Exercícios sobre círculo trigonométrico com resposta

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Pratique círculo trigonométrico com esta lista de exercícios resolvida passo a passo. Tire suas dúvidas e esteja preparado para suas avaliações.

Questão 1

Determine em qual quadrante está localizado o ângulo de 2 735° no sentido positivo.

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Como cada volta completa possui 360°, dividimos 2 735 por 360.

$2735 sinal de grau espaço dividido por espaço 360 sinal de grau igual a espaço 7 sinal de multiplicação 360 sinal de grau espaço mais espaço 215 sinal de grau$

São sete voltas completas mais 215º.

O ângulo de 215º está no terceiro quadrante no sentido positivo (anti-horário).

Questão 2

Seja A o conjunto formado pelos seis primeiros múltiplos de $tipográfico pi sobre 3$ , determine o seno de cada um dos arcos.

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Os seis primeiros múltiplos são, em graus:

$reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 1 espaço igual a reto pi sobre 3 igual a 60 sinal de grau reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 2 igual a numerador 2 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a 120 sinal de grau reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 3 igual a numerador 3 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a reto pi igual a 180 sinal de grau reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 4 igual a numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a 240 sinal de grau reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 5 igual a numerador 5 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a 300 sinal de grau reto pi sobre 3 espaço sinal de multiplicação espaço 6 espaço igual a numerador 6 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a 2 reto pi espaço igual a espaço 360 sinal de grau$

Vamos determinar os valores do seno por quadrante do círculo trigonométrico.

1º quadrante (seno positivo)

$sen espaço 2 reto pi espaço igual a sen espaço 360 sinal de grau igual a 0$

$sen espaço reto pi sobre 3 espaço igual a sen espaço 60 sinal de grau igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

2° quadrante (seno positivo)

$sen espaço numerador 2 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a sen espaço 120 sinal de grau igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

$sen espaço reto pi igual a sen espaço 180 sinal de grau igual a 0$

3º quadrante (seno negativo)

$sen espaço numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a sen espaço 240 sinal de grau igual a menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

4º quadrante (seno negativo)

$sen espaço numerador 5 reto pi sobre denominador 3 fim da fração igual a sen espaço 300 sinal de grau igual a menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

Questão 3

Considerando a expressão $numerador 1 sobre denominador 1 menos cos espaço reto x fim da fração$ , com $reto x não igual reto k.2 reto pi$ , determine o valor de x para obter o menor resultado possível.

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O menor resultado possível ocorre quando o denominador for máximo. Para isto, o cos x deve ser o menor possível.

O menor valor do cosseno é -1, e ocorre quando x é 180º ou, $reto pi$ .

$numerador 1 sobre denominador 1 menos cos espaço reto pi fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador 1 mais 1 fim da fração igual a negrito 1 sobre negrito 2$

Questão 4

Calcule o valor da expressão: $tg abre parênteses numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses menos tg abre parênteses numerador 5 reto pi sobre denominador 6 fim da fração fecha parênteses$ .

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$tg abre parênteses numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses menos tg abre parênteses numerador 5 reto pi sobre denominador 6 fim da fração fecha parênteses igual a tg abre parênteses numerador 4.180 sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses menos tg abre parênteses numerador 5.180 sobre denominador 6 fim da fração fecha parênteses igual a tg espaço 240 espaço menos espaço tg espaço 150 espaço igual a$

A tangente é positiva para o ângulo de 240°, pois está no terceiro quadrante. Ela equivale a tangente de 60° no primeiro quadrante. Logo,

$t g espaço 240 espaço igual a espaço raiz quadrada de 3$

A tangente de 150° é negativa, pois está no segundo quadrante. Ela equivale a tangente de 30° no primeiro quadrante. Logo,

$tg espaço 150 igual a menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração$

Voltando a expressão:

$tg espaço 240 espaço menos espaço tg espaço 150 igual a raiz quadrada de 3 espaço menos espaço abre parênteses menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses igual a raiz quadrada de 3 espaço mais numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador 3 raiz quadrada de 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador negrito 4 raiz quadrada de negrito 3 sobre denominador negrito 3 fim da fração$

Questão 5

A relação fundamental da trigonometria é uma importante equação que relaciona valores de seno e de cosseno, expressa como:

$sen ao quadrado reto x mais cos ao quadrado reto x igual a 1$

Considerando um arco no 4º quadrante e a tangente deste arco igual a - 0,3, determine o cosseno deste mesmo arco.

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A tangente é definida como:

$tg espaço reto x igual a numerador sen espaço reto x sobre denominador cos espaço reto x fim da fração$

Isolando o valor de seno nesta equação, temos:

$sen espaço reto x espaço igual a espaço tg espaço reto x espaço. espaço cos espaço reto x sen espaço reto x espaço igual a espaço menos 0 vírgula 3. cos espaço reto x$

Substituindo na relação fundamental:

$abre parênteses menos 0 vírgula 3. cos espaço reto x fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço cos ao quadrado espaço x espaço igual a espaço 1 0 vírgula 09. cos ao quadrado x espaço mