27 exercícios de Matemática Básica

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

A Matemática básica envolve os conteúdos estudados na escola no Ensino Fundamental e Médio, etapas que compõem a Educação Básica.

Desde o início do seu aprendizado, o aluno é apresentado aos campos da Matemática: Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade.

A equivalência, ordem e a proporcionalidade são exemplos das ideias fundamentais que irão estar presentes em diversos assuntos dos campos da Matemática, portanto, nos exercícios.

Acompanhe a lista de exercícios de Matemática Básica com exercícios que selecionamos para você relembrar e desenvolver os conceitos básicos da Matemática. Todos os exercícios apresentam a resolução e explicação passo a passo para você tirar suas dúvidas.

Números (Aritmética)

Exercício 1 — Adição e Subtração

Na fazenda Morro Alto são produzidas laranjas. Assim que começou o período da colheita, uma grande produção já foi contabilizada. A tabela abaixo mostra a produção nos três primeiros dias.

Tabela com informações para resolução do exercício.

a) Qual a produção total nos três primeiros dias?

b) De quanto foi a queda na produção entre o dia de maior e menor produção?

a) Conta de adição. Valores da questão.

O total da produção nos três dias foi de 10 379 laranjas.

b) 1 140 laranjas.

O dia de maior produção foi terça-feira, com 4 127 laranjas e, o de menor produção foi quarta-feira, com 2 987 laranjas. A diferença é o resultado da subtração entre estes valores.

Operação de subtração com os valores da questão.

Portanto, da terça-feira para quarta-feira houve uma queda na produção de 1 140 laranjas.

Exercício 2 - Multiplicação

Elisa está a procura de uma televisão para colocar em sua sala. Ela viu um anúncio de um modelo novo com as opções de pagamento à vista e a prazo.

Imagem associada com a resolução da questão.

Quanto Elisa pagará a mais se optar pelo pagamento a prazo?

Resposta: Pagará a mais R$ 306,00.

Estratégia: subtrair o total a prazo do preço à vista.

Total a prazo
Para o pagamento a prazo devemos multiplicar as parcelas para conhecer o total.

12 espaço sinal de multiplicação espaço 138 vírgula 00 espaço igual a espaço 1 espaço 656 vírgula 00

Diferença entre os dois valores

1 espaço 656 vírgula 00 espaço menos espaço 1 espaço 350 vírgula 00 espaço igual a espaço 306 vírgula 00

Portanto, optando pelo sistema a prazo, Elisa pagará R$ 306,00 a mais do que se optasse pelo sistema à vista.

Exercício 3 — Divisão

Em um projeto para a construção de um cinema, os arquitetos estão avaliando a relação entre a quantidade de fileiras e a quantidade de cadeiras em cada fileira. O projeto inicial prevê uma sala para 304 pessoas. No caso de utilizarem 19 fileiras, o número de cadeiras por fileira será

a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 13.
e) 12.

Resposta correta: c) 16.

Para determinar a quantidade de cadeiras por fileira devemos dividir a quantidade total de lugares no cinema, 304, pelo número de fileiras, 19.

304 espaço dividido por espaço 19 espaço igual a espaço 16

Portanto, utilizando 19 fileiras, cada fileira terá 16 cadeiras.

Pratique mais exercícios de divisão.

Exercício 4 — Fração

Em uma gincana de férias, 75 crianças se inscreveram para participar das atividades de recreação. De modo a organizarem os jogos e atividades, eles verificaram a faixa etária dos inscritos e constataram que 2/5 das crianças têm mais de doze anos. Quantos participantes tem menos que 12 anos?

Resposta: 45 crianças.

Se 2/5 das crianças têm mais de 12 anos, 3/5 têm menos de 12 anos, pois

3 sobre 5 mais 2 sobre 5 igual a 5 sobre 5 igual a 1

Para calcular quanto é 3/5 de 75, fazemos

3 sobre 5 espaço d e espaço 75 espaço igual a espaço 3 sobre 5 sinal de multiplicação espaço 75 igual a espaço 225 sobre 5 igual a espaço 45

Desta forma, 45 crianças têm menos de 12 anos.

Exercício 5 — Operações com Frações

Carlos, Roberto e Maurício são irmãos. Eles decidiram limpar e cortar a grama de um campinho de futebol que fica ao lado da casa deles para poderem brincar durante as férias. Até agora, Carlos e Roberto já limparam cada um uma parte.

  • Carlos que é o caçula limpou 1/5 do campo.
  • Roberto limpou 2/4 do campo.

Qual dos irmãos irá limpar a maior parte do campinho

Resposta: Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Resolução

Para determinar quem irá limpar a maior parte do campinho, devemos descobrir que parte Maurício irá limpar. Para comparar, as frações devem ter os mesmos denominadores.

Estratégia: subtrair da fração que representa o total da área do campinho, da fração (parte) que Carlos e Roberto já limparam, a parte que sobrar é a parte de Maurício.

