k x itálico mais itálico 29 itálico vírgula itálico espaço p a r a itálico espaço x itálico pertence números reais

Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

a) 5
b) 6
c) 10
d) 15

Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da função é mínimo.

No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, usaremos a expressão do yv para calcular o valor do parâmetro k.

S e n d o itálico espaço y com v subscrito itálico igual a itálico menos numerador itálico incremento sobre denominador itálico 4 a fim da fração itálico vírgula itálico espaço itálico espaço s u b s t i t u i n d o itálico espaço o s itálico espaço v a l o r e s itálico vírgula itálico espaço t e m o s itálico dois pontos itálico 4 itálico igual a itálico menos numerador itálico parêntese esquerdo itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 2 k itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 1 itálico. itálico 29 itálico parêntese direito sobre denominador itálico 4 itálico. itálico 1 fim da fração itálico 4 itálico igual a itálico menos numerador itálico parêntese esquerdo itálico 4 k à potência de itálico 2 itálico menos itálico 116 itálico parêntese direito sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico 16 itálico igual a itálico menos itálico 4 k à potência de itálico 2 itálico mais itálico 116 itálico 4 k à potência de itálico 2 itálico igual a itálico 116 itálico menos itálico 16 k à potência de itálico 2 itálico igual a itálico 100 sobre itálico 4 k itálico igual a raiz quadrada de itálico 25 itálico igual a itálico mais ou menos itálico 5

Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k = - 5

Alternativa: a) 5

5) UFSM - 2015

A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão

reto V parêntese esquerdo reto t parêntese direito igual a menos 1 sobre 43200 reto t ao quadrado mais 3

representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos)

Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?

a) 360.
b) 180.
c) 120.
d) 6.
e) 3.

O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, vamos igualar a função dada a zero e calcular o valor de t.

itálico menos itálico 1 sobre itálico 43200 t à potência de itálico 2 itálico mais itálico 3 itálico igual a itálico 0 itálico menos itálico 1 sobre itálico 43200 t à potência de itálico 2 itálico igual a itálico menos itálico 3 t à potência de itálico 2 itálico igual a itálico menos itálico 3 itálico. itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 43200 itálico parêntese direito t à potência de itálico 2 itálico igual a itálico 129600 t itálico igual a raiz quadrada de itálico 129600 t itálico igual a itálico 360 itálico espaço m i n

Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 min, então 360 min será igual a 6 h.

Alternativa: d) 6

6) FUVEST - 2015

A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.

Questão função quadrática Fuvest 2015

O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por ܲP, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180

Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura abaixo:

Função do 2 grau Fuvest 2015

No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10, 200) representa o vértice da parábola.

Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note que a distância entre esse ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10).

Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20. Sendo assim, a outra raiz foi assinalada no ponto - 10.

Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola (10, 200), podemos usar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

Substituindo os valores, temos:

itálico 200 itálico igual a a itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 10 itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 10 itálico parêntese direito itálico parêntese direito itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 10 itálico menos itálico 30 itálico parêntese direito itálico 200 itálico igual a a itálico. itálico 20 itálico. itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 20 itálico parêntese direito a itálico igual a itálico menos itálico 200 sobre itálico 400 itálico igual a itálico menos itálico 1 sobre itálico 2

Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de lançamento do projétil. Para isso, basta identificar que no ponto de lançamento x = 0 e y = h.

Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos:

h itálico igual a itálico menos itálico 1 sobre itálico 2 itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 0 itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 10 itálico parêntese direito itálico parêntese direito itálico. itálico parêntese esquerdo itálico 0 itálico menos itálico 30 itálico parêntese direito h itálico igual a itálico menos itálico 1 sobre itálico 2 itálico. itálico 10 itálico. itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 30 itálico parêntese direito itálico igual a itálico 300 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 150 itálico espaço m

Alternativa: d) 150

7) Enem - 2016 (2ª aplicação)

Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

a) 19º dia.
b) 20º dia.
c) 29º dia.
d) 30º dia.
e) 60º dia.

A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor de t.

1 600 = - 2 . t2 + 120 . t
2 . t2 - 120 . t + 1600 = 0

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará:

t2 - 60 . t + 800 = 0

Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:

itálico incremento itálico igual a itálico 3600 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 1 itálico. itálico 800 itálico incremento itálico igual a itálico 3600 itálico menos itálico 3200 itálico incremento itálico igual a itálico 400 t com itálico 1 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 60 itálico parêntese direito itálico menos raiz quadrada de itálico 400 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 60 itálico menos itálico 20 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 20 itálico espaço d i a s t com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 60 itálico parêntese direito itálico mais raiz quadrada de itálico 400 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 60 itálico mais itálico 20 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 40 itálico espaço d i a s

Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1600 infectados após a primeira dedetização.

Alternativa: b) 20º dia.

8) Enem - 2013

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

Questão função 2º grau enem 2013

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.

Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto que corta o eixo x (ponto V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais.

Desta forma, sabemos que Δ = 0, ou seja:

Δ = b2 - 4 . a . c =0

Substituindo os valores da equação, temos:

itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 6 itálico parêntese direito à potência de itálico 2 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 3 sobre itálico 2 itálico. c itálico igual a itálico 0 itálico 36 itálico menos itálico 6 itálico. c itálico igual a itálico 0 c itálico igual a itálico 36 sobre itálico 6 itálico igual a itálico 6

Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm.

Alternativa: e) 6

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.