Área de Figuras Planas - Exercícios

Rosimar Gouveia

A área de figuras planas representa a medida da extensão que a figura ocupa no plano. Como figuras planas podemos citar o triângulo, o retângulo, o losango, o trapézio, o círculo, entre outras.

Aproveite as questões abaixo para verificar seus conhecimentos sobre esse importante assunto da geometria.

Questões de Concursos Resolvidas

Questão 1

(Cefet/MG - 2016) A área quadrada de um sítio deve ser dividida em quatro partes iguais, também quadradas, e, em uma delas, deverá ser mantida uma reserva de mata nativa (área hachurada), conforme mostra a figura a seguir.

Questão Cefet-mg 2016 área de figuras planas

Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE e C é o ponto médio do segmento EF, a área hachurada, em m2, mede

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

Alternativa correta: c) 1562,5.

Observando a figura, notamos que a área hachurada corresponde à área do quadrado de lado 50 m menos a área dos triângulos BEC e CFD.

A medida do lado BE, do triângulo BEC, é igual a 25 m, pois o ponto B divide o lado em dois segmentos congruentes (ponto médio do segmento).

O mesmo acontece com os lados EC e CF, ou seja, suas medidas também são iguais a 25 m, pois o ponto C é o ponto médio do segmento EF.

Assim, podemos calcular a área dos triângulos BEC e CFD. Considerando um dois lados conhecidos como a base, o outro lado será igual a altura, pois os triângulos são retângulos.

Calculando a área do quadrado e dos triângulos BEC e CFD, temos:

reto A com quadrado subscrito igual a reto L ao quadrado reto A com quadrado AEFD subscrito fim do subscrito igual a 50.50 igual a 2500 espaço reto m ao quadrado reto A com incremento subscrito igual a numerador reto b. reto h sobre denominador 2 fim da fração reto A com incremento BED subscrito fim do subscrito igual a numerador 25.25 sobre denominador 2 fim da fração igual a 625 sobre 2 igual a 312 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado reto A com incremento CFD subscrito fim do subscrito igual a numerador 25.50 sobre denominador 2 fim da fração igual a 1250 sobre 2 igual a 625 espaço reto m ao quadrado reto A espaço área espaço hachurada espaço será espaço encontrada espaço fazendo menos se dois pontos reto A com reto h subscrito igual a 2500 menos 625 menos 312 vírgula 5 igual a 1562 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado

Portanto, a área hachurada, em m2, mede 1562,5.

Questão 2

(Cefet/RJ - 2017) Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a:

reto a parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 6 sobre denominador 4 fim da fração reto b parêntese direito espaço 3 sobre 2 reto c parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração reto d parêntese direito numerador quarta raiz de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Alternativa correta: reto d parêntese direito numerador quarta raiz de 3 sobre denominador 2 fim da fração.

A informação dada no problema é que as áreas são iguais, ou seja:

reto A com quadrado subscrito igual a reto A com triângulo subscrito

A área do triângulo é encontrada multiplicando a medida da base pela medida da altura e dividindo o resultado por 2. Sendo o triângulo equilátero e o lado igual a y, o valor da sua altura é dado por:

reto h igual a numerador reto L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador reto y raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração Substituindo espaço esse espaço valor espaço na espaço fórmula espaço da espaço área espaço do espaço triângulo vírgula espaço temos dois pontos reto A com triângulo subscrito igual a numerador reto b. reto h sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador reto y. parêntese esquerdo começar estilo mostrar numerador reto y raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo parêntese direito sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador reto y ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração Igualando espaço as espaço áreas dois pontos reto x ao quadrado igual a numerador reto y ao quadrado raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração Calculando espaço reto a espaço razão dois pontos reto x ao quadrado sobre reto y ao quadrado igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração seta dupla para a direita reto x sobre reto y igual a raiz quadrada de numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita reto x sobre reto y igual a numerador quarta raiz de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Portanto, pode-se afirmar que a razão x/y é igual a numerador quarta raiz de 3 sobre denominador 2 fim da fração.

Questão 3

(IFSP - 2016) Uma praça pública em forma de circunferência tem raio de 18 metros. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta sua área.

a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2

Alternativa correta: a) 1 017, 36 m2.

Para encontrar a área da praça, devemos utilizar a fórmula da área do círculo:

A = π.R2

Substituindo o valor do raio e considerando π = 3,14, encontramos:

A = 3,14 . 182 = 3,14 . 324 = 1 017, 36 m2

Portanto, a área da praça é de 1 017, 36 m2.