Para somar as quantidades que Carlos e Roberto cortaram, devemos igualar os denominadores das frações. Para isso, determinamos o menor múltiplo comum entre 5 e 4 fazendo a fatoração.

MMC entre 5 e 4.

O novo denominador das frações será, 20.

Para encontrar os numeradores das frações equivalentes, dividimos 20, que é o MMC, pelo denominador de cada fração original, e multiplicamos pelos numeradores.

A fração equivalente a de Carlos, será

20 espaço dividido por espaço 5 igual a espaço 4 espaço parêntese esquerdo 5 espaço reto é espaço reto o espaço denominador espaço d a espaço f r a ç ã o espaço o r i g i n a l parêntese direito 4 espaço sinal de multiplicação espaço 1 espaço igual a espaço 4 espaço parêntese esquerdo 1 espaço reto é espaço reto o espaço numerador espaço d a espaço f r a ç ã o espaço o r i g i n a l parêntese direito

Assim, o novo numerador será 4, e a fração será:

4 sobre 20

A fração equivalente a de Roberto, será

20 espaço dividido por espaço 4 espaço igual a espaço 5 espaço parêntese esquerdo 4 espaço reto é espaço reto o espaço denominador parêntese direito 5 espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 10 espaço parêntese esquerdo 2 espaço reto é espaço reto o espaço numerador parêntese direito

Assim, o novo numerador será 10, e a fração será:

10 sobre 20

Ao todo. Carlos e Roberto já cortaram

4 sobre 20 mais 10 sobre 20 igual a 14 sobre 20

A fração que representa todo o campinho é 20/20

Desse modo, restam para Maurício limpar

20 sobre 20 menos 14 sobre 20 igual a 6 sobre 20

Com as três frações com denominadores iguais, podemos comparar e descobrir de quem é a maior.

C a r l o s dois pontos espaço 4 sobre 20 R o b e r t o dois pontos 10 sobre 20 M a u r í c i o dois pontos espaço 6 sobre 20

Assim, Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Pratique exercícios de frações.

Exercício 6 — Múltiplos

Em uma cidade são organizados a cada três anos os Jogos Universitários Gerais, um evento de competição esportiva que reúne os melhores nomes do esporte local. Em 2020 aconteceram os últimos jogos municipais, mesmo ano em que aconteceram os Jogos Olímpicos Internacionais, no Japão. Qual será o próximo ano em que os dois eventos irão acontecer simultaneamente?

Resposta: 2 032.

Os Jogos Olímpicos Internacionais acontecem a cada 4 anos e os Jogos Universitários Gerais a cada 3 anos. Escrevendo os anos em que acontecerão as próximas edições, temos:

Jogos Olímpicos: 2020, 2024, 2028, 2032
Jogos Universitários: 2020, 2023, 2026, 2029, 2032

Vemos que o próximo ano em que os dois eventos ocorrerão, simultaneamente, será 2032.

Para determinar este ano fazemos o Menor Mínimo Comum (MMC) entre 3 e 4, que são os intervalos de tempo para cada evento.

Para calcular o MMC, devemos fatorar 3 e 4, depois, multiplicamos os divisores.

MMC entre 3 e 4.

Como o MMC entre 3 e 4 é 12, o próximo ano em que os dois eventos irão acontecer simultaneamente será:

2020 + 12 = 2032

Pratique MMC e MDC - Exercícios

Exercício 7 — Potenciação

Nossa herança genética pode trazer mais surpresas do que supomos. Uma árvore genealógica é um instrumento que permite registrar e organizar a história de nossos antepassados, nela a cada geração, desenhamos mais dois “galhos”.

Esquema de árvore genealógica.

Desta forma, a cada geração anterior, multiplicamos por dois o número de antepassados, em relação à anterior.

Se considerarmos uma média de vinte anos para cada geração como tempo médio para gerar novos descendentes, há duzentos anos, quantas pessoas estariam nomeadas em sua árvore genealógica, nesta geração específica?

Resposta: 1 024 antepassados.

Como estamos considerando 20 anos para cada geração, em 200 anos, teremos 10 gerações.

1ª geração passada: 2 pessoas (pais)
2ª geração passada: 4 pessoas (avós)
3ª geração passada: 8 pessoas (bisavós)

Queremos um modo de determinar quantos antepassados há em uma determinada geração. No caso da questão, a décima.

Fatorando as respostas para as primeiras 3 gerações, temos:

1 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço igual a espaço 2 à potência de 1 2 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço x espaço 2 espaço igual a espaço 4 espaço igual a espaço 2 ao quadrado 3 ª g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 espaço x espaço 2 espaço x espaço 2 espaço igual a espaço 8 espaço igual a espaço 2 ao cubo

Expandindo este raciocínio, calculando uma potência de base 2, onde o expoente representa a geração que procuramos, determinamos a geração.

Desta forma, para a décima geração, temos:

10 ª espaço g e r a ç ã o dois pontos espaço 2 à potência de 10 igual a 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 espaço igual a 1 espaço 024

Portanto, apenas na décima geração passada, havia 1 024 antepassados.

