Área do Triângulo

Rosimar Gouveia

A área do triângulo pode ser calculada através das medidas da base e da altura da figura. Lembre-se que o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados.

Contudo, há diversas maneiras de calcular a área de um triângulo, sendo que a escolha é feita de acordo com os dados conhecidos no problema.

Acontece que muitas vezes, não temos todas as medidas necessárias para fazer esse cálculo.

Nestes casos, devemos identificar o tipo de triângulo (retângulo, equilátero, isósceles ou escaleno) e levar em consideração as suas características e propriedades para encontrar as medidas que necessitamos.

Como calcular a área de um triângulo?

Na maioria das situações, usamos as medidas da base e da altura de um triângulo para calcular a sua área. Considere o triângulo representado abaixo, sua área será calculada, usando a seguinte fórmula:

área do triângulo isósceles

Sendo,

Área: área do triângulo
b: base
h:altura

Área do Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º), e dois ângulos agudos (menores que 90º). Desta maneira, das três alturas de um triângulo retângulo, duas coincidem com os lados desse triângulo.

Além disso, se conhecermos dois lados de um triângulo retângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente encontramos o terceiro lado.

área triângulo retângulo

Área do Triângulo Equilátero

O triângulo equilátero, também chamado de equiângulo, é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos congruentes (mesma medida).

Neste tipo de triângulo, quando conhecemos apenas a medida do lado, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida da altura.

A altura, neste caso, o divide em outros dois triângulos congruentes. Considerando um desses triângulos e que seus lados são L, h (altura) e L/2 (o lado relativo a altura fica dividido ao meio), ficamos com:

L ao quadrado igual a h ao quadrado mais abre parênteses L sobre 2 fecha parênteses ao quadrado seta dupla para a direita h ao quadrado igual a L ao quadrado menos L sobre 4 ao quadrado seta dupla para a direita h igual a índice radical espaço em branco de numerador 3 L ao quadrado sobre denominador 4 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita h igual a numerador raiz quadrada de 3 espaço L sobre denominador 2 fim da fração

Assim, substituindo o valor encontrado para a altura na fórmula da área, temos:

área do triângulo equilátero

Área do Triângulo Isósceles

O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados e dois ângulos internos congruentes. Para calcular a área do triângulo isósceles, utiliza-se a fórmula básica para um triângulo qualquer.

Quando queremos calcular a área de um triângulo isósceles e não conhecemos a medida da altura, também podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar essa medida.

No triângulo isósceles, a altura relativa a base (lado com medida diferente dos outros dois lados) divide este lado em dois segmentos congruentes (mesma medida).

Desta forma, conhecendo as medidas dos lados de um triângulo isósceles, podemos encontrar sua área.

Exemplo

Calcule a área do triângulo isósceles representado na figura abaixo:

Exemplo área do triângulo isósceles

Solução

Para calcular a área do triângulo usando a fórmula básica, precisamos conhecer a medida da altura. Considerando a base como o lado de diferente medida, iremos calcular a altura relativa a esse lado.

Lembrando que a altura, neste caso, divide o lado em duas partes iguais, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular sua medida.

Exemplo triângulo isósceles

Área do Triângulo Escaleno

O triângulo escaleno é um tipo de triângulo que possui todos os lados e ângulos internos diferentes. Sendo assim, uma forma de encontrar a área desse tipo de triângulo é usar a trigonometria.

Se conhecermos dois lados desse triângulo e o ângulo entre esses dois lados, sua área será dada por:

área do triângulo escalenoárea triângulo escaleno

Pela Fórmula de Heron também podemos calcular a área do triângulo escaleno.

Outras fórmulas para calcular a área do triângulo

Além da encontrar a área através do produto da base pela altura e dividir por 2, podemos também utilizar outros processos.

Fórmula de Heron

Outra maneira de calcular a área do triângulo é pela "Fórmula de Heron", também chamada de "Teorema de Herão". Ela utiliza os semiperímetros (metade do perímetro) e os lados do triângulo.

Fórmula de Heron

Onde,

S: área do triângulo
p: semiperímetro
a, b e c: lados do triângulo

Sendo o perímetro do triângulo a soma de todos os lados da figura, o semiperímetro representa a metade do perímetro:

p igual a numerador a mais b mais c sobre denominador 2 fim da fração

Interessante notar que, nesta fórmula não há a necessidade de se conhecer a medida da altura (h), por isso, quando essa informação não é dada, o "Teorema de Heron" facilita encontrar a área do triângulo.

Fórmula do Raio Circunscrito

Baseada na "Lei dos Senos" tem-se a "Fórmula do Raio Circunscrito" representada pela expressão:

A igual a numerador a. b. c sobre denominador 4. r fim da fração

A: área do triângulo
a, b e c: lados do triângulo
r: raio da circunferência circunscrita

Ela é utilizada quando o triângulo está inscrito numa circunferência.

Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. Enem - 2010

Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer.

Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

Triângulo exercício enem

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.

Alternativa e: ao triplo da área do triângulo MNC.

2. Cefet/RJ - 2014

Se ABC é um triângulo tal que AB = 3 cm e BC = 4cm, podemos afirmar que a sua área, em cm2, é um número:

a) no máximo igual a 9
b) no máximo igual a 8
c) no máximo igual a 7
d) no máximo igual a 6

Alternativa d: no máximo igual a 6

3. PUC/RIO - 2007

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm2) é:

a) 50
b) 4
c) 11
d) 15
e) 7

Alternativa c: 11

Para saber mais, leia também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.