Exercícios de Geometria Espacial resolvidos

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com os exercícios de Geometria Espacial com resposta. Questões sobre sólidos geométricos como: poliedros, cilindros e circunferências comentadas e resolvidas.

Questão 1

Qual o volume e a área superficial total de um paralelepípedo reto com dimensões de 5 cm, 7 cm e 9 cm?

Resposta: volume 315 cm³ e área 286 cm²

Cálculo do volume

Um paralelepípedo reto é também um prisma de base retangular. Como todo prisma, seu volume é dado pelo produto (multiplicação), entre a área da base e a altura.

Sendo a base um retângulo, para calcular a área, basta multiplicar duas medidas. Desta forma, para calcular o volume, multiplicam-se as três dimensões.

reto V igual a 7 sinal de multiplicação 5 sinal de multiplicação 9 igual a 315 espaço cm ao cubo

Cálculo da área

O paralelepípedo possui seis faces, de forma que, a área total, é o soma das áreas dos seis lados. Os lados opostos de um paralelepípedo são iguais e, para calcular a área, fazemos:

5 espaço cm espaço reto x espaço 7 espaço cm espaço igual a espaço 35 espaço cm ao quadrado espaço espaço 7 espaço cm espaço reto x espaço 9 espaço cm igual a espaço 63 espaço cm ao quadrado espaço espaço 5 espaço cm espaço reto x espaço 9 espaço cm espaço igual a espaço 45 espaço cm ao quadrado

Como cada lado se repete duas vezes, somamos e multiplicamos o resultado por dois.

2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo 35 espaço mais espaço 63 espaço mais espaço 45 parêntese direito igual a 2 espaço sinal de multiplicação espaço parêntese esquerdo 143 parêntese direito igual a 286 espaço cm ao quadrado

Questão 2

O projeto de uma casa descreve para sua estrutura, um prisma quadrangular com 9 m de frente, profundidade de 12 m e altura de 2,50 m. Esta casa possuirá:

1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m;
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m;
2 janelas em cada um dos quatro lados da casa, com 1,20 x 1,10 m;

Para construir a casa é necessário conhecer a metragem quadrada e, assim, comprar as quantidades necessárias de materiais, sem desperdício. Calcule quantos metros quadrados de paredes serão construídas.

Resposta: 88,94 m².

Passo 1: calcular a área total.

A área da frente e de trás da casa são dois retângulos de 9 m de frente por 2,5 m de altura.

2 espaço. espaço 9 espaço. espaço 2 vírgula 5 espaço igual a espaço 45 espaço reto m ao quadrado

A área das laterais são dois retângulos de 12 m de profundidade por 2,5 m de altura.

2 espaço. espaço 12 espaço. espaço 2 vírgula 5 espaço igual a espaço 60 espaço reto m ao quadrado

A área total é:

60 espaço mais espaço 45 espaço igual a espaço 105 espaço reto m ²

Passo 2: calcular a área das janelas e portas.

Área das portas.
1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m = 3,52 m²
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m = 1,98 m²

Total da área das portas: 3,52 + 1,98 = 5,5 m²

Área das janelas.
Há 2 janelas por lado, sendo quatro lados, são 8 janelas. Cada janela possui: 1,20 m x 1,10 m = 1,32 m².

Total das áreas das janelas: 1,32 x 8 = 10,56 m².

Somando as áreas das portas e janelas: 5,50 + 10,56 = 16,06 m².

Passo 3: subtrair da área total, a área das janelas e portas.

105 espaço menos espaço 16 vírgula 06 espaço igual a espaço 88 vírgula 94 espaço m ²

Conclusão
Serão construídos 88,94 m² de paredes.

Questão 3

Considere um prisma triangular com bases na forma de triângulos equiláteros com lados de 6 cm. Se sua altura também possui 6 cm, determine seu volume e área superficial total.

Resposta: o volume é de 93,6 m³ e a área é de 139,2 cm², aproximadamente.

