Exercícios sobre função modular

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Aprenda função modular com exercícios resolvidos e comentados. Tire suas dúvidas com as resoluções e se prepare para os vestibulares e concursos.

Questão 1

Qual das seguintes opções representa o gráfico da função f(x) = |x + 1| - 1, definida como f dois pontos espaço reto números reais seta para a direita reto números reais.

a)


b)

c)

d)

e)

Resposta correta: e)

Questão 2

Escreva a lei de formação da função f(x) = |x + 4| + 2, sem módulo e por partes.

linha vertical x mais 4 linha vertical espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 4 espaço espaço s e vírgula espaço x mais 4 maior que ou igual a inclinado 0 espaço o u espaço x maior que ou igual a inclinado menos 4 fim da célula linha com célula com menos x menos 4 espaço s e vírgula espaço x mais 4 menor que 0 espaço o u espaço x menor que menos 4 fim da célula fim da tabela fecha

Para x maior ou igual a menos 4

f(x) = x + 4 + 2 = x + 6

Para espaço x espaço menor que menos 4

f(x) = - x - 4 + 2 = - x - 2

Portanto

f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x mais 6 vírgula espaço s e espaço x maior ou igual a menos 4 fim da célula linha com célula com menos x menos 2 vírgula espaço s e espaço x menor que menos 4 fim da célula fim da tabela fecha

Questão 3

Esboce o gráfico da função f(x) = |x - 3| - 1, definida como f dois pontos espaço reto números reais seta para a direita reto números reais, no intervalo [0, 6].

A função modular |x - 3| -1, é formada como a função |x|, por linhas poligonais, ou seja, semirretas com mesma origem. O gráfico será uma translação horizontal para direita, de três unidades e, para baixo em 1 unidade.

Questão 4

O seguinte gráfico representa a função p(x). Esboce o gráfico da função q(x), tal que q(x) = |p(x)|.

Abaixo, a função p(x) está representada em vermelho e a função q(x) em traços azuis.

O gráfico de q(x) é simétrico ao de p(x), em relação ao eixo x.

Questão 5

(Espcex). Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f(x) = |x - 2| + |x + 3|, então o valor de a + b + c é igual a

a) -7
b) -6
c) 4
d) 6
e) 10

Resposta correta: c) 4.

Ideia 1: Reescrevendo os módulos por partes.

linha vertical x espaço menos espaço 2 linha vertical espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x espaço menos espaço 2 espaço espaço s e vírgula espaço x espaço menos espaço 2 espaço maior que ou igual a inclinado espaço 0 espaço o u espaço x maior que ou igual a inclinado 2 espaço fim da célula linha com célula com menos x espaço mais espaço 2 espaço espaço s e vírgula espaço x espaço menos espaço 2 espaço menor que espaço 0 espaço o u espaço x menor que 2 fim da célula fim da tabela fecha e linha vertical x espaço mais espaço 3 linha vertical espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x espaço mais espaço 3 espaço espaço s e vírgula espaço x espaço mais espaço 3 espaço maior que ou igual a inclinado espaço 0 espaço o u espaço x maior que ou igual a inclinado menos 3 fim da célula linha com célula com menos x espaço menos espaço 3 espaço espaço s e vírgula espaço x espaço mais espaço 3 espaço menor que espaço 0 espaço o u espaço x menor que menos 3 fim da célula fim da tabela fecha

Temos dois pontos de interesse, x = 2 e x = -3. Estes pontos dividem a reta numérica em três partes.

Ideia 2: identificando a e b.

Dessa forma a = -3 e b = 2

Neste caso a ordem não importa pois queremos determinar a + b + c, e em uma adição a ordem não altera a soma.

Ideia 3: Identificando a sentença dos módulos para x maior ou igual a -3 e menor que 2.

Para menos 3 menor que ou igual a inclinado x menor que 2

linha vertical x menos 2 linha vertical igual a menos x mais 2 espaço espaço espaço e espaço espaço espaço linha vertical x mais 3 linha vertical igual a x mais 3

Ideia 4: determinando c.

Fazendo f(x) para menos 3 menor que ou igual a inclinado x menor que 2

f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço menos x espaço mais espaço 2 espaço mais espaço x espaço mais espaço 3 f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço 5 espaço

Desse modo, c = 5.

Portanto, o valor da soma: a + b + c = -3 + 2 + 5 = 4

Questão 6

EEAR (2016). Seja f(x) = |x - 3| uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2 é

a) 3
b) 4
c) 6
d) 7

Resposta correta: c) 6.

Ideia 1: Valores de x para que f(x) = 2.

Devemos determinar os valores de x para os quais f(x), assume o valor 2.

Escrevendo a função por partes e sem a notação de módulo temos:

f parêntese esquerdo x parêntese direito espaço igual a espaço abre barra vertical x espaço menos espaço 3 fecha barra vertical espaço igual a espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x menos 3 espaço s e vírgula espaço x menos 3 maior que ou igual a inclinado 0 espaço o u espaço x maior que ou igual a inclinado 3 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic I negrito parêntese direito fim da célula linha com célula com menos x mais 3 espaço s e vírgula espaço x menos 3 menor que 0 espaço o u espaço x menor que 3 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic I bold italic I negrito parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha

Na equação I, fazendo f(x) = 2

2 = x - 3
2 + 3 = x
5 = x

Na equação II, fazendo f(x) = 2 e substituindo

2 = - x + 3
2 - 3 = -x
-1 = -x
1 = x

Ideia 2: somando os valores de x que geraram f(x) = 2.

5 + 1 = 6

Portanto, a soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2, é 6.

Questão 7

EsPCEx (2008). Observando o gráfico abaixo, que representa a função real f(x) = |x - k| - p, pode-se concluir que os valores de k e p são, respectivamente,

a) 2 e 3
b) -3 e -1
c) -1 e 1
d) 1 e -2
e) -2 e 1

Resposta correta: letra e) -2 e 1

Resolução

k translada horizontalmente a função e é a abscissa do seu vértice.

Para k espaço maior que espaço 0, a função é deslocada para a direita.
Para k espaço menor que espaço 0, a função é deslocada para a esquerda.

Portanto, como o vértice da função tem abscissa -2, esse é o valor de k.

p translada verticalmente a função.

Para espaço p espaço maior que espaço 0, a função é deslocada para cima.
Para p espaço menor que espaço 0, a função é deslocada para baixo.

Portanto, p = -1.

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Atualizado em
Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.