Pratique exercícios de potenciação.

Exercício 8 — Números Decimais e Frações

Em uma corrida, quatro competidores disputam uma colocação nas finais do campeonato nacional. Em um determinado momento estas eram as frações que representavam o quanto cada atleta já havia percorrido da prova.

Atleta A: 3/4
Atleta B: 4/5
Atleta C: 5/8
Atleta D: 6/8

Transforme as frações em números decimais e os marque na reta numérica, depois responda à questão usando números decimais:

a) Quanto o atleta na primeira colocação está a frente do segundo?
b) Quanto falta para cada atleta terminar a prova?

Para transformar as frações em números decimais, devemos dividir o numerador pelo denominador.

A: 3/4 = 0,75
B: 4/5 = 0,8
C: 5/8 = 0,625
D: 6/8 = 0,75

Em ordem crescente:
0,625
0,75 e 0,75
0,8

a) Na segunda posição, temos que os atletas A e D estão empatados, isso porque as frações 3/4 e 6/8 são equivalentes, representam a mesma quantidade, pois são frações equivaçentes.

Em relação ao primeiro colocado:

0,8 - 0,75 = 0,05

b) A prova completa é representada em fração, quando o numerador e igual ao denominador. Para cada atleta temos:

A: 4/4 = 1,0
B: 5/5 = 1,0
C: 8/8 = 1,0
D: 8/8 = 1,0

Da posição considerada, até chegar ao final faltam, para cada atleta:

A: 1,0 - 0,75 = 0,25
B: 1,8 - 0,8 = 0,2
C: 1,0 - 0,625 = 0,375
D: 1,0 - 0,75 = 0,25

Pratique exercícios sobre Números Racionais.

Exercício 9 — Números Decimais e Aproximação

A loja Preço bom está vendendo um conjunto com 5 camisas por um preço promocional. Cada unidade sai por R$ 31,45 e o conjunto das cinco camisas sai pelo preço de quatro. Se optar pelo conjunto, o cliente pode dividir o valor em três vezes sem juros. De quanto será o preço da parcela?

Resposta: R$ 41,93.

O preço de quatro camisas:

31 vírgula 45 espaço sinal de multiplicação espaço 4 espaço igual a espaço 125 vírgula 80

Dividindo em três parcelas:

125 vírgula 8 espaço dividido por espaço 3 espaço aproximadamente igual espaço 41 vírgula 9333 espaço...

Sendo uma dízima periódica, faremos uma aproximação.

Se o período for maior que 5, aproximamos para 41,94.
Se o período for menor que 5, aproximamos para 41,93.

O período, parte que se repete, é 3. Como é menor que 5, aproximamos o preço da parcela para R$ 41,93.

Aprenda mais sobre aritmética com

Álgebra

Exercício 10 — Porcentagem, Juros simples e Compostos

Um investidor comprou R$ 18 000,00 em títulos do Tesouro Nacional. Os títulos que ele adquiriu são da modalidade pré-fixados, o que significa que o rendimento já é combinado na hora da compra. A taxa combinada foi de 0,08% a.m. (ao mês), considerando o sistema de juros simples.

Uma alternativa seria investir a mesma quantia em outros produtos financeiros no sistema de juros compostos.

Considerando 12 meses com a mesma quantia investida, caso o investidor optasse pelo sistema de juros compostos com a mesma taxa mensal, qual seria a diferença entre os montantes nos dois sistemas?

Resposta: A diferença será de R$ 78,10.

1º passo: conhecer o rendimento do investimento no sistema de juros simples, nos Títulos do Tesouro Nacional. Este rendimento são os juros.

Dados:
Sistema de juros simples;
Taxa (i): 0,8% ao mês = 0,008 ao mês
Tempo de investimento (t): 12 meses

O montante M, é o capital inicial investido C, mais os juros J.

M = C + J

Os juros por sua vez são a multiplicação entre o capital, a taxa e o tempo.
J = C.i.t
J = 18 000.0,008.12 = 1 728

O montante será:

M = 18 000 + 1 728 = 19 728

2º passo: conhecer o rendimento no sistema de juros compostos.

No sistema de juros compostos o montante é calculado como:

M igual a C abre parênteses 1 mais i fecha parênteses à potência de t

Substituindo os valores:

M igual a 18 espaço 000 espaço. espaço abre parênteses 1 mais 0 vírgula 008 fecha parênteses à potência de 12 M igual a 18 espaço 000 espaço. espaço 1 vírgula 008 à potência de 12 M igual a 19 espaço 806 vírgula 10

3° passo: calcular a diferença entre os montantes sob juros simples e compostos.

19 806,10 - 19 728 = 78,10

Portanto, a diferença será de R$ 78,10.

Pratique exercícios de Juros Compostos.