Cálculo do volume.
O volume de todo prisma é calculado pelo produto entre a área da base e a altura.

reto V espaço igual a espaço reto A com reto b subscrito espaço. espaço reto h

Sendo a base um triângulo equilátero, sua área pode ser calculada por:

reto A com reto b subscrito igual a numerador reto b espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração

Para determinar a altura do triângulo da base, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo:

Imagem associada à questão.

6 ao quadrado igual a 3 ao quadrado espaço mais espaço reto h ao quadrado 36 espaço igual a espaço 9 espaço mais espaço reto h ao quadrado 36 espaço menos espaço 9 espaço igual a espaço reto h ao quadrado 27 espaço igual a espaço reto h ao quadrado raiz quadrada de 27 espaço igual a espaço reto h

A área da base é:

reto A com reto b subscrito igual a numerador 6 espaço. espaço raiz quadrada de 27 sobre denominador 2 fim da fração igual a 3 raiz quadrada de 27 espaço c reto m

O volume é:

V espaço igual a espaço A com b subscrito espaço. espaço h V espaço igual a espaço 3 raiz quadrada de 27 espaço. espaço 6 V espaço igual a espaço 18 raiz quadrada de 27 espaço c m ao cubo

Aproximando a raíz de 27 para 5,2:

reto V igual a 18 espaço. espaço 5 vírgula 2 espaço igual a espaço 93 vírgula 6 espaço cm ao cubo

Cálculo da área superficial total.

O prisma triangular é formado por duas bases triangulares e três retângulos. Como já calculamos a área da base, basta multiplicar por dois.

Área das bases.

2 espaço. espaço 3 raiz quadrada de 27 igual a 6 raiz quadrada de 27 espaço c m ao quadrado

Área lateral.

São três quadrados formados por 6 cm de lado.

3 espaço. espaço 6 espaço. espaço 6 espaço igual a espaço 108 espaço c m ²

A área total é:

6 raiz quadrada de 27 espaço mais espaço 108 espaço c m ao quadrado

Aproximando a raiz quadrada, temos:

6 espaço. espaço 5 vírgula 2 espaço mais espaço 108 espaço igual a 139 vírgula 2 espaço cm ²

Questão 4

Um prisma hexagonal possui 8 faces e 12 vértices. Qual é o número de arestas?

Resposta: 18 arestas.

Para determinar o número de arestas, utilizamos a relação de Euler.

V espaço mais espaço F espaço igual a espaço A espaço mais espaço 2 12 espaço mais espaço 8 espaço igual a espaço A espaço mais espaço 2 20 espaço igual a espaço A espaço mais espaço 2 20 espaço menos espaço 2 espaço igual a espaço A 18 espaço igual a A

O prisma possui 18 arestas.

Questão 5

Calcule a volume de uma esfera com 3 cm de raio. Considere pi como 3,14.

Resposta: 37,68 cm³

O volume de uma esfera é determinada por:

reto V igual a 4 sobre 3 πR ao cubo reto V espaço igual a 4 sobre 3 reto pi.3 ao cubo reto V espaço igual a 4 sobre 3 reto pi.9 reto V espaço igual a 36 sobre 3 reto pi reto V espaço igual a 12 reto pi espaço igual a espaço 12 espaço. espaço 3 vírgula 14 espaço igual a 37 vírgula 68 espaço cm ao cubo espaço

Questão 6

Um icosaedro truncado é um poliedro que serve como fundamento para a construção de uma figura espacial bem conhecia, a bola de futebol. A versão desta bola de futebol foi criada na copa do mundo de 1970. O icosaedro truncado possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Determine o número de arestas deste poliedro.

Resposta: 90 arestas.

Utilizando a relação entre arestas e faces, temos:

2 A espaço igual a espaço 3. F com 3 subscrito espaço mais espaço 4. F com 4 subscrito espaço mais espaço 5. F com 5 subscrito espaço mais espaço 6. F com 6 subscrito espaço mais espaço 7. F com 7 subscrito espaço mais espaço 8. F com 8 subscrito espaço mais espaço... espaço

Onde,

A é o número de arestas;
F3 é o número de faces triangulares;
F4 é o número de faces quadrangulares;
F5 é o número de faces pentagonais;
...

A fórmula continua infinitamente, no entanto, o icosaedro truncado possui apenas faces pentagonais e hexagonais, de forma que, todas as outras parcelas desaparecem.

2 A espaço igual a espaço 3. F com 3 subscrito espaço mais espaço 4. F com 4 subscrito espaço mais espaço 5. F com 5 subscrito espaço mais espaço 6. F com 6 subscrito espaço mais espaço 7. F com 7 subscrito espaço mais espaço 8. F com 8 subscrito espaço mais espaço... espaço 2 A espaço igual a espaço 3.0 espaço mais espaço 4.0 espaço mais espaço 5. F com 5 subscrito espaço mais espaço 6. F com 6 subscrito espaço mais espaço 7.0 espaço mais espaço 8.0 espaço mais espaço... 2 A espaço igual a espaço 5. F com 5 subscrito espaço mais espaço 6. F com 6 subscrito espaço

Substituindo o número de faces pentagonais e hexagonais:

2 A espaço igual a espaço 5.12 espaço mais espaço 6.20 2 A espaço igual a espaço 60 espaço mais espaço 120 2 A espaço igual a espaço 180 A espaço igual a espaço 180 sobre 2 igual a 90

Este poliedro possui 90 arestas.

Questão 7

O maior túnel rodoviário do Brasil fica no Estado de São Paulo, na rodovia Tamoios, que liga o Litoral norte ao Vale do Paraíba. Ele possui 5 555 m de extensão, e seu vazamento (escavação), retirou cerca de 1,7 milhões de metros cúbicos de rocha.

Aproximando sua seção transversal como um semicírculo e, considerando uma extensão retilínea, qual deveria ser a altura do túnel no ponto mais alto?

Considere pi = 3,14.

Resposta: aproximadamente 14,28 m.

A questão pede para aproximarmos a seção do túnel como meia circunferência. Considerando seu volume, será meio cilindro.

O volume de um cilindro é dado pela fórmula:

V espaço igual a espaço A com b subscrito espaço. espaço h V espaço igual a espaço pi. r ao quadrado espaço. espaço h

Em que r é o raio da semicircunferência. A altura do ponto mais alto do túnel é, portanto, r.

Como o túnel é metade de um cilindro, seu volume é:

reto V igual a numerador reto pi. reto r ao quadrado. reto h sobre denominador 2 fim da fração

V é o volume de 1,7 milhões m³ e h é sua extensão, de 5 555 m.

1 espaço 700 espaço 000 igual a numerador reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado. espaço 5 espaço 555 sobre denominador 2 fim da fração 1 espaço 700 espaço 000 espaço. espaço 2 espaço igual a reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado. espaço 5 espaço 555 3 espaço 400 espaço 000 espaço igual a reto pi espaço. espaço reto r ao quadrado. espaço 5 espaço 555 numerador 3 espaço 400 espaço 000 sobre denominador 5 espaço 555 espaço. espaço 3 fim da fração espaço igual a reto r ao quadrado numerador 3 espaço 400 espaço 000 sobre denominador 16 espaço 665 fim da fração espaço igual a reto r ao quadrado 204 aproximadamente igual reto r ao quadrado raiz quadrada de 204 aproximadamente igual reto r 14 vírgula 28 espaço aproximadamente igual reto r

Assim, a altura no ponto mais alto é de cerca de 14,28 m.

Questão 8

Um dos principais pontos turísticos de Paris é o conjunto de pirâmides do Museu do Louvre, localizado na praça Cour Napoléon. Com suas superfícies em vidro suportadas por estruturas metálicas, a maior e principal pirâmide possui 20,6 m de altura. Sua base é um quadrado de 35 m de lado. A medida da quantidade de vidro necessário para sua construção, em metros quadrados, é igual a:

Resposta: 1892 m².

Trata-se de um problema de área. A pirâmide de base quadrada, é formada por 4 triângulos de bases de 35 m. O objetivo é determinar a área formada pelos quatro triângulos.

A área de um triângulo é determinada por:

reto A espaço igual a espaço numerador reto b espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração

A base b já está determinada, faltando apenas a altura h. A medida fornecida foi a altura da pirâmide, não do lado.

Considerando a altura h, do lado, a altura da pirâmide, de 20,6 m, e a metade de um lado da base, de 35 m, forma-se uma triângulo retângulo. Desta forma, para determinar a altura h, do lado, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.

h ao quadrado igual a espaço abre parênteses 20 vírgula 6 fecha parênteses ao quadrado mais espaço abre parênteses 35 sobre 2 fecha parênteses ao quadrado h ao quadrado igual a espaço 424 vírgula 36 espaço mais espaço 1225 sobre 4 h ao quadrado igual a 424 vírgula 36 espaço mais espaço 306 vírgula 25 h ao quadrado igual a 730 vírgula 61 h igual a raiz quadrada de 730 vírgula 61 fim da raiz

Determinando a área de um lado:

reto A espaço igual a espaço numerador reto b espaço. espaço reto h sobre denominador 2 fim da fração reto A espaço igual a espaço numerador 35 espaço. espaço raiz quadrada de 730 vírgula 61 fim da raiz espaço sobre denominador 2 fim da fração reto A espaço igual a espaço 17 vírgula 5 espaço. espaço raiz quadrada de 730 vírgula 61 fim da raiz

Aproximando a raíz de 730,61 para 27

A aproximadamente igual 17 vírgula 5 espaço. espaço 27 A aproximadamente igual 473 espaço m ao quadrado

Como são quatro lados, a área total é de:

473 espaço x espaço 4 espaço igual a espaço 1892 espaço reto m ao quadrado

Questão 9

(Enem 2021) Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentara capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como aproximação para π.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de

a) raiz quadrada de 30 espaço menos espaço 5

b) numerador raiz quadrada de 30 menos 5 sobre denominador 2 fim da fração

c) raiz quadrada de 5

d) 5/2

e) 15/2

Resposta: a) raiz quadrada de 30 espaço menos espaço 5 espaço reto m

Dados
2 m de profundidade deve ser constante;
5 peixes por m³;
750 peixes atualmente;
aumentar para 900 peixes;
pi = 3.

Passo 1: determinar o volume atual.

São 750 peixes, como é necessário 1 m³ para 5 peixes, o reservatório possui 750 / 5 = 150 m³.

Passo 2: determinar o raio atual.

O volume de um cilindro é dado por:

reto V espaço igual a espaço reto pi. reto r ao quadrado espaço. espaço reto h

Substituindo os valores e resolvendo para r:

reto V espaço igual a espaço reto pi. reto r ao quadrado espaço. espaço reto h 150 espaço igual a espaço 3. reto r ao quadrado espaço. espaço 2 150 espaço igual a espaço 6 reto r ao quadrado 150 sobre 6 igual a reto r ao quadrado 25 igual a reto r ao quadrado raiz quadrada de 25 espaço igual a reto r 5 espaço reto m espaço igual a espaço reto r espaço

O raio do tanque atual é de 5 m.

Passo 3: o raio R do novo tanque.

O novo tanque comporta 900 peixes, seu volume é:

900/5 = 180 m³

Utilizando esse valor na fórmula do volume do cilindro, para a mesma altura, o novo raio é:

V igual a pi. R ao quadrado. espaço h 180 igual a 3. R ao quadrado.2 180 igual a 6. R ao quadrado 180 sobre 6 igual a R ao quadrado 30 igual a R ao quadrado raiz quadrada de 30 igual a R

Passo 4: determinando o aumento.

O novo raio R, é a soma entre o raio original mais o aumento.

R igual a r espaço mais espaço a u m e n t o

Como a questão pede o aumento, temos:

aumento igual a reto R menos reto r aumento igual a raiz quadrada de 30 espaço menos espaço 5 espaço reto m

Conclusão
Para comportar a quantidade de 900 peixes e aumentar o volume, mantendo a mesma profundidade, o raio deverá aumentar raiz quadrada de 30 espaço menos espaço 5 espaço reto m

Questão 10

(Enem 2021) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.

