A função exponencial é toda função de ℝ em ℝ*+ , definida por f(x) = ax, onde a é um número real, maior que zero e diferente de 1.
Aproveite os exercícios comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse conteúdo e não deixe de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.
Questão 1
Um grupo de biólogos está estudando o desenvolvimento de uma determinada colônia de bactérias e descobriu que sob condições ideais, o número de bactérias pode ser encontrado através da expressão N(t) = 2000 . 20,5t, sendo t em horas.
Considerando essas condições, quanto tempo após o início da observação, o número de bactérias será igual a 8192000?
Resposta: 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.
Na situação proposta, conhecemos o número de bactérias, ou seja, sabemos que N(t) = 8192000 e queremos descobrir o valor de t. Então, basta substituir esse valor na expressão dada:
Para resolver essa equação, vamos escrever o número 4096 em fatores primos, pois se tivermos a mesma base, podemos igualar os expoentes. Portanto, fatorando o número, temos:
Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia (24 h) do início da observação.
Questão 2
Os materiais radioativos possuem uma tendência natural, ao longo do tempo, de desintegrar sua massa radioativa. O tempo necessário para que metade da sua massa radioativa se desintegre é chamado de meia-vida.
A quantidade de material radioativo de um determinado elemento é dado por:
Sendo,
N(t): a quantidade de material radioativo (em gramas), em um determinado tempo.
N0: a quantidade inicial de material (em gramas)
T: o tempo da meia vida (em anos)
t: tempo (em anos)
Considerando que a meia-vida deste elemento é igual a 28 anos, determine o tempo necessário para que o material radioativo se reduza a 25% da sua quantidade inicial.
Solução
Resposta: 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.
Para a situação proposta A(t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, sendo assim, podemos escrever a expressão dada, substituindo T por 28 anos, então:
Portanto, serão necessários 56 anos para que a quantidade de material radioativo seja reduzida em 25%.
Questão 3
O gráfico a seguir apresenta uma curva exponencial. Determine a lei de formação desta função.
Resposta:
Uma função exponencial tem a forma .
No gráfico, observamos dois pontos de interesse: (0, 3) e (-2, 6). Aplicando na função o ponto (0, 3):
Uma vez determinado n, o substituímos na função e aplicamos o ponto (-2, 6).
Para não trabalharmos com a raiz, podemos transformá-la em uma potência.
Aplicando na forma geral da função exponencial, temos:
Questão 4
A massa de uma substância diminui com o tempo ao ser exposta a um reagente. Em uma experiência, uma amostra possui de 1600 g foi exposta ao reagente. Constatou-se que sua massa era reduzida a uma taxa de 25% por hora. Determine a função que representa a redução de massa e quanto tempo de degradação é necessário para restar 900 g da quantidade inicial.
Resposta: 2 h
Objetivo
Determinar a lei da função de redução da massa em relação ao tempo e, determinar o tempo para que sobre 900 g da quantidade inicial.
Dados
Massa inicial = 1900 g
Taxa de redução de 25%.
Resolução
Reduzir 25% equivale a multiplicar por 0,75%.
A quantidade inicial de 1900g é multiplicada por 0,75, a cada hora.
Assim temos a função:
Para determinar em quanto tempo a massa inicial será de 900 g, fazemos:
Logo, são necessárias duas horas para a massa inicial atingir 900 g.