Exercício 11 — Equação do 1º grau com uma incógnita

Bianca aproveitou o domingo de Sol para passear com suas duas filhas. Ela comprou um sorvete para cada menina e uma garrafa de suco para ela que custava R$ 5,00. Ela pagou tudo com uma nota de R$ 50,00 e recebeu de troco R$ 36,00. Utilize uma equação para descrever esta situação, depois, determine o preço de cada sorvete.

Resposta: O sorvete custa R$ 4,50.

Chamando o preço do sorvete de x, temos que dois sorvetes serão 2x.

A equação fica da seguinte forma:

50 espaço menos espaço 2 x espaço menos espaço 5 espaço igual a espaço 36

Para resolver uma equação do 1º grau, devemos isolar os termos com letras de um lado da igualdade.

50 espaço menos espaço 5 espaço menos espaço 36 espaço igual a espaço 2 x espaço 9 espaço igual a espaço 2 x 9 sobre 2 igual a x 4 vírgula 5 igual a x

Assim, cada sorvete custou R$ 4,50.

Pratique exercícios sobre equação do 1º grau com uma incógnita.

Exercício 12 — Sistema de Equações do 1º grau com duas incógnitas

Um carro com flex consegue utilizar uma mistura de álcool e gasolina sem acarretar nenhum problema mecânico. Um condutor de um carro flex abasteceu 30 litros de combustível, misturando gasolina e álcool. Ele pagou um total de R$ 190,00. Neste posto, os preços da gasolina e do álcool são, respectivamente, R$ 8,00 e R$ 5,50. Quantos litros de cada combustível foram abastecidos?

Resposta: 10 litros de gasolina e 20 litros de álcool.

Quando temos dois valores desconhecidos, precisamos de duas equações para resolver um sistema.

Queremos saber quantos litros de álcool (a) e de gasolina (g) foram abastecidos.

Equação do preço

8. g espaço mais espaço 5 vírgula 5. a espaço igual a espaço 190 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito

Equação da quantidade

Sabemos que o total de litros foi 30, dessa forma:

g espaço mais espaço a espaço igual a espaço 30 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito

Utilizando o método da substituição, isolamos g na equação II.

g = 30 - a

Substituímos o valor de g, na equação I e resolvemos para a.

8. parêntese esquerdo 30 menos a parêntese direito espaço mais espaço 5 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 8.30 espaço menos espaço 8. a espaço mais espaço 5 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 240 espaço menos espaço 2 vírgula 5 a espaço igual a espaço 190 240 espaço menos espaço 190 espaço igual a espaço 2 vírgula 5 a 50 espaço igual a espaço 2 vírgula 5 a numerador 50 sobre denominador 2 vírgula 5 fim da fração igual a a 20 igual a a

Assim, foram abastecidos 20 litros de álcool. Para determinar a quantidade de gasolina, basta substituir na equação II.

g + a = 30
g + 20 = 30
g = 30 - 20
g = 10

Portanto, 10 litros de gasolina foram abastecidos.

Exercício 13 — Equação do 2º grau

Um clube vai utilizar uma área quadrada para construir uma piscina de 12 m x 12 m. Ao redor da piscina será instalado um piso antiderrapante, como na ilustração.

Quadrados concêntricos representando uma piscina e uma calçada ao redor.

No projeto inicial que o instalador recebeu, consta apenas a área a ser coberta com o piso antiderrapante, 52 m².

Sabendo que a largura de toda calçada ao redor da piscina se mantêm constante, qual a medida da largura desta calçada?

Considerando a área da piscina mais a área da calçada, temos:

Área da calçada = 52 m²
Área da piscina = 12 x 12 = 144 m²

Área total = 52 + 144 = 196 m²

Se olharmos para o quadrado exterior, da calçada, suas dimensões laterais são:

Medida do lado = x + 12 + x = 2x +12

A área total pode ser obtida pelo produto dos lados e, é igual a 196 m².

parêntese esquerdo 2 x mais 12 parêntese direito. parêntese esquerdo 2 x mais 12 parêntese direito igual a 196

Usamos a propriedade distributiva da multiplicação para multiplicar todos os termos nos parênteses.

2 x.2 x mais 2 x.12 mais 12.2 x mais 12.12 igual a 196

Juntando os termos semelhantes:

4 x ao quadrado mais 24 x mais 24 x mais 144 igual a 196 4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 igual a 196

Trazendo 340 para o primeiro membro da equação:

4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 menos 196 igual a 0 4 x ao quadrado mais 48 x mais 144 menos 196 igual a 0 4 x ao quadrado mais 48 x menos 52 igual a 0

Para determinar a largura x da calçada, devemos resolver a equação do segundo grau, isto é, determinar suas raízes.

Uma equação do segundo grau tem a forma a x ao quadrado mais b x espaço mais espaço c espaço igual a espaço 0.

