Função Exponencial - Exercícios

Rosimar Gouveia

A função exponencial é toda função de ℝ em ℝ*+ , definida por f(x) = ax, onde a é um número real, maior que zero e diferente de 1.

Aproveite os exercícios comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse conteúdo e não deixe de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.

Exercícios Comentados

Exercício 1

Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 20,5t, sendo t em horas.

Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8192000?

Solução

Na situação proposta, conhecemos o número de bactérias, ou seja, sabemos que N(t) = 8192000 e queremos descobrir o valor de t. Então, basta substituir esse valor na expressão dada:

começar estilo tamanho matemático 14px N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a 8192000 igual a 2000.2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 8192000 sobre 2000 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 4096 fim do estilo

Para resolver essa equação, vamos escrever o número 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Portanto, fatorando o número, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px 2 à potência de 0 vírgula 5 t fim do exponencial igual a 2 à potência de 12 Como espaço as espaço bases espaço são espaço iguais vírgula espaço podemos espaço igualar espaço os espaço expoentes dois pontos 1 meio. t igual a 12 t igual a 12.2 igual a 24 fim do estilo

Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.

Exercício 2

Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo, de desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa radioativa se desintegre é chamado de meia-vida.

A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por:

N parêntese esquerdo t parêntese direito igual a N com 0 subscrito. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de t sobre T fim do exponencial

Sendo,

N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado tempo.
N0: a quantidade inicial de material (em gramas)
T: o tempo da meia vida (em anos)
t: tempo (em anos)

Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o tempo necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial.

Solução

Para a situação proposta A(t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, sendo assim, podemos escrever a expressão dada, substituindo T por 28 anos, então:

1 quarto N com 0 subscrito igual a N com 0 subscrito. abre parênteses 1 meio fecha parênteses à potência de t sobre 28 fim do exponencial parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito ao quadrado igual a parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de t sobre 28 fim do exponencial t sobre 28 igual a 2 t igual a 28.2 igual a 56 espaço

Portanto, serão necessários 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.

Questões de Concursos

1) Unesp - 2018

O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será

a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg

Como a quantidade inicial de medicação na corrente sanguínea a cada 2 horas é dividida pela metade, podemos representar esta situação através do seguinte esquema:

Esquema questão Unesp 2018 função exponencial

Note que o expoente, em cada situação, é igual ao tempo dividido por 2. Assim, podemos definir a quantidade de medicação na corrente sanguínea em função do tempo, através da seguinte expressão:

Q parêntese esquerdo t parêntese direito igual a Q com 0 subscrito. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de t sobre 2 fim do exponencial

Sendo

Q(t): a quantidade em uma determinada hora
Q0: a quantidade inicial ingerida
t: tempo em horas

Considerando ainda que foram tomados 800 mg de ibuprofeno a cada 6 h, temos então:

Esquema da medicação

Para encontrar a quantidade de medicação na corrente sanguínea após 14 horas da ingestão da 1ª dose, devemos somar as quantidades referentes a 1ª, 2ª e 3ª doses. Calculando essas quantidades, temos:

A quantidade da 1ª dose, será encontrada considerando o tempo igual a 14 h, assim temos:

Q parêntese esquerdo 14 parêntese direito igual a 800. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 14 sobre 2 fim do exponencial igual a 800. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 7 igual a 800.1 sobre 128 igual a 6 vírgula 25

Para a segunda dose, conforme podemos ver no esquema acima, o tempo foi de 8 horas. Substituindo esse valor, temos:

Q parêntese esquerdo 8 parêntese direito igual a 800. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 8 sobre 2 fim do exponencial igual a 800. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 4 igual a 800.1 sobre 16 igual a 50

O tempo relativo a 3ª dose será de apenas 2 horas. A quantidade relativa a 3ª dose será então:

Q parêntese esquerdo 2 parêntese direito igual a 800. parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 2 sobre 2 fim do exponencial igual a 800.1 meio igual a 400

Agora que já sabemos as quantidades referentes a cada dose ingerida, podemos encontrar a quantidade total somando cada uma das quantidades encontradas:

Qtotal= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg

Alternativa b) 456,25 mg

2) UERJ - 2013

Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial.
Leia as informações a seguir.

  • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
  • O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

T parêntese esquerdo x parêntese direito igual a T com 0 subscrito. parêntese esquerdo 0 vírgula 5 parêntese direito à potência de 0 vírgula 1 x fim do exponencial

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:

a) 30
b) 32
c) 34
d) 36

Para voltar ao nível de toxidez inicial é necessário que:

T parêntese esquerdo x parêntese direito igual a T com 0 subscrito sobre 10

Substituindo esse valor na função dada, temos:

T com 0 subscrito sobre 10 igual a T com 0 subscrito. parêntese esquerdo 0 vírgula 5 parêntese direito à potência de 0 vírgula 1 x fim do exponencial 1 sobre 10 igual a parêntese esquerdo 1 meio parêntese direito à potência de 0 vírgula 1 x fim do exponencial

Multiplicando em "cruz" , a equação passa a ser:

2 0,1x= 10

Vamos aplicar o logaritmo de base 10 em ambos os lados, para transformar em uma equação do 1º grau:

log (20,1x) = log 10

Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1, nossa equação ficará:

0,1x. log 2 = 1

Considerando que o log 2 = 0,3 e substituindo esse valor na equação:

0 vírgula 1 x. espaço 0 vírgula 3 igual a 1 1 sobre 10.3 sobre 10. x igual a 1 x igual a 100 sobre 3 igual a 33 vírgula 333...

Assim, o menor número de dias, aproximadamente, que o abastecimento deverá ser suspenso é 34 dias.

Alternativa c) 34

3) Fuvesp - 2018

Sejam f: ℝ → ℝ e g: ℝ+ →ℝ definidas por

f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 1 meio 5 à potência de x espaço e espaço g parêntese esquerdo x parêntese direito igual a log com 10 subscrito x vírgula

respectivamente.

O gráfico da função composta gºf é:

Questão Fuvest 2018 Função exponencial e logarítmica

O gráfico procurado é o da função composta gºf, portanto, o primeiro passo é determinar essa função. Para isso, devemos substituir a função f(x) no x da função g(x). Fazendo essa substituição, encontraremos:

g com o subscrito f igual a g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo x parêntese direito parêntese direito g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo x parêntese direito parêntese direito igual a log com 10 subscrito abre parênteses 5 à potência de x sobre 2 fecha parênteses

Usando a propriedade do logaritmo do quociente e de uma potência, temos:

g parêntese esquerdo f parêntese esquerdo x parêntese direito parêntese direito igual a x. log com 10 subscrito 5 menos log com 10 subscrito 2

Note que a função encontrada acima é do tipo ax+b, que é uma função afim. Logo, o seu gráfico será uma reta.

Além disso, o coeficiente angular a é igual a log10 5 , que é um número positivo, portanto, o gráfico será crescente. Desta forma, podemos eliminar as opções b, c e e.

Ficamos então com as opções a e d, entretanto, quando x=0 temos que gof = - log10 2 que é um valor negativo, conforme representado no gráfico a.

Alternativa a) Resposta questão fuvest 2018

4) Unicamp - 2014

O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microrganismos, ao longo do tempo t.

Questão função exponencial Unicamp 2014

Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é

a) q(t) = at + b
b) q(t) = abt
c) q(t) = at2 + bt
d) q(t) = a + log b t

Pelo gráfico apresentado, podemos identificar que quando t=0, a função é igual a 1000. Além disso, também é possível observar que a função não é afim, pois o gráfico não é uma reta.

Se a função fosse do tipo q(t) = at2+bt, quando t = 0, o resultado seria igual a zero e não 1000. Portanto, também não se trata de uma função quadrática.

Como o logb0 não é definido, também não poderia ter como resposta a função q(t) = a + logbt.

Desta forma, a única opção seria a função q(t) = abt. Considerando t=0, a função será q(t) = a, como a é um valor constante, basta que seja igual a 1000 para que a função se ajuste ao gráfico dado.

Alternativa b) q(t) = abt

5) Enem (PPL) - 2015

O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1 800 . (1,03)t .

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,

a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.

A expressão para o cálculo do salário em função do tempo proposta pelo sindicato, corresponde a uma função exponencial.

Para encontrar o valor do salário na situação indicada, vamos calcular o valor de s, quando t=2, conforme indicado abaixo:

s(2) = 1800. (1,03)2 = 1800 . 1,0609 = 1 909,62

Alternativa e) 1 909,62

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.