Polígonos

Rosimar Gouveia

Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos".

Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.

Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

Polígonos simples e compostos

Polígono convexo e côncavo

A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.

Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

Polígono convexo e côncavo Gif animado

Polígonos regulares

Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.

Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Polígono regular

Elementos do Polígono

  • Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.
  • Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.
  • Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.
  • Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

Elementos de um polígono

Nomenclatura dos Polígonos

Dependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em:

Nomenclatura poligonos

Soma dos ângulos de um polígono

A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula:

S com i subscrito igual a parêntese esquerdo n menos 2 parêntese direito espaço. espaço 180 º

Sendo:

n: número de lados.do polígono

Exemplo

Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?

Solução

O icoságono convexo é um polígono que apresenta 20 lados, ou seja n = 20. Aplicando esse valor na fórmula, temos:

S com i subscrito igual a parêntese esquerdo 20 menos 2 parêntese direito.180 º S com i subscrito igual a 18.180 º S com i subscrito igual a 3 espaço 240 º

Assim, a soma dos ângulos internos do icoságono é igual a 3240º.

Número de diagonais

Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula:

d igual a numerador n. parêntese esquerdo n menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração

Exemplo

Quantas diagonais apresenta um octógono convexo?

Solução

Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos:

d igual a numerador 8. parêntese esquerdo 8 menos 3 parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração d igual a numerador 8.5 sobre denominador 2 fim da fração d igual a 40 sobre 2 igual a 20 espaço

Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.

Na tabela abaixo, temos o valor da soma dos ângulos internos e o número de diagonais dos polígonos convexos de acordo com o número de lados:

Diagonal e ângulos internos

Perímetro e área dos polígonos

O perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Assim, para conhecer o perímetro de um polígono, basta somar as medidas dos lados que o compõe.

A área é definida como a medida da sua superfície. Para encontrar o valor da área de um polígono, utilizamos fórmulas de acordo com o tipo de polígono.

Por exemplo, a área do retângulo é encontrada multiplicando-se a medida da largura pelo comprimento.

Já a área do triângulo é igual a multiplicação da base pela altura e o resultado dividimos por 2.

Para saber como calcular a área de outras polígonos, leia também:

Fórmula da área do polígono a partir do perímetro

Quando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular a sua área:

A igual a p. a

Sendo:

p: semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2).
a: apótema

Apótema de um polígono

Exercícios Resolvidos

1) CEFET/RJ - 2016

O quintal da casa de Manoel é formado por cinco quadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK e EFGH, de igual área e tem a forma da figura ao lado. Se BG = 20 m, então a área do quintal é:

Questão CEFET- RJ 2016 Polígono

a) 20 m2
b) 30 m2
c) 40 m2
d) 50 m2

O segmento BG corresponde a diagonal do retângulo BFGK. Essa diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, sendo igual a sua hipotenusa.

Chamando o lado FG de x, temos que o lado BF será igual a 2x. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

parêntese esquerdo raiz quadrada de 20 parêntese direito ao quadrado igual a x ao quadrado mais parêntese esquerdo 2 x parêntese direito ao quadrado 20 igual a 5 x ao quadrado x ao quadrado igual a 20 sobre 5 x ao quadrado igual a 4 x igual a 2 espaço m

Esse valor é a medida do lado de cada quadrado que forma a figura. Assim, a área de cada quadrado será igual a:

A = l2
A = 22 = 4 m2

Como são 5 quadrados, a área total da figura será igual a:

AT = 5 . 4 = 20 m2

Alternativa: a) 20 m2

2) Faetec/RJ - 2015

Um polígono regular cujo perímetro mede 30 cm possui n lados, cada um deles medindo (n - 1) cm. Esse polígono é classificado como um:

a) triângulo
b) quadrado
c) hexágono
d) heptágono
e) pentágono

Sendo o polígono regular, então seus lados são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Como o perímetro é a soma de todos os lados de um polígono, então temos a seguinte expressão:

P = n. L

Sendo a medida de cada lado igual a (n - 1), então a expressão fica:

30 = n . (n -1)
30 = n2 - n
n2 - n -30 = 0

Vamos calcular essa equação do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. Assim, temos:

incremento igual a 1 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 30 parêntese direito.1 incremento igual a 1 mais 120 incremento igual a 121 x igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais ou menos raiz quadrada de 121 sobre denominador 2.1 fim da fração x com 1 subscrito igual a numerador 1 mais 11 sobre denominador 2 fim da fração igual a 12 sobre 2 igual a 6 x com 2 subscrito igual a numerador 1 menos 11 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 5

A medida do lado deve ser um valor positivo, portanto iremos desconsiderar o -5, logo n= 6. O polígono que apresenta 6 lados é chamado de hexágono.

Alternativa: c) hexágono

Para saber mais, leia também Formas Geométricas e Fórmulas de Matemática.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.