Questão 4

(IFRS - 2016) Um retângulo tem dimensões x e y, que são expressas pelas equações x2 = 12 e (y - 1)2 = 3.

O perímetro e a área deste retângulo são, respectivamente

a) 6√3 + 2 e 2 + 6√3
b) 6√3 e 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 e 12
d) 6 e 2√3
e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6

Alternativa correta: e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6.

Primeiro vamos resolver as equações, para encontrar os valores de x e y:

x2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3

(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1

O perímetro do retângulo será igual a soma de todos os lados:

P = 2.2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Para encontrar a área, basta multiplicar x.y:

A = 2√3 . (√3 + 1) = 2√3 + 6

Portanto, o perímetro e a área do retângulo são, respectivamente, 6√3 + 2 e 2√3 + 6.

Questão 5

(Aprendiz de Marinheiro - 2016) Analise a figura a seguir:

Questão área aprendiz de marinheiro 2016

Sabendo que EP é o raio da semicircunferência de centro em E, como mostra a figura acima, determine o valor da área mais escura e assinale a opção correta. Dado: número π=3

a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2

Alternativa correta: b) 12 cm2.

A área mais escura é encontrada somando-se a área da semicircunferência com a área do triângulo ABD. Vamos começar calculando a área do triângulo, para isso, note que o triângulo é retângulo.

Vamos chamar o lado AD de x e calcular a sua medida através do teorema de Pitágoras, conforme indicado abaixo:

52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4

Conhecendo a medida do lado AD, podemos calcular a área do triângulo:

reto A com triângulo ABD subscrito fim do subscrito igual a numerador 3.4 sobre denominador 2 fim da fração igual a 12 sobre 2 igual a 6 espaço cm ao quadrado

Precisamos ainda, calcular a área da semicircunferência. Note que o seu raio será igual a metade da medida do lado AD, assim, r = 2 cm. A área da semicircunferência será igual a:

reto A igual a πr ao quadrado sobre 2 igual a numerador 3.2 ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 espaço cm ao quadrado

A área mais escura será encontrada fazendo-se: AT = 6 + 6 = 12 cm2

Portanto, o valor da área mais escura é 12 cm2.

Questão 6

(Enem - 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Questão Enem 2016 área de um terreno

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

a) 7,5 e 14,5
b) 9,0 e 16,0
c) 9,3 e 16,3
d) 10,0 e 17,0
e) 13,5 e 20,5

Alternativa correta: b) 9,0 e 16,0.

Como a área da figura A é igual a área da figura B, vamos primeiro calcular esta área. Para isso, vamos dividir a figura B, conforme imagem abaixo:

Questão do Enem 2016 área do terreno

Note que ao dividir a figura, temos dois triângulos retângulos. Sendo assim, a área da figura B será igual a soma das áreas desse triângulos. Calculando essas áreas, temos:

reto A com reto B 1 subscrito fim do subscrito igual a numerador 21.3 sobre denominador 2 fim da fração igual a 63 sobre 2 igual a 31 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado reto A com reto B 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 15.15 sobre denominador 2 fim da fração igual a 225 sobre 2 igual a 112 vírgula 5 espaço reto m ao quadrado reto A com reto B subscrito igual a 112 vírgula 5 mais 31 vírgula 5 igual a 144 espaço reto m ao quadrado

Sendo a figura A um retângulo, sua área é encontrada fazendo-se:

AA = x . (x + 7)= x2 + 7x

Igualando a área da figura A com o valor encontrado para a área da figura B, encontramos:

x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0

Vamos resolver a equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:

incremento igual a 49 menos 4.1. parêntese esquerdo menos 144 parêntese direito incremento igual a 49 mais 576 incremento igual a 625 reto x com 1 subscrito igual a numerador menos 7 mais 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 reto x com 2 subscrito igual a numerador menos 7 menos 25 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 32 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 16 à potência de espaço em branco

Como uma medida não pode ser negativa, vamos considerar apenas o valor igual a 9. Portanto, a largura do terreno da figura A será igual a 9 m e o comprimento será igual a 16 m (9+7).

Portanto, as medidas do comprimento e da largura devem ser iguais, respectivamente, a 9,0 e 16,0.

Questão 7

(Enem - 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

Área de figuras planas Enem 2015

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

Alternativa correta: a) 8 π.

A ampliação da medida da área de cobertura será encontrada diminuindo-se as áreas dos círculos menores do círculo maior (referente a nova antena).

