Exercícios de Geometria Espacial (com questões resolvidas)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Estude com os exercícios de Geometria Espacial com resposta. Questões sobre sólidos geométricos como: poliedros, cilindros e circunferências comentadas e resolvidas.
Questão 1
Qual o volume e a área superficial total de um paralelepípedo reto com dimensões de 5 cm, 7 cm e 9 cm?
a) volume 63 cm³ e área 143 cm²
b) volume 315 cm³ e área 286 cm²
c) volume 315 cm³ e área 286 cm²
d) volume 620 cm³ e área 572 cm²
e) volume 620 cm³ e área 572 cm²
Resposta: b) volume 315 cm³ e área 286 cm²
Cálculo do volume
Um paralelepípedo reto é também um prisma de base retangular. Como todo prisma, seu volume é dado pelo produto (multiplicação), entre a área da base e a altura.
Sendo a base um retângulo, para calcular a área, basta multiplicar duas medidas. Desta forma, para calcular o volume, multiplicam-se as três dimensões.
Cálculo da área
O paralelepípedo possui seis faces, de forma que, a área total, é o soma das áreas dos seis lados. Os lados opostos de um paralelepípedo são iguais e, para calcular a área, fazemos:
Como cada lado se repete duas vezes, somamos e multiplicamos o resultado por dois.
Questão 2
O projeto de uma casa descreve para sua estrutura, um prisma quadrangular com 9 m de frente, profundidade de 12 m e altura de 2,50 m. Esta casa possuirá:
1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m;
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m;
2 janelas em cada um dos quatro lados da casa com 1,20 m x 1,10 m;
Para construir a casa é necessário conhecer a metragem quadrada e, assim, comprar as quantidades necessárias de materiais, sem desperdício. Calcule quantos metros quadrados de paredes serão construídas.
a) 53,23 m².
b) 75,55 m².
c) 88,94 m².
d) 104,35 m².
e) 125,32 m².
Resposta: c) 88,94 m².
Passo 1: calcular a área total.
A área da frente e de trás da casa são dois retângulos de 9 m de frente por 2,5 m de altura.
A área das laterais são dois retângulos de 12 m de profundidade por 2,5 m de altura.
A área total é:
Passo 2: calcular a área das janelas e portas.
Área das portas.
1 porta dianteira, com 1,6 m x 2,20 m = 3,52 m²
1 porta traseira, com 0,90 m x 2,20 m = 1,98 m²
Total da área das portas: 3,52 + 1,98 = 5,5 m²
Área das janelas.
Há 2 janelas por lado, sendo quatro lados, são 8 janelas. Cada janela possui: 1,20 m x 1,10 m = 1,32 m².
Total das áreas das janelas: 1,32 x 8 = 10,56 m².
Somando as áreas das portas e janelas: 5,50 + 10,56 = 16,06 m².
Passo 3: subtrair da área total, a área das janelas e portas.
Considere um prisma triangular com bases na forma de triângulos equiláteros com lados de 6 cm. Se sua altura também possui 6 cm, determine seu volume e área superficial total.
a) Volume 48,2 m³ e área de 88,5 cm².
b) Volume 55,4 m³ e área de 96,1 cm².
c) Volume 69,3 m³ e área de 100,7 cm².
d) Volume 93,6 m³ e área de 139,2 cm².
e) Volume 71,5 m³ e área de 254,5 cm².
Resposta: d) o volume é de 93,6 m³ e a área é de 139,2 cm², aproximadamente.
Cálculo do volume.
O volume de todo prisma é calculado pelo produto entre a área da base e a altura.
Sendo a base um triângulo equilátero, sua área pode ser calculada por:
Para determinar a altura do triângulo da base, utilizamos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo:
A área da base é:
O volume é:
Aproximando a raiz de 27 para 5,2:
Cálculo da área superficial total.
O prisma triangular é formado por duas bases triangulares e três retângulos. Como já calculamos a área da base, basta multiplicar por dois.
Área das bases:
Área lateral:
São três quadrados formados por 6 cm de lado.
A área total é:
Aproximando a raiz quadrada, temos:
Questão 4
Um prisma hexagonal possui 8 faces e 12 vértices. Qual é o número de arestas?
a) 4
b) 12
c) 18
d) 36
e) 96
Resposta: c) 18 arestas.
Para determinar o número de arestas, utilizamos a relação de Euler.
O prisma possui 18 arestas.
Questão 5
Calcule o volume de uma esfera com 3 cm de raio. Considere como 3,14.
a) 15,46 cm³
b) 16,12 cm³
c) 28,18 cm³
d) 37,68 cm³
e) 42,51 cm³
Resposta: 37,68 cm³
O volume de uma esfera é determinada por:
Questão 6
Um icosaedro truncado é um poliedro que serve como fundamento para a construção de uma figura espacial bem conhecia, a bola de futebol. A versão desta bola de futebol foi criada na copa do mundo de 1970. O icosaedro truncado possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Determine o número de arestas deste poliedro.
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
Resposta: 90 arestas.
