Área de Figuras Planas - Exercícios


A área de figuras planas representa a medida da extensão que a figura ocupa no plano. Como figuras planas podemos citar o triângulo, o retângulo, o losango, o trapézio, o círculo, entre outras.

Aproveite as questões abaixo para verificar seus conhecimentos sobre esse importante assunto da geometria.

Questões de Concursos Resolvidas

1) Cefet/MG - 2016

A área quadrada de um sítio deve ser dividida em quatro partes iguais, também quadradas, e, em uma delas, deverá ser mantida uma reserva de mata nativa (área hachurada), conforme mostra a figura a seguir.

Questão Cefet-mg 2016 área de figuras planas

Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE e C é o ponto médio do segmento EF, a área hachurada, em m2, mede

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

Observando a figura, notamos que a área hachurada corresponde à área do quadrado de lado 50 m menos a área dos triângulos BEC e CFD.

A medida do lado BE, do triângulo BEC, é igual a 25 m, pois o ponto B divide o lado em dois segmentos congruentes (ponto médio do segmento).

O mesmo acontece com os lados EC e CF, ou seja, suas medidas também são iguais a 25 m, pois o ponto C é o ponto médio do segmento EF.

Assim, podemos calcular a área dos triângulos BEC e CFD. Considerando um dois lados conhecidos como a base, o outro lado será igual a altura, pois os triângulos são retângulos.

Calculando a área do quadrado e dos triângulos BEC e CFD, temos:

A com quadrado subscrito igual a L ao quadrado A com quadrado A E F D subscrito fim do subscrito igual a 50.50 igual a 2500 espaço m ao quadrado A com itálico incremento subscrito itálico igual a numerador b itálico. h sobre denominador itálico 2 fim da fração A com itálico incremento B E D subscrito fim do subscrito itálico igual a numerador itálico 25 itálico. itálico 25 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 625 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 312 itálico vírgula itálico 5 itálico espaço m à potência de itálico 2 A com itálico incremento C F D subscrito fim do subscrito itálico igual a numerador itálico 25 itálico. itálico 50 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 1250 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 625 itálico espaço m à potência de itálico 2 A itálico espaço á r e a itálico espaço h a c h u r a d a itálico espaço s e r á itálico espaço e n c o n t r a d a itálico espaço f a z e n d o itálico menos s e itálico dois pontos A com h subscrito itálico igual a itálico 2500 itálico menos itálico 625 itálico menos itálico 312 itálico vírgula itálico 5 itálico igual a itálico 1562 itálico vírgula itálico 5 itálico espaço m à potência de itálico 2

Alternativa: c) 1562,5

2) Cefet/RJ - 2017

Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a:

a itálico parêntese direito itálico espaço numerador raiz quadrada de itálico 6 sobre denominador itálico 4 fim da fração b itálico parêntese direito itálico espaço itálico 3 sobre itálico 2 c itálico parêntese direito itálico espaço numerador raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 4 fim da fração d itálico parêntese direito numerador índice radical itálico 4 de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração

A informação dada no problema é que as áreas são iguais, ou seja:

A com quadrado subscrito igual a A com triângulo subscrito

A área do triângulo é encontrada multiplicando a medida da base pela medida da altura e dividindo o resultado por 2. Sendo o triângulo equilátero e o lado igual a y, o valor da sua altura é dado por:

h itálico igual a numerador L raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador y raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração S u b s t i t u i n d o itálico espaço e s s e itálico espaço v a l o r itálico espaço n a itálico espaço f ó r m u l a itálico espaço d a itálico espaço á r e a itálico espaço d o itálico espaço t r i â n g u l o itálico vírgula itálico espaço t e m o s itálico dois pontos A com itálico triângulo subscrito itálico igual a numerador b itálico. h sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador y itálico. itálico parêntese esquerdo começar estilo mostrar numerador y raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração fim do estilo itálico parêntese direito sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador y à potência de itálico 2 raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 4 fim da fração I g u a l a n d o itálico espaço a s itálico espaço á r e a s itálico dois pontos x à potência de itálico 2 itálico igual a numerador y à potência de itálico 2 raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 4 fim da fração C a l c u l a n d o itálico espaço a itálico espaço r a z ã o itálico dois pontos x à potência de itálico 2 sobre y à potência de itálico 2 itálico igual a numerador raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 4 fim da fração itálico seta dupla para a direita x sobre y itálico igual a raiz quadrada de numerador raiz quadrada de itálico 3 sobre denominador itálico 4 fim da fração fim da raiz itálico seta dupla para a direita x sobre y itálico igual a numerador índice radical itálico 4 de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração

A l t e r n a t i v a itálico dois pontos itálico espaço d itálico parêntese direito numerador índice radical itálico 4 de itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração

3) IFSP - 2016

Uma praça pública em forma de circunferência tem raio de 18 metros. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta sua área.

a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2

Para encontrar a área da praça, devemos utilizar a fórmula da área do círculo:

A = π.R2

Substituindo o valor do raio e considerando π = 3,14, encontramos:

A = 3,14 . 182 = 3,14 . 324 = 1 017, 36 m2

Alternativa: a) 1 017, 36 m2

4) IFRS - 2016

Um retângulo tem dimensões x e y, que são expressas pelas equações x2 = 12 e (y - 1)2 = 3.