Os termos desta equação do segundo grau são:

a = 4
b = 48
c = -52

Como todos os coeficientes são divisíveis por 4, podemos simplificar a equação:

a = 4 / 4 = 1
b = 48 / 4 = 12
c = -52 / 4 = -13

O discriminante (delta) da equação é igual a:

incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 12 ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço. espaço 1 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 13 parêntese direito incremento igual a 144 mais 52 incremento igual a 196

Utilizando a Fórmula de Bhaskara:

numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração

Substituindo os valores:

x 1 igual a espaço numerador menos 12 menos raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a espaço numerador menos 12 menos raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 12 menos 14 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 26 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 13  x 2 igual a espaço numerador menos 12 mais raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a espaço numerador menos 12 mais raiz quadrada de 196 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 12 mais 14 sobre denominador 2 fim da fração igual a 2 sobre 2 igual a 1

Como se trata de uma medida, descartamos a raiz x1, pois é negativa.

Desta forma, a largura da calçada é de 1 m.

Pratique equação do 2º Grau - Exercícios.

Exercício 14 — Função Linear

Uma marca de óculos está avaliando a possibilidade de abrir uma nova fábrica e, para isto, está analisando os custos de fabricação por quantidade de óculos produzidos. Após um levantamento com fornecedores, a marca conseguiu baratear ao máximo o custo das matérias-primas e uma unidade sairá por R$ 8,50.
Além dos custos por unidade, existem os custos fixos como: aluguel, salários, energia e impostos. O total destes valores é de R$ 20 000,00 por mês.

a) Escreva a lei de uma função que relaciona o capital necessário para produzir uma quantia de x unidades.

b) Esboce o gráfico desta função.

c) Se 1 000 óculos forem produzidos, qual o preço mínimo que eles precisam ser vendidos para se pagar pelo menos os custos, sem acarretar lucro nem prejuízo ao fabricante.

a) C(x) = 20 000 + 8,5x

b) Gráfico custo pelo número de óculos produzidos.

O gráfico mostra que mesmo para nenhum óculos produzido o custo é de R$ 20 000. A partir daí, o custo aumenta de forma linear, a uma taxa de R$ 8,50 por óculos produzido.

c) R$ 28,50.

Passo 1: calcular o custo para produzir 1 000 óculos.

Substituindo na função, o custo para fabricar 1 000 óculos é de:

C parêntese esquerdo x parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 vírgula 5 x C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 vírgula 5.1 espaço 000 C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 20 espaço 000 espaço mais espaço 8 espaço 500 C parêntese esquerdo 1000 parêntese direito igual a 28 espaço 500

Passo 2: calcular o preço de cada óculos para que o custo seja pago.

numerador 28 espaço 500 sobre denominador 1 espaço 000 fim da fração igual a 28 vírgula 50

Portanto, para que o custo se pague, será preciso vender os 1 000 óculos, por R$ 28,50 cada.

Pratique exercícios de Função Afim.

Exercício 15 — Razão, Grandezas Proporcionais e Regra de Três

Com a chegada do verão os clubes com piscina se preparam para receber muitos associados aos finais de semana. Em um clube foi realizada uma manutenção na piscina principal que possui a capacidade de 86 400 L, por isso teve de ser esvaziada. O tempo para enche-la com a vazão habitual é de três dias, mas como o clube está com urgência, a vazão será aumentada em seis vezes. Em quanto tempo a piscina estará cheia?

Resposta: a piscina estará cheia em 12 h com a nova vazão.

Com a vazão habitual, 86 400 L são enchidos em três dias, ou, 72 h.

24 x 3 = 72

A vazão é:

numerador 86 espaço 400 espaço L sobre denominador 72 espaço h fim da fração igual a 1 espaço 200 espaço L dividido por h

Aumentando a vazão em seis vezes, está será de:

1 200 x 6 = 7 200 L / h

numerador 7 espaço 200 espaço L sobre denominador 1 espaço h fim da fração igual a numerador 86 espaço 400 espaço L sobre denominador X espaço h fim da fração

Pela propriedade fundamental das proporções, multiplicando cruzado:

7 espaço 200 espaço espaço. espaço X espaço espaço igual a espaço 86 espaço 400 espaço espaço. espaço 1 espaço X espaço igual a numerador 86 espaço 400 sobre denominador 7 espaço 200 fim da fração espaço igual a espaço 12

Portanto, a piscina estará cheia em 12 h com a nova vazão.

Aprenda mais álgebra em

Geometria

Exercício 16 — Circunferência

O Planeta Terra possui um raio de cerca de 6 371 km. Se considerarmos a Terra como uma esfera perfeita qual o comprimento de sua circunferência. Considere pi igual a 3 vírgula 14.

Planeta Terra com indicação do raio.

O comprimento de uma circunferência é calculado pela relação:

C igual a 2. pi. r

Substituindo os valores, temos:

C igual a 2 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço. espaço 6 espaço 371 espaço k m C igual a 40 espaço 009 vírgula 88 espaço k m

Este é um valor aproximado pois, o número pi é irracional, por isso possui infinitas casas decimais e, estamos considerando apenas as duas primeiras casas após a vírgula.