Questão 5
(Unesp - 2018) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia-vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será
a) 12,50 mg
b) 456,25 mg
c) 114,28 mg
d) 6,25 mg
e) 537,50 mg
Resposta b) 456,25 mg
Como a quantidade inicial de medicação na corrente sanguínea a cada 2 horas é dividida pela metade, podemos representar esta situação através do seguinte esquema:
Note que o expoente, em cada situação, é igual ao tempo dividido por 2. Assim, podemos definir a quantidade de medicação na corrente sanguínea em função do tempo, através da seguinte expressão:
Sendo
Q(t): a quantidade em uma determinada hora
Q0: a quantidade inicial ingerida
t: tempo em horas
Considerando ainda que foram tomados 800 mg de ibuprofeno a cada 6 h, temos então:
Para encontrar a quantidade de medicação na corrente sanguínea após 14 horas da ingestão da 1ª dose, devemos somar as quantidades referentes a 1ª, 2ª e 3ª doses. Calculando essas quantidades, temos:
A quantidade da 1ª dose, será encontrada considerando o tempo igual a 14 h, assim temos:
Para a segunda dose, conforme podemos ver no esquema acima, o tempo foi de 8 horas. Substituindo esse valor, temos:
O tempo relativo a 3ª dose será de apenas 2 horas. A quantidade relativa a 3ª dose será então:
Agora que já sabemos as quantidades referentes a cada dose ingerida, podemos encontrar a quantidade total somando cada uma das quantidades encontradas:
Qtotal= 6,25 + 50 + 400 = 456,25 mg
Questão 6
(UERJ - 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial.
Leia as informações a seguir.
A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.
Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
Resposta: c) 34
Para voltar ao nível de toxidez inicial é necessário que:
Substituindo esse valor na função dada, temos:
Multiplicando em "cruz" , a equação passa a ser:
2 0,1x= 10
Vamos aplicar o logaritmo de base 10 em ambos os lados, para transformar em uma equação do 1º grau:
log (20,1x) = log 10
Lembrando que o logaritmo de 10 na base 10 é igual a 1, nossa equação ficará:
0,1x. log 2 = 1
Considerando que o log 2 = 0,3 e substituindo esse valor na equação:
Assim, o menor número de dias, aproximadamente, que o abastecimento deverá ser suspenso é 34 dias.
Questão 7
(Fuvesp - 2018) Sejam f: ℝ → ℝ e g: ℝ+ →ℝ definidas por
respectivamente.
O gráfico da função composta gºf é:
Alternativa a)
O gráfico procurado é o da função composta gºf, portanto, o primeiro passo é determinar essa função. Para isso, devemos substituir a função f(x) no x da função g(x). Fazendo essa substituição, encontraremos:
Usando a propriedade do logaritmo do quociente e de uma potência, temos:
Note que a função encontrada acima é do tipo ax+b, que é uma função afim. Logo, o seu gráfico será uma reta.
Além disso, o coeficiente angular a é igual a log10 5 , que é um número positivo, portanto, o gráfico será crescente. Desta forma, podemos eliminar as opções b, c e e.
Ficamos então com as opções a e d, entretanto, quando x=0 temos que gof = - log10 2 que é um valor negativo, conforme representado no gráfico a.
Questão 8
(Unicamp - 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microrganismos, ao longo do tempo t.
Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é
a) q(t) = at + b
b) q(t) = abt
c) q(t) = at2 + bt
d) q(t) = a + log b t
Pelo gráfico apresentado, podemos identificar que quando t=0, a função é igual a 1000. Além disso, também é possível observar que a função não é afim, pois o gráfico não é uma reta.
Se a função fosse do tipo q(t) = at2+bt, quando t = 0, o resultado seria igual a zero e não 1000. Portanto, também não se trata de uma função quadrática.
Como o logb0 não é definido, também não poderia ter como resposta a função q(t) = a + logbt.
Desta forma, a única opção seria a função q(t) = abt. Considerando t=0, a função será q(t) = a, como a é um valor constante, basta que seja igual a 1000 para que a função se ajuste ao gráfico dado.
Alternativa b) q(t) = abt
Questão 9
Enem (PPL) - 2015
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1 800 . (1,03)t .
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7 416,00
b) 3 819,24
c) 3 709,62
d) 3 708,00
e) 1 909,62.
Resposta e) 1 909,62
A expressão para o cálculo do salário em função do tempo proposta pelo sindicato, corresponde a uma função exponencial.
Para encontrar o valor do salário na situação indicada, vamos calcular o valor de s, quando t=2, conforme indicado abaixo:
Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
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