O perímetro e a área deste retângulo são, respectivamente

a) 6√3 + 2 e 2 + 6√3
b) 6√3 e 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 e 12
d) 6 e 2√3
e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6

Primeiro vamos resolver as equações, para encontrar os valores de x e y:

x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1

O perímetro do retângulo será igual a soma de todos os lados:

P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Para encontrar a área, basta multiplicar x.y:

A = 2√3 . (√3 + 1) = 2√3 + 6

Alternativa: e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6

5) Aprendiz de Marinheiro - 2016

Analise a figura a seguir:

Questão área aprendiz de marinheiro 2016

Sabendo que EP é o raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine o valor da área mais escura e assinale a opção correta. Dado: número π=3

a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2

A área mais escura é encontrada somando-se a área da semicircunferência com a área do triângulo ABD. Vamos começar calculando a área do triângulo, para isso, note que o triângulo é retângulo.

Vamos chamar o lado AD de x e calcular a sua medida através do teorema de Pitágoras, conforme indicado abaixo:

52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4

Conhecendo a medida do lado AD, podemos calcular a área do triângulo:

A com itálico triângulo A B D subscrito fim do subscrito itálico igual a numerador itálico 3 itálico. itálico 4 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 12 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 6 itálico espaço c m à potência de itálico 2

Precisamos ainda, calcular a área da semicircunferência. Note que o seu raio será igual a metade da medida do lado AD, assim, r = 2 cm. A área da semicircunferência será igual a:

A itálico igual a numerador pi r à potência de itálico 2 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico 3 itálico. itálico 2 à potência de itálico 2 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 6 itálico espaço c m à potência de itálico 2

A área mais escura será encontrada fazendo-se: AT = 6 + 6 = 12 cm2

Alternativa: b) 12 cm2

6) Enem - 2016

Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Questão Enem 2016 área de um terreno

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

a) 7,5 e 14,5
b) 9,0 e 16,0
c) 9,3 e 16,3
d) 10,0 e 17,0
e) 13,5 e 20,5

Como a área da figura A é igual a área da figura B, vamos primeiro calcular esta área. Para isso, vamos dividir a figura B, conforme imagem abaixo:

Questão do Enem 2016 área do terreno

Note que ao dividir a figura, temos dois triângulos retângulos. Sendo assim, a área da figura B será igual a soma das áreas desse triângulos. Calculando essas áreas, temos:

A com B itálico 1 subscrito fim do subscrito itálico igual a numerador itálico 21 itálico. itálico 3 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 63 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 31 itálico vírgula itálico 5 itálico espaço m à potência de itálico 2 A com B itálico 2 subscrito fim do subscrito itálico igual a numerador itálico 15 itálico. itálico 15 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 225 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 112 itálico vírgula itálico 5 itálico espaço m à potência de itálico 2 A com B subscrito itálico igual a itálico 112 itálico vírgula itálico 5 itálico mais itálico 31 itálico vírgula itálico 5 itálico igual a itálico 144 itálico espaço m à potência de itálico 2

Sendo a figura A um retângulo, sua área é encontrada fazendo-se:

AA = x . (x + 7)= x2 + 7x

Igualando a área da figura A com o valor encontrado para a área da figura B, encontramos:

x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0

Vamos resolver a equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:

itálico incremento itálico igual a itálico 49 itálico menos itálico 4 itálico. itálico 1 itálico. itálico parêntese esquerdo itálico menos itálico 144 itálico parêntese direito itálico incremento itálico igual a itálico 49 itálico mais itálico 576 itálico incremento itálico igual a itálico 625 x com itálico 1 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico 7 itálico mais itálico 25 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 18 sobre itálico 2 itálico igual a itálico 9 x com itálico 2 subscrito itálico igual a numerador itálico menos itálico 7 itálico menos itálico 25 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a numerador itálico menos itálico 32 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico menos itálico 16 à potência de espaço em branco

Como uma medida não pode ser negativa, vamos considerar apenas o valor igual a 9. Portanto, a largura do terreno da figura A será igual a 9 m e o comprimento será igual a 16 m (9+7).

Alternativa: b) 9,0 e 16,0

7) Enem - 2015

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

Área de figuras planas Enem 2015

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

A ampliação da medida da área de cobertura será encontrada diminuindo-se as áreas dos círculos menores do círculo maior (referente a nova antena).

Como a circunferência da nova região de cobertura tangencia externamente as circunferências menores, seu raio será igual a 4 km, conforme indicado na figura abaixo:

Área das antenas

Vamos calcular as áreas A1 e A2 dos círculos menores e a área A3 do círculo maior:

A1 = A2 = 22 . π = 4 π
A3 = 42.π = 16 π

A medida da área ampliada será encontrada fazendo-se:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Alternativa: a) 8 π

8) Enem - 2015

O esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

Questão Enem 2015 área de uma quadra

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diferentes ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

Questão Enem 2015 área de uma quadra

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)

a) aumento de 5 800 cm2.
b) aumento de 75 400 cm2.
c) aumento de 214 600 cm2.
d) diminuição de 63 800 cm2.
e) diminuição de 272 600 cm2.

Para descobrir qual foi a alteração na área ocupada, vamos calcular a área antes e depois da alteração.

No cálculo do esquema I, utilizaremos a fórmula da área do trapézio. Já no esquema II, usaremos a fórmula da área do retângulo.

A com I subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo B itálico mais b itálico parêntese direito itálico. h sobre denominador itálico 2 fim da fração A com I subscrito itálico igual a numerador itálico parêntese esquerdo itálico 600 itálico mais itálico 360 itálico parêntese direito itálico. itálico 580 sobre denominador itálico 2 fim da fração itálico igual a itálico 278 itálico espaço itálico 400 itálico espaço c m à potência de itálico 2  A com I I subscrito fim do subscrito itálico igual a b itálico. h A com I I subscrito fim do subscrito itálico igual a itálico 580 itálico. itálico 490 itálico igual a itálico 284 itálico espaço itálico 200 itálico espaço c m à potência de itálico 2

A alteração da área será então:

A = AII - AI
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2

Alternativa: a) aumento de 5 800 cm².

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