Exercícios sobre polígonos

Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com as 13 questões sobre polígonos. Confira as resoluções após os gabaritos e tire suas dúvidas para ampliar seus conhecimentos.

Questão 1

Classifique os seguintes polígonos em convexos e não convexos, pela ordem da esquerda para a direita.

Seis polígonos, convexos e não convexos.

a) convexo, convexo, não convexo, convexo, não convexo, não convexo.
b) convexo, não convexo, não convexo, convexo, não convexo, convexo.
c) convexo, não convexo, não convexo, convexo, convexo, convexo.
d) não convexo, não convexo, convexo, convexo, convexo, não convexo.
e) convexo, não convexo, não convexo, convexo, convexo, não convexo.

Resposta correta: e) convexo, não convexo, não convexo, convexo, convexo, não convexo.

Resolução:

Os polígonos convexos são aqueles em que todos os seus ângulos internos são menores que 180°. Isso leva ao fato de que ao traçar um segmento de reta, todos os pontos do segmento estarão contidos dentro da área do polígono.

Um polígono convexo e um polígono não convexo.

Questão 2

Marque a opção que indica quais polígonos são regulares.

a) 1, 2 e 3
b) 2, 4 e 5
c) 1, 2 e 4
d) 1, 2 e 5
e) 2, 3 e 6

Resposta correta: c) 1, 2 e 4

Resolução:

Os polígonos regulares são os equiláteros e equiângulos, ou seja, aqueles que possuem todos os seus lados e ângulos de mesma medida.

Questão 3

Analise se afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F) e marque a opção que classifica a sequência corretamente.

I - Triângulo equilátero é aquele com as medidas de todos seus lados iguais.
II - Escaleno é o nome de um triângulo que possui as medidas de dois lados iguais.
III - Obtusângulo é o triângulo que possui ângulo reto.
IV - Chama-se acutângulo o triângulo com seus três ângulos internos agudos.

a) V, F, V, V
b) F, F, F, V
c) V, F, F, V
d) V, F, F, F
e) V, V, V, V

Resposta correta: c) V, F, F, V

Resolução:

Na afirmativa II: O triângulo escaleno possui os três lados com medidas diferentes.
Na afirmativa III: Obtusângulo é o triângulo que possui um de seus ângulos obtuso, ou seja, com mais de 90°.

Questão 4

Joana irá construir triângulos utilizando varetas de madeira. Ela preparou as varetas e as separou em trios para montar seus triângulos. Em qual alternativa Joana NÃO irá conseguir montar seu triângulo?

a) 2 cm, 3 cm e 4 cm.
b) 3 cm, 5 cm e 7 cm.
c) 3 cm, 6 cm e 11 cm.
d) 3 cm, 4 cm e 6 cm.
e) 8 cm, 4 cm e 7 cm.

Resposta correta: c) 3 cm, 6 cm e 11 cm

Resolução:

A condição de existência de um triângulo é que a medida de um lado, deve ser menor que a soma dos outros.

3 < 6 + 11
6 < 3 + 11
11 > 3 + 6 (condição NÃO satisfeita)

Questão 5

Analise o seguinte polígono e determine o valor do ângulo alpha alfa.

a) 74°
b) 64°
c) 54°
d) 84°
e) 94°

Resposta correta: b) 64°

Resolução:

Ideia 1: Encontrar o valor desconhecido do ângulo interno em D.

A soma das medidas internas de um quadrilátero é 360°. Como dois ângulos são de 90° e um de 64°, temos:

64° + 90° + 90° = 244

360 - 244 = 116º

Ideia 2: Determinar alpha

a l p h a espaço mais espaço 116 espaço igual a espaço 180 a l p h a espaço igual a espaço 180 espaço menos espaço 116 a l p h a espaço igual a espaço 64 sinal de grau

Outra maneira de resolver:

Os segmentos AB e DC são suportes de retas paralelas e, o segmento AD, de uma reta transversal, que secciona as retas paralelas nos pontos A e D.

Em A, o ângulo interno 64° e, no ponto D, o ângulo externo alpha, são ângulos alternos externos, por isso, possuem a mesma medida, determinados por uma reta transversal que corta duas retas paralelas.

Questão 6

No jogo de sinuca, muitas vezes é preciso realizar jogadas chamadas de tabela para conseguir atingir a bola que precisa. Isso porque, para se proteger, o adversário coloca uma bola na frente do alvo do oponente, entre a bola que ele pretende encaçapar, e a bola que ele deve bater.

Na imagem é possível observar que um jogador pretende atingir a bola 5, mesmo com a bola 9 no caminho. Para isso, pretende “contornar” a bola 9 através de uma tabela. As setas indicam a direção da bola preta.