Imagem associada à questão.

O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de

a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.

Resposta: 14.

Para saber o número de bolinhas dividimos o volume adicional necessário pelo volume de cada bolinha.

Passo 1: determinar o volume adicional necessário para o nível alcançar 15 cm de altura.

Como o nível está em 8 cm, para chegar a 15 cm, faltam 7 cm. Este volume é formado por um prisma quadrangular (paralelepípedo) como medidas de: 7 cm, 4 cm e 3 cm.

O volume é:

V igual a 7 espaço. espaço 4 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 84 espaço c m ao cubo

Passo 2: determinar a quantidade de bolas.

Como cada bola possui 6 cm³, desta forma, serão necessárias 84/6 = 14 bolas.

Questão 11

(Enem 2016) Uma indústria de perfumes embala seus produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R, com volume dado por 4 dividido por 3 espaço pi espaço. parêntese esquerdo R parêntese direito ao cubo.

Observou-se que haverá redução de custos se forem utilizados frascos cilíndricos com raio da base R/3 , cujo volume será dado por reto pi espaço parêntese esquerdo reto R dividido por 3 parêntese direito ao quadrado espaço. espaço reto h, sendo h a altura da nova embalagem.

Para que seja mantida a mesma capacidade do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em termos de R) deverá ser igual a

a) 2R.
b) 4R.
c) 6R.
d) 9R.
e) 12R.

Resposta: 12R.

O volume do frasco esférico é:

V com e subscrito igual a numerador 4. pi. R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração

O volume do frasco cilíndrico é:

V com c subscrito igual a pi. r ao quadrado. h

Como estes volumes devem ser iguais, fazemos:

V com e subscrito igual a V com c subscrito numerador 4 espaço. espaço pi espaço. espaço R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração igual a pi espaço. espaço abre parênteses R sobre 3 fecha parênteses ao quadrado espaço. espaço h numerador 4 espaço. espaço pi espaço. espaço R ao cubo sobre denominador 3 fim da fração igual a pi espaço. espaço numerador R ao quadrado sobre denominador 3.3 fim da fração espaço. espaço h

Simplificando os termos semelhantes:

numerador 4 espaço. espaço diagonal para cima risco reto pi espaço. espaço reto R à potência de diagonal para cima risco 3 fim do exponencial sobre denominador diagonal para cima risco 3 fim da fração igual a diagonal para cima risco reto pi espaço. espaço numerador reto R à potência de diagonal para cima risco 2 fim do exponencial sobre denominador diagonal para cima risco 3.3 fim da fração espaço. espaço reto h 4 reto R igual a 1 terço espaço. espaço reto h 4 reto R espaço. espaço 3 espaço igual a espaço reto h 12 reto R espaço igual a espaço reto h

A altura do frasco cilíndrico é de 12R.

Questão 12

(FAG 2016) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:

a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20

Resposta: 19.

Pelo princípio da conservação de massa, e sem considerar perdas, o volume dos dois blocos deve ser igual ao volume do paralelepípedo.

Volume dos blocos:

V igual a 10 ao cubo espaço mais espaço 6 ao cubo V igual a 1 espaço 000 espaço mais espaço 216 V igual a 1 espaço 216 espaço c m ao cubo

Volume do paralelepípedo:

V espaço igual a espaço 8 espaço. espaço 8 espaço. espaço x V espaço igual a espaço 64 x

Igualando os dois valores e resolvendo para x:

1 espaço 216 espaço igual a espaço 64 x numerador 1 espaço 216 sobre denominador 64 fim da fração igual a espaço x 19 espaço espaço igual a espaço x

Questão 13

(Enem 2021) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são

a) 2 quadrados e 4 retângulos.
b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.
e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.

Resposta: c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.

Um tronco de pirâmide é uma pirâmide cortada por um plano paralelo à base, que neste caso, é um quadrado. Assim, há dois quadrados.

Suas quatro laterais são formadas por triângulos cortados por uma seção paralela à base, formando quatro trapézios isósceles.

Aprenda mais sobre geometria espacial.

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.