Exercício 17 — Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo

Na figura, determine a medida do ângulo A B com conjunção lógica sobrescrito C , sabendo que o segmento pilha B D com barra acima é perpendicular a pilha A C com barra acima.

Triângulo para resolução da questão.

Resposta: O ângulo A B com conjunção lógica sobrescrito C mede 101°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Dessa forma, no triângulo ABD temos:

53° + 90° + x = 180°
x = 180° - 90° - 53°
x = 37°

No triângulo BDC, temos:

90° + 26° + y = 180°
y = 180° - 90° - 26°
y = 64°

Portanto, a medida do ângulo A B com conjunção lógica sobrescrito C é:

A B com conjunção lógica sobrescrito C espaço igual a espaço 64 sinal de grau espaço mais espaço 37 sinal de grau espaço igual a espaço 101 sinal de grau

Exercício 18 — Geometria Analítica, Distância entre dois pontos.

Determine a distância entre os pontos A e B.

Pontos A e B no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Resposta: 4,74 unidades de comprimento.

Para determinar a distância entre quaisquer dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o Teorema de Pitágoras.

Distância entre dois pontos e triângulo retângulo.

Utilizando o Teorema de Pitágoras que diz: " O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".

Onde a hipotenusa é h e os catetos são:

5 - 1 = 4
e
2 - 1 = 2

h ao quadrado igual a 4 ao quadrado mais 2 ao quadrado h ao quadrado igual a 16 mais 4 h ao quadrado igual a 20 h igual a raiz quadrada de 20

Sendo assim, a distância entre os pontos A e B é raiz quadrada de 20. Aproximando a raiz quadrada temos: 4,47 unidades de comprimento.

Estude Exercícios sobre distância entre dois pontos.

Exercício 19 — Volume do Cilindro e da Esfera.

Três bolas de beisebol estão embaladas em um cilindro, perfeitamente ajustadas, sem se deformarem. As bolas de beisebol, que possuem um diâmetro de 7,6 cm tocam as superfícies internas do cilindro nas laterais e nas bases.

Três bolas de beisebol dentro de um cilindro transparente.

Determine o volume do espaço vazio que sobra dentro do cilindro. Considere pi espaço igual a espaço 3.

Resposta: o volume é de, aproximadamente 329 cm³.

O espaço vazio é o volume do cilindro menos os volumes das bolas.

Espaço vazio = volume do cilindro - 3x volume de uma bola

1º passo: determinar o raio e a altura do cilindro.

Raio: como o diâmetro do cilindro coincide com o diâmetro das bolas de beisebol, o raio do cilindro também é o mesmo das bolas.

raio = diâmetro / 2
raio = 7,6 / 2 = 3,8 cm

Altura: a altura do cilindro é igual a três diâmetros das bolas.

altura do cilindro = 3 x diâmetro de uma bola.
altura do cilindro = 3 x 7,6 = 22,8 cm

2º passo: determinar o volume do cilindro.

Volume do cilindro = área da base vezes a altura

Como a base é uma circunferência, sua área é:

pi. r ao quadrado

Dessa forma, o volume do cilindro é:

V com c subscrito igual a pi. r ao quadrado. a

Substituindo os valores
V com c subscrito igual a pi. r ao quadrado. a V com c subscrito igual a 3 espaço. espaço parêntese esquerdo 3 vírgula 8 parêntese direito ao quadrado. espaço 22 vírgula 8 espaço igual a espaço 987 vírgula 696 espaço c m ao cubo

3º passo: calcular o volume das esferas.

V com e subscrito igual a numerador 4. pi. r ao cubo sobre denominador 3 fim da fração

Substituindo os valores:

V com e subscrito igual a numerador 4. pi. r ao cubo sobre denominador 3 fim da fração V com e subscrito igual a numerador 4.3. parêntese esquerdo 3 vírgula 8 parêntese direito ao cubo sobre denominador 3 fim da fração V com e subscrito igual a numerador 658 vírgula 464 sobre denominador 3 fim da fração igual a 219 vírgula 488 espaço c m ao cubo

Como são três bolas:

3 x 219,488 = 658,464 cm³

4º passo: subtrair do volume do cilindro, o volumes das bolas.

Espaço vazio = volume do cilindro - volume das bolas
Espaço vazio = 987,696 cm³ - 658,464 cm³

Espaço vazio = 329,232 cm³

Desta forma, o espaço vazio que sobra no cilindro é de, aproximadamente, 329 cm³.

Exercício 20 — Teorema de Tales

As retas r, s e t são paralelas. Determine a medida do segmento x no triângulo.

Triângulo cortado por retas paralelas.

Rersposta: 37,5.

Os segmentos A B em moldura superior fecha moldura e A C em moldura superior fecha moldura do triângulo são concorrentes e são cortados por retas paralelas. De acordo com o Teorema de Tales, quando retas concorrentes são cortadas por retas paralelas, são formados segmentos proporcionais.