Como o ângulo de chegada na lateral da mesa é igual ao ângulo de saída, calcule qual deve ser o ângulo de chegada para ele conseguir realizar a jogada.

a) 38°
b) 48°
c) 54°
d) 66°
e) 78°

Resposta correta: b) 48°

O ângulo da caçapa onde a bola 5 deve entrar faz como indicado, 48° entre a borda de baixo e a linha pontilhada. Estes 48° mais um angulo desconhecido x, entre a linha pontilhada e a lateral esquerda da mesa, formam 90°

x + 48° = 90°
x = 90° - 48°
x = 42°

A linha pontilhada que passa pela bola 5 forma um triângulo retângulo, com 90° na caçapa de cima. Sendo 180° a soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos determinar o ângulo de saída S.

42° + 90° + S = 180°
132 + S = 180°
S = 180° - 132°
S = 48°

Como o ângulo de chagada na lateral superior da mesa é igual ao de saída, temos que o ângulo de saída é igual a 48°.

Questão 7

Qual é o polígono cuja soma de todos seus ângulos internos é 1260°.

a) hexágono
b) octógono
c) eneágono
d) decágono
e) dodecágono

Resposta correta: c) eneágono

Resolução:

Para o cálculo da soma dos ângulos internos de um polígono convexo, utilizamos a seguinte fórmula:

S = (n-2) . 180°

Sendo S, o resultado da soma e n o número de lados do polígono.

Assim, vamos substituir S pelo valor fornecido pelo problema, 1260°.

1260 = (n-2) . 180
1260 = 180n - 360
1260 + 360 = 180n
1620 = 180n
1620 / 180 = n
9 = n

O polígono que possuí nove lados é o eneágono.

Questão 8

O número total de diagonais de três polígonos convexos com 7, 9 e 11 lados respectivamente, é:

a) 85
b) 170
c) 120
d) 105
e) 75

Resposta correta: a) 85

Para determinar o número de diagonais em um polígono convexo, utilizamos a seguinte fórmula:

d espaço igual a numerador espaço n espaço. espaço parêntese esquerdo n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração Sendo d o número de diagonais e n o número de lados do polígono convexo.

Para um polígono com 7 lados

d espaço igual a espaço numerador 7 espaço. espaço parêntese esquerdo 7 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 28 sobre 2 espaço igual a espaço 14

Para um polígono de 9 lados

d espaço igual a espaço numerador 9 espaço. espaço parêntese esquerdo 9 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 54 sobre 2 espaço igual a espaço 27

Para um polígono 11 lados

d espaço igual a espaço numerador 11 espaço. espaço parêntese esquerdo 11 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 88 sobre 2 espaço igual a 44 espaço

Somando os valores, temos:

14 + 27 + 44 = 85

Portanto, a soma do número de diagonais destes três polígonos é de 85 diagonais ao total.

Questão 9

Uma construtora foi contratada para realizar as obras de um salão de festas e eventos. Para o piso, o arquiteto projetou um mosaico feito com um arranjo de peças de revestimento na forma de algum polígono regular. O nome desta técnica é ladrilhamento. O dono do futuro salão disse que está pensando nos seguintes 5 polígonos como opções para ladrilhar o piso:

No entanto, o arquiteto lhe disse ao observar as formas, que ele possui três opções apenas, uma vez que com duas delas será impossível realizar o serviço, pois, estas opções não se encaixam perfeitamente, havendo sobreposição das peças.

Marque as opções que foram descartadas pelo arquiteto.

a) triângulo e hexágono
b) quadrado e pentágono
c) heptágono e triângulo
d) heptágono e pentágono
e) quadrado e triângulo

Resposta correta: d) heptágono e pentágono

O ladrilhamento só é possível com polígonos que formam 360° ao redor de um vértice de união entre os polígonos.

Exemplos:

Para o pentágono
Cada ângulo interno é de 108°. Portanto, na união de três pentágonos temos:

108° + 108° + 108° = 324°

Se acaso tentarmos colocar mais um pentágono serão 324° + 108° = 432°
Por isso, não é possível ladrilhar pentágonos regulares.

Para o hexágono
Cada ângulo interno do hexágono regular é igual a 120°. Por isso, para a união entre três hexágonos temos:

120° + 120° + 120° = 360°

Portanto, é possível ladrilhar hexágonos regulares.

Para o quadrado
Como cada ângulo interno é igual a 90°, para quatro quadrados temos 90° x 4 = 360°. É possível ladrilhar quadrados.

Para o triângulo equilátero
Como cada ângulo é igual a 60°, para a união de seis triângulos temos 60° x 6 = 360°. É possível ladrilhar.

Para o heptágono
Cada ângulo interno vale 128,57°. Como 360° não é divisível por 128,57, não é possível ladrilhar utilizando os heptágonos regulares.

Das opções propostas pelo dono do salão de festas, o arquiteto descartou os heptágonos e pentágonos.

Questões de vestibulares

Questão 10

ENEM 2020 - Digital. Considere o guindaste mostrado nas figuras, em duas posições (1 e 2). Na posição 1, o braço de movimentação forma um ângulo reto com o cabo de aço CB, que sustenta uma esfera metálica na sua extremidade inferior.