Como a circunferência da nova região de cobertura tangencia externamente as circunferências menores, seu raio será igual a 4 km, conforme indicado na figura abaixo:

Área das antenas

Vamos calcular as áreas A1 e A2 dos círculos menores e a área A3 do círculo maior:

A1 = A2 = 22 . π = 4 π
A3 = 42.π = 16 π

A medida da área ampliada será encontrada fazendo-se:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Portanto, com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em 8 π.

Questão 8

(Enem - 2015) O esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

Questão Enem 2015 área de uma quadra

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diferentes ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

Questão Enem 2015 área de uma quadra

Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)

a) aumento de 5 800 cm2.
b) aumento de 75 400 cm2.
c) aumento de 214 600 cm2.
d) diminuição de 63 800 cm2.
e) diminuição de 272 600 cm2.

Alternativa correta: a) aumento de 5 800 cm².

Para descobrir qual foi a alteração na área ocupada, vamos calcular a área antes e depois da alteração.

No cálculo do esquema I, utilizaremos a fórmula da área do trapézio. Já no esquema II, usaremos a fórmula da área do retângulo.

reto A com reto I subscrito igual a numerador parêntese esquerdo reto B mais reto b parêntese direito. reto h sobre denominador 2 fim da fração reto A com reto I subscrito igual a numerador parêntese esquerdo 600 mais 360 parêntese direito.580 sobre denominador 2 fim da fração igual a 278 espaço 400 espaço cm ao quadrado  reto A com II subscrito igual a reto b. reto h reto A com II subscrito igual a 580.490 igual a 284 espaço 200 espaço cm ao quadrado

A alteração da área será então:

A = AII - AI
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2

Portanto, após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um aumento de 5 800 cm².

Exercícios propostos (com resolução)

Questão 9

Ana decidiu construir uma piscina retangular em sua casa com as medidas 8 m de base por 5 m de altura. Ao redor dela, em forma de trapézio, foi preenchido com grama.

Questão sobre área de figuras planas

Sabendo que a altura do trapézio é 11 m e as suas bases são 20 m e 14 m, qual a área da parte que foi preenchida com grama?

a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2

Alternativa correta: c) 147 m2.

Como o retângulo, que representa a piscina, está inserido dentro de uma figura maior, o trapézio, vamos iniciar calculando a área da figura externa.

A área do trapézio é calculada pela fórmula:

reto A espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto b parêntese direito espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração

Onde,

B é a medida da base maior;
b é a medida da base menor;
h é a altura.

Substituindo na fórmula os dados do enunciado, temos:

reto A espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto b parêntese direito espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo 20 espaço reto m espaço mais espaço 14 espaço reto m parêntese direito espaço. espaço 11 espaço reto m sobre denominador 2 fim da fração igual a espaço numerador 374 espaço reto m ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 187 espaço reto m ao quadrado

Agora, vamos calcular a área do retângulo. Para isso, precisamos apenas multiplicar a base pela altura.

reto A espaço igual a espaço reto b espaço. espaço reto h espaço igual a espaço 8 espaço reto m espaço. espaço 5 espaço reto m espaço igual a espaço 40 espaço reto m ao quadrado

Para encontrar a área coberta por grama, precisamos subtrair da área do trapézio o espaço ocupado pela piscina.

187 espaço reto m ao quadrado espaço menos espaço 40 espaço reto m à potência de 2 espaço fim do exponencial igual a espaço 147 espaço reto m ao quadrado

Portanto, a área preenchida com grama foi de 147 m2.

Veja também: Área do Trapézio

Questão 10

Para reformar o telhado de seu armazém, Carlos decidiu comprar telhas colonial. Utilizando este tipo de cobertura são necessárias 20 peças para cada metro quadrado de telhado.

Exercício sobre área de figuras planas

Se a cobertura do local é formada por duas placas retangulares, como na figura acima, quantas telhas Carlos precisa comprar?

a) 12000 telhas
b) 16000 telhas
c) 18000 telhas
d) 9600 telhas

Alternativa correta: b) 16000 telhas.