Utilizando a relação entre arestas e faces, temos:
Onde,
A é o número de arestas;
F3 é o número de faces triangulares;
F4 é o número de faces quadrangulares;
F5 é o número de faces pentagonais;
...
A fórmula continua infinitamente, no entanto, o icosaedro truncado possui apenas faces pentagonais e hexagonais, de forma que, todas as outras parcelas desaparecem.
Substituindo o número de faces pentagonais e hexagonais:
Este poliedro possui 90 arestas.
Questão 7
O maior túnel rodoviário do Brasil fica no Estado de São Paulo, na rodovia Tamoios, que liga o Litoral Norte ao Vale do Paraíba. Ele possui 5 555 m de extensão e seu vazamento (escavação), retirou cerca de 1,7 milhões de metros cúbicos de rocha.
Aproximando sua seção transversal como um semicírculo e, considerando uma extensão retilínea, qual deveria ser a altura do túnel no ponto mais alto?
Considere = 3.
a) 12,55 m
b) 14,28 m
c) 16,32 m
d) 17,56 m
e) 18,48 m
Resposta: b) aproximadamente 14,28 m.
A questão pede para aproximarmos a seção do túnel como meia circunferência. Considerando seu volume, será meio cilindro.
O volume de um cilindro é dado pela fórmula:
Em que r é o raio da semicircunferência. A altura do ponto mais alto do túnel é, portanto, r.
Como o túnel é metade de um cilindro, seu volume é:
V é o volume de 1,7 milhões m³ e h é sua extensão, de 5 555 m.
Assim, a altura no ponto mais alto é de cerca de 14,28 m.
Questão 8
Um dos principais pontos turísticos de Paris é o conjunto de pirâmides do Museu do Louvre, localizado na praça Cour Napoléon. Com suas superfícies em vidro suportadas por estruturas metálicas, a maior e principal pirâmide possui 20,6 m de altura. Sua base é um quadrado de 35 m de lado. A medida da quantidade de vidro necessário para sua construção, em metros quadrados, é igual a:
a) 1890 m²
b) 2150 m²
c) 2356 m²
d) 2564 m²
e) 2654 m²
Resposta: 1890 m².
Trata-se de um problema de área. A pirâmide de base quadrada, é formada por 4 triângulos de bases de 35 m. O objetivo é determinar a área formada pelos quatro triângulos.
A área de um triângulo é determinada por:
A base b já está determinada, faltando apenas a altura h. A medida fornecida foi a altura da pirâmide, não do lado.
Considerando a altura h do lado, a altura da pirâmide, de 20,6 m, e a metade de um lado da base, de 35 m, forma-se uma triângulo retângulo. Desta forma, para determinar a altura h do lado, utiliza-se o Teorema de Pitágoras.
Determinando a área de um lado:
Aproximando a raiz de 730,61 para 27:
Como são quatro lados, a área total é de:
Questão 9
(Enem 2021) Um piscicultor cria uma espécie de peixe em um tanque cilíndrico. Devido às características dessa espécie, o tanque deve ter, exatamente, 2 metros de profundidade e ser dimensionado de forma a comportar 5 peixes para cada metro cúbico de água. Atualmente, o tanque comporta um total de 750 peixes. O piscicultor deseja aumentara capacidade do tanque para que ele comporte 900 peixes, mas sem alterar a sua profundidade. Considere 3 como aproximação para π.
O aumento da medida do raio do tanque, em metro, deve ser de
a)
b)
c)
d) 5/2
e) 15/2
Resposta: a)
Dados
2 m de profundidade deve ser constante;
5 peixes por m³;
750 peixes atualmente;
aumentar para 900 peixes; = 3.
Passo 1: determinar o volume atual.
São 750 peixes, como é necessário 1 m³ para 5 peixes, o reservatório possui 750 / 5 = 150 m³.
Passo 2: determinar o raio atual.
O volume de um cilindro é dado por:
Substituindo os valores e resolvendo para r:
O raio do tanque atual é de 5 m.
Passo 3: o raio R do novo tanque.
O novo tanque comporta 900 peixes, seu volume é:
900/5 = 180 m³
Utilizando esse valor na fórmula do volume do cilindro, para a mesma altura, o novo raio é:
Passo 4: determinando o aumento.
O novo raio R, é a soma entre o raio original mais o aumento.
Como a questão pede o aumento, temos:
Conclusão
Para comportar a quantidade de 900 peixes e aumentar o volume, mantendo a mesma profundidade, o raio deverá aumentar
Questão 10
(Enem 2021) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
a) 14.
b) 16.
c) 18.
d) 30.
e) 34.
Resposta: 14.
Para saber o número de bolinhas dividimos o volume adicional necessário pelo volume de cada bolinha.
Passo 1: determinar o volume adicional necessário para o nível alcançar 15 cm de altura.
Como o nível está em 8 cm, para chegar a 15 cm, faltam 7 cm. Este volume é formado por um prisma quadrangular (paralelepípedo) como medidas de: 7 cm, 4 cm e 3 cm.
O volume é:
Passo 2: determinar a quantidade de bolas.
Como cada bola possui 6 cm³, desta forma, serão necessárias 84/6 = 14 bolas.
Questão 11
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Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
como 3,14.