Na posição 2, o guindaste elevou seu braço de movimentação e o novo ângulo formado entre o braço e o cabo de aço ED, que sustenta a bola metálica, é agora igual a 60°.

Triângulos formados por um guindaste e um cabo.

Assuma que os pontos A, B e C, na posição 1, formam o triângulo T1 e que os pontos A, D e E, na posição 2, formam o triângulo T2, os quais podem ser classificados em obtusângulo, retângulo ou acutângulo, e também em equilátero, isósceles ou escaleno.

Segundo as classificações citadas, os triângulos T1 e T2 são identificados, respectivamente, como

a) retângulo escaleno e retângulo isósceles.
b) acutângulo escaleno e retângulo isósceles.
c) retângulo escaleno e acutângulo escaleno.
d) acutângulo escaleno e acutângulo equilátero.
e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.

Resposta correta: e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero.

Resolução:

Em T1 (posição 1)

O enunciado nos fornece que o cabo forma um ângulo reto com o braço, daí temos um triângulo retângulo.
Como o cabo tem 16 m e o braço 12 m, o segmento que falta para fechar o triângulo é a hipotenusa, que não pode ser igual aos catetos. Temos três lados com medidas diferentes, por isso um triângulo escaleno.

Dessa forma, T1 é retângulo e escaleno.

Em T2 (posição 2)

O cabo está com 12 m, mesma medida do braço e forma um ângulo de 60°. Temos dois lados com mesma medida e um ângulo de 60º, o que nos leva obrigatoriamente a outros dois ângulos iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, e já temos a indicação de 60°, sobram 120° para os outros dois ângulos, 60° para cada um.

Dessa forma, T2 possui três lados e ângulos iguais, por isso, é um triângulo equilátero e acutângulo.

Questão 11

ENEM (2019).No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, M é o ponto médio do segmento BC, e os pontos P e Q são obtidos dividindo o segmento AD em três partes iguais.



Pelos pontos B, M, C, P e Q são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura. A razão entre BC e AD que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é

a) 1/3
b) 2/3
c) 2/5
d) 3/5
e) 5/6

Resposta correta: letra b) 2/3

Resolução:

Algumas pistas que o enunciado fornece:

A figura forma um trapézio.
Os cinco triângulos devem possuir áreas iguais.

Ideia 1: Um trapézio possui bases paralelas, por isso a distância entre as duas bases é igual em qualquer ponto. Por isso, as alturas de todos os triângulos são iguais.

Ideia 2: A área de um triângulo

A espaço igual a numerador espaço b espaço x espaço h sobre denominador 2 fim da fração

Sendo
A, a área
b, a base
h, a altura

Conclusão:

Se a área dos cinco triângulos devem ser iguais e a altura é igual para todos os triângulos, logo, a base b deve ser igual para todos.

De fato, se isolarmos b

b espaço igual a espaço numerador 2 A sobre denominador h fim da fração Se A e h são iguais para todos triângulos, b também é igual.

Logo,

BC = 2b
AD = 3b

Por isso a razão será:

numerador B C sobre denominador A D fim da fração espaço igual a espaço numerador 2 b sobre denominador 3 b fim da fração espaço igual a espaço 2 sobre 3

Questão 12

FUVEST (2021).Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é

a) T + Q.
b) 1/2 T + 1/2 Q.
c) T + 1/2 Q.
b) 1/3 T + 1/4 Q.
e) 1/3 T + 1/2 Q.

Resposta correta: c) T + 1/2 Q.

Ideia 1: Nos quadrados, a parte vermelha equivale a que fração?

Em cada quadrado maior (Q), a parte vermelha é igual a 1/4. Como há duas parte vermelhas, em relação a Q, teremos:

1 quarto Q espaço mais espaço 1 quarto Q espaço igual a espaço 2 sobre 4 Q espaço igual a espaço 1 meio Q

Ideia 2: Nos triângulos, a parte vermelha representa que fração?

Em cada triângulo, a parte vermelha é igual a 1/3 de sua área. Como há três triângulos, teremos:

1 terço T espaço mais 1 terço T espaço mais 1 terço T espaço igual a 3 sobre 3 T espaço igual a espaço T

Portanto, a área do pentágono é igual a área de um triângulo, mais, a metade da área de um quadrado.

Questão 13

UECE. Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é:

a) 9.
b) 11.
c) 13.
d) 15.

Resposta correta: a) 9.

Resolução

O número de diagonais em um polígono convexo é dado pela fórmula:

d espaço igual a numerador espaço n. parêntese esquerdo n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração

O enunciado nos diz que n é um terço de d, dessa forma, d = 3n.

n espaço igual a espaço d sobre 3 d espaço igual a espaço 3 n

Substituindo na fórmula e isolando n

3 n espaço igual a espaço numerador n. parêntese esquerdo n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração numerador 6 n sobre denominador n fim da fração igual a n menos 3 6 espaço igual a espaço n menos 3 9 igual a n

Por isso, o valor de n é igual a 9.

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Rafael Asth
Escrito por Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.