30 sobre 40 igual a x sobre 50

"Multiplicando cruzado", propriedade fundamental das proporções:

x espaço. espaço 40 espaço igual a espaço 30 espaço. espaço 50 x espaço igual a espaço numerador 1 espaço 500 sobre denominador 40 fim da fração x espaço igual a espaço 37 vírgula 5

Exercício 21 — Retas paralelas cortadas por uma transversal

As retas r e s são paralelas entre si, assim como, q e p também. Determine e justifique as medidas dos ângulos desconhecidos.

Retas paralelas e transversais com ângulos determinados.

Os ângulos azul e verde são suplementares, somados formam 180°. Desta forma, chamando o valor do ângulo azul de x, temos:

150° + x = 180°
x = 180° - 150° = 30°

Ângulo azul = 30°

Os ângulos verde e rosa são alternos externos, por isso são iguais.

Ângulo rosa = 150°

Os ângulos amarelo e rosa são suplementares. Chamando o valor do ângulo amarelo de y, temos:

y + 150° = 180°
y = 180° - 150°
y = 30°

Estude Exercícios sobre retas paralelas cortadas por uma transversal.

Exercício 22 - Trigonometria

Em determinada hora do dia, uma árvore faz uma sombra de comprimento igual a 50 m e um ângulo de 30° com o chão. Determine a altura da árvore e a hipotenusa do triângulo.

Árvore fazendo sombra e um triângulo retângulo para determinação da altura.

Conteúdo: a altura da árvore é de, aproximadamente, 28,83 m.

Altura da árvore

Podemos determinar a altura da árvore utilizando a tangente do ângulo de 30°, que diz que:

A tangente é igual a divisão entre a medida do cateto oposto e o cateto adjacente.

Os catetos são os lados do triângulo que formam o ângulo de 90°, e a altura da árvore é o cateto oposto ao ângulo de 30°.

Chamando a altura da árvore de a, temos:

t a n espaço 30 sinal de grau igual a espaço numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração t a n espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço a sobre 50 espaço parêntese esquerdo r e l a ç ã o espaço I parêntese direito

De uma tabela trigonométrica, temos que a tangente do ângulo de 30° é igual a:

tan espaço 30 sinal de grau espaço igual a numerador espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

Substituindo o valor da tangente de 30° na relação I, temos:

numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a a sobre 50

Usando a propriedade fundamental das proporções, multiplicamos cruzado.

numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a a sobre 50 3. a espaço igual a espaço 50 raiz quadrada de 3 a espaço igual a espaço numerador 50 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

Aproximando o valor da raiz de três para 1,73:

a espaço igual a espaço numerador 50 espaço. espaço 1 vírgula 73 sobre denominador 3 fim da fração aproximadamente igual 28 vírgula 83

A altura da árvore é de, aproximadamente, 28,83 m.

Exercício 23 - Trigonometria

Determine as medidas dos segmentos BC e CA.

Imagem para resolução da questão.

No triângulo ABC, 50 m é a medida da hipotenusa. Podemos determinar as medidas dos segmentos BC, que é o cateto adjacente ao ângulo de 60°, e do cateto oposto ao ângulo de 60°, que é o segmento AC.

Cálculo do segmento AC.

O seno do ângulo de 60° é igual a divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa.

s e n espaço 60 sinal de grau espaço igual a espaço numerador A C sobre denominador 50 fim da fração 50 espaço. espaço s e n espaço 60 sinal de grau espaço igual a espaço A C

De uma tabela trigonométrica, temos que o valor do seno de 60° é numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração.

Substituindo os valores:

A C espaço igual a espaço 50 espaço. espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração A C espaço igual a espaço 25 raiz quadrada de 3

Portanto, o comprimento do lado AC é de 25 raiz quadrada de 3 m.

Cálculo do segmento BC.

O segmento BC pode ser calculado pelo cosseno do ângulo de 60°, sendo a divisão entre BC e a hipotenusa.

cos espaço 60 sinal de grau espaço igual a espaço numerador B C sobre denominador 50 fim da fração 50 espaço. espaço cos espaço 60 sinal de grau espaço igual a espaço B C

De uma tabela trigonométrica temos que o cosseno do ângulo de 60° vale 1 meio.

Substituindo, temos:

50 espaço. espaço 1 meio igual a B C 25 espaço igual a espaço B C

Desta forma, a medida do segmento BC é de 25 m.

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Probabilidade e Estatística

Exercício 24 — Probabilidade

Os jogos de cartas de baralho são muito populares. Os baralhos consistem em um conjunto de 52 cartas, divididas em conjuntos menores de 13 cartas chamados naipes: paus, espadas, copas e ouros. Retirando uma carta ao acaso, qual a probabilidade de não ser uma carta do naipe de paus.

Retirar uma carta ao acaso é um experimento aleatório em que o espaço amostral é equiprovável. Isso quer dizer que toda carta tem a mesma chance de ser "sorteada", tem a mesma probabilidade.

A probabilidade é calculada como a razão entre o número favorável ao evento e o número total de elementos do espaço amostral.