A cobertura do armazém é feita por duas placas retangulares. Portanto, devemos calcular a área de um retângulo e multiplicar por 2.

reto A espaço igual a espaço reto B espaço. espaço reto h espaço igual a espaço 40 espaço reto m espaço. espaço 10 espaço reto m espaço igual a espaço 400 espaço reto m ao quadrado espaço espaço 2 espaço reto x espaço 400 espaço reto m à potência de 2 espaço fim do exponencial igual a espaço 800 espaço reto m ao quadrado

Sendo assim, a área total do telhado é 800 m2. Se cada metro quadrado necessita de 20 telhas, através de uma regra de três simples calculamos quantas telhas preenchem o teto de todo armazém.

tabela linha com célula com 1 espaço reto m ao quadrado fim da célula menos célula com 20 espaço telhas fim da célula linha com célula com 800 espaço reto m ao quadrado fim da célula menos reto x linha com blank blank blank linha com reto x igual a célula com numerador 20 espaço telhas espaço reto x espaço 800 espaço riscado diagonal para cima sobre reto m ao quadrado fim do riscado sobre denominador 1 espaço riscado diagonal para cima sobre reto m ao quadrado fim do riscado fim da fração fim da célula linha com reto x igual a célula com 16000 espaço telhas fim da célula fim da tabela

Portanto, será necessário comprar 16 mil telhas.

Veja também: Área do Retângulo

Questão 11

Márcia gostaria de dois vasos de madeira idênticos para decorar a entrada da sua casa. Por só conseguir comprar um do que mais gostou, ela decidiu contratar um marceneiro para construir outro vaso com as mesmas dimensões. O vaso deve ter as quatro faces laterais em forma de trapézio isósceles e a base é um quadrado.

Exercício sobre área de figuras planas

Sem levar em consideração a espessura da madeira, quantos metros quadrados de madeira serão necessários para reproduzir a peça?

a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2

Alternativa correta: d) 0,3121 m2.

Um trapézio isósceles é o tipo que possui os lados iguais e bases com medidas diferentes. Pela imagem, temos as seguintes medidas do trapézio de cada lateral do vaso:

Base menor (b): 19 cm;
Base maior (B): 27 cm;
Altura (h): 30 cm.

De posse dos valores, calculamos a área do trapézio:

reto A espaço igual a numerador espaço parêntese esquerdo reto B espaço mais espaço reto b parêntese direito espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador parêntese esquerdo 27 espaço cm espaço mais espaço 19 espaço cm parêntese direito espaço. espaço 30 espaço cm sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço numerador 1380 espaço cm ao quadrado sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 690 espaço cm ao quadrado

Como o vaso é formado por quatro trapézios precisamos multiplicar por quatro a área encontrada.

4 espaço reto x espaço 690 espaço cm ao quadrado espaço igual a espaço 2760 espaço cm ao quadrado

Agora, precisamos calcular a base do vaso, que é formada por um quadrado de lado 19 cm.

reto A espaço igual a espaço reto L espaço. espaço reto L espaço igual a espaço 19 espaço cm espaço reto x espaço 19 espaço cm espaço igual a espaço 361 espaço cm ao quadrado

Somando-se as áreas calculadas chegamos a área total de madeira a ser utilizada para construir.

reto A com reto t subscrito espaço igual a espaço 2760 espaço cm ao quadrado espaço mais espaço 361 espaço cm ao quadrado espaço igual a espaço 3121 espaço cm ao quadrado

Entretanto, a área precisa ser apresentada em metros quadrado.

3121 espaço cm ao quadrado espaço dois pontos espaço 10000 espaço igual a espaço 0 vírgula 3121 espaço reto m ao quadrado

Portanto, sem levar em consideração a espessura da madeira, foram necessários 0,3121 m2 de material para fabricar o vaso.

Veja também: Área do Quadrado

Questão 12

Para facilitar o cálculo de quantas pessoas participam de eventos públicos, geralmente, considera-se que um metro quadrado é ocupado por quatro pessoas.

Exercício sobre área de figura plana

Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura contratou uma banda para tocar na praça localizada no centro, que possui uma área de 4000 m2. Sabendo que a praça ficou lotada, quantas pessoas aproximadamente compareceram ao evento?

a) 16 mil pessoas.
b) 32 mil pessoas.
c) 12 mil pessoas.
d) 40 mil pessoas.

Alternativa correta: a) 16 mil pessoas.

Um quadrado possui quatro lados iguais e tem sua área calculada pela fórmula: A = L x L.

Se em 1 m2 é ocupado por quatro pessoas, então 4 vezes a área do total da praça nos dá a estimativa de pessoas que compareceram ao evento.

4 espaço reto x espaço reto A com praça espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço 4 espaço reto x espaço 4000 espaço igual a espaço 16 espaço 000

Sendo assim, 16 mil pessoas participaram do evento promovido pela prefeitura.

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.