Polígonos: o que são e suas classificações (com exemplos)

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. O estudo dos polígonos pertence à geometria plana.

Um polígono é uma forma geométrica plana, formada por uma linha poligonal, ou seja, seguimentos de retas. Por isso, não há curvas em um polígono.

Há diversas formas para classificar um polígono, sendo muito usual classificá-los quanto ao número de lados. Por exemplo, todo polígono com três lados é classificado como triângulo, enquanto todo com quatro lados, como quadriláteros.

Conforme a classificação quanto ao número de lados, os polígonos recebem nomes. Aqui estão alguns.

Tabela dos polígonos

Um polígono por ter muitos lados, e conforme a quantidade, torna-se pouco prático ilustrá-los. Veja os nomes de mais alguns polígonos.

Os polígonos podem ser simples ou complexos, sendo os simples aqueles cujos segmentos consecutivos que os formam não sejam colineares, não se cruzem. Os segmentos que formam os polígonos encontram-se apenas nas extremidades.

Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

Polígono convexo e côncavo

A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.

Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

Polígonos regulares

Os polígonos são regulares quando todos seus lados são iguais, de mesma medida, assim como seus ângulos, que devem possuir medidas iguais.

Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.

Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, simultaneamente equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Elementos do Polígono

Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.
Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.
Ângulos:
- Os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado,
- Os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.
Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

Saiba mais sobre os Quadriláteros.

Soma dos ângulos internos de um polígono

A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto S com reto i subscrito igual a parêntese esquerdo reto n menos 2 parêntese direito espaço. espaço 180 º fim do estilo$

Sendo n o número de lados.do polígono.

Exemplo
Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?

Resolução
O icoságono convexo é um polígono que apresenta 20 lados, ou seja, n = 20. Aplicando esse valor na fórmula, temos:

$começar estilo tamanho matemático 16px reto S com reto i subscrito igual a parêntese esquerdo 20 menos 2 parêntese direito.180 º reto S com reto i subscrito igual a 18.180 º reto S com reto i subscrito igual a 3 espaço 240 º fim do estilo$

Assim, a soma dos ângulos internos do icoságono é igual a 3240º.

Cálculo do número de diagonais

Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 16px reto d igual a numerador reto n. parêntese esquerdo reto n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo$

Exemplo
Quantas diagonais apresenta um octógono convexo?

Resolução
Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos:

$reto d igual a numerador 8. parêntese esquerdo 8 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração reto d igual a numerador 8.5 sobre denominador 2 fim da fração reto d igual a 40 sobre 2 igual a 20 espaço$

Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.

Na tabela abaixo, temos o valor da soma dos ângulos internos e o número de diagonais dos polígonos convexos conforme o número de lados de alguns polígonos.

Perímetro e área dos polígonos

O perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Assim, para conhecer o perímetro de um polígono, basta somar as medidas dos lados que o compõe.

A área é definida como a medida de sua superfície. Para encontrar o valor da área de um polígono, utilizamos fórmulas específicas, segundo o polígono que está sendo calculado.

Por exemplo, a área do retângulo é encontrada multiplicando-se a medida da largura pelo comprimento.

Já a área do triângulo é igual à multiplicação da base pela altura e o resultado dividido por 2.

Para saber como calcular a área de outras polígonos, leia também área dos polígonos.

Fórmula da área do polígono a partir do perímetro

Quando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular a sua área:

$reto A igual a reto p. reto a$

Sendo p o semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2) e a o apótema.

Veja também: Polígonos regulares.

Exercícios sobre polígonos resolvidos

Exercício 1

(CEFET/RJ - 2016) O quintal da casa de Manoel é formado por cinco quadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK e EFGH, de igual área e tem a forma da figura ao lado. Se $B G espaço igual a espaço raiz quadrada de 20 espaço m$ , então a área do quintal é:

a) 20 m²
b) 30 m²
c) 40 m²
d) 50 m²

Ver Resposta

Resposta correta: a) 20 m².

O segmento BG corresponde a diagonal do retângulo BFGK. Essa diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, sendo igual a sua hipotenusa.

Como a figura é composta de quadrados, seus segmentos são iguais, e os chamaremos de L. Podemos destacar o seguinte triângulo com suas medidas, assim:

Passo 1: determinar o valor de L.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo verde BFG, temos:

$parêntese esquerdo raiz quadrada de 20 parêntese direito ao quadrado igual a L ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 L parêntese direito ao quadrado 20 igual a espaço L ao quadrado mais 4 L ao quadrado 20 igual a 5 L ao quadrado 20 sobre 5 igual a L ao quadrado 4 igual a L ao quadrado raiz quadrada de 4 igual a L 2 espaço m igual a L$

Passo 2: cálculo da área de cada quadrado.

Esse valor é a medida do lado de cada quadrado que forma a figura. Assim, a área de cada quadrado será igual a:

A = L²
A = 2² = 4 m²

Passo 3: área total do quintal.

Como são 5 quadrados, a área total da figura será igual a:

A_T = 5 . 4 = 20 m²

Portanto, a área total do terreno é igual a 20 m².

Exercício 2

(Faetec/RJ - 2015) Um polígono regular cujo perímetro mede 30 cm possui n lados, cada um deles medindo (n - 1) cm. Esse polígono é classificado como um:

a) triângulo
b) quadrado
c) hexágono
d) heptágono
e) pentágono

Ver Resposta

Sendo o polígono regular, então seus lados são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Como o perímetro é a soma de todos os lados de um polígono, então temos a seguinte expressão:

P = n. L

Sendo a medida de cada lado igual a (n - 1), então a expressão fica:

30 = n . (n -1)
30 = n² - n
n² - n -30 = 0

Vamos calcular essa equação do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. Assim, temos:

$incremento igual a 1 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 30 parêntese direito.1 incremento igual a 1 mais 120 incremento igual a 121 x igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais ou menos raiz quadrada de 121 sobre denominador 2.1 fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 11 sobre denominador 2 fim da fração igual a 12 sobre 2 igual a 6 x com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 11 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 5$

A medida do lado deve ser um valor positivo, portanto iremos desconsiderar o -5, logo n= 6. O polígono que apresenta 6 lados é chamado de hexágono.

Alternativa: c) hexágono

Pratique mais

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.