O evento é: não ser uma carta de paus. Vamos chamar de evento A.

Neste caso, estamos interessados na probabilidade de sair:

52 - 13 = 39

Assim, das 52 cartas do baralho, 39 não são de paus.

A probabilidade de ocorrer o evento A, é de:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 39 sobre 52 igual a 0 vírgula 75

Em porcentagem, 75%.

Portanto, a probabilidade de não ser uma carta do naipe de paus é 75%.

Exercício 25 — Probabilidade e gráfico de setores

Uma pesquisa realizada com 100 jovens de idades entre 20 e 25 anos em um Campus Universitário levantou os seguintes dados em relação a massa corporal dos entrevistados:

Gráfico de setores para resolução da questão.

A pesquisa ainda aponta que, dos jovens com peso ideal, 37% praticam regularmente algum tipo de atividade física.

Ao sortear um dos cem jovens entrevistados ao acaso, qual a probabilidade dele estar com peso ideal e ainda praticar esportes?

Verificando a parte verde do gráfico, vemos que 47% dos jovens estão no peso ideal.

47 sobre 100

Destes, 37% praticam atividade física. Queremos determinar quanto é 37% de 47%.

37 sobre 100 espaço d e espaço 47 sobre 100 37 sobre 100 espaço sinal de multiplicação espaço 47 sobre 100 espaço igual a espaço numerador 1 espaço 739 sobre denominador 10 espaço 000 fim da fração igual a 0 vírgula 1739

Em porcentagem, 17,39%.

Exercício 26 — Estatística: Moda, Mediana, Média Aritmética

Em um processo seletivo oito concorrentes realizaram um teste e obtiveram os seguintes resultados.

Pedro

8
Jéssica 7
Augusto 9
Fernando 4
Manoel 6
Bia 3
Kássia 6
Nicole 8

Em relação aos resultados, determine:

a) A moda.
b) A mediana.
c) A média aritmética.

a) As modas são: 6 e 8.

Moda é o/os valores que mais se repetem. Nesse caso, dois valores se repetem mais de uma vez, o 6 e o 8.

Observação: um conjunto sem valores repetidos é chamado de amodal.

b) A mediana é 6,5.

Para determinar a mediana devemos colocar os dados em ordem crescente ou decrescente. A esta ordenação damos o nome de ROL de dados.

3 vírgula espaço 4 vírgula espaço 6 vírgula espaço negrito 6 vírgula espaço negrito 7 vírgula espaço 8 vírgula espaço 8 vírgula espaço 9

Se o conjunto de dados tiver um número par de elementos, a mediana será a média aritmética entre os dois valores centrais.

M e d i a n a espaço igual a espaço numerador 6 mais 7 sobre denominador 2 fim da fração igual a 13 sobre 2 igual a 6 vírgula 5

Se o conjunto de dados possuir um número ímpar de elementos, a mediana será exatamente o elemento do centro.

c) A média aritmética é 6,375

Para calcular a média aritmética, somamos todos os valores e dividimos pelo número total de elementos.

numerador 3 mais 4 mais 6 mais 6 mais 7 mais 8 mais 8 mais 9 sobre denominador 8 fim da fração igual a 51 sobre 8 igual a 6 vírgula 375

Exercício 27 — Estatística

Uma pesquisa realizada com 120 alunos de uma escola de Ensino Fundamental, levantou o tempo que eles ficavam expostos à telas, como celulares e tablets.

Tabela com dados para resolução da questão.

Com base nos dados da pesquisa determine:

a) A frequência absoluta de crianças na faixa de 120 a 180 minutos por dia.

b) A frequência relativa de alunos na faixa dos 60 a 90 minutos por dia.

c) Qual porcentagem dos alunos ficam até 90 minutos por dia expostos à telas.

a) A frequência absoluta é 16.

Frequência absoluta (Fa) é a quantidade de cada variável. Neste caso, o número de crianças que passam entre 120 e 180 minutos usando aparelhos digitais.

O total de 120 representa a soma de todas as frequências absolutas.

Chamando de x o valor desconhecido temos:

23 mais 15 mais 17 mais x mais 49 igual a 120 x espaço igual a espaço 120 espaço menos espaço 104 x espaço igual a espaço 16

b) A frequência relativa é 12,5%

F r igual a 15 sobre 120 igual a 0 vírgula 125 igual a 12 vírgula 5 sinal de percentagem

A frequência relativa é a divisão entre a frequência absoluta de uma variável e o total. Neste caso, a divisão entre o número de alunos na faixa entre sessenta e noventa minutos, que é 15, e o total, 120.

c) 31,6% dos alunos ficam até 90 min por dia no celular ou tablet.

Até 90 minutos engloba as duas primeiras faixas. O total de alunos nas duas primeiras faixas é de:

23 + 15 =38

Dos 120 alunos, 38 estão nas duas faixas.

38 sobre 120 aproximadamente igual 0 vírgula 316

Em porcentagem, 31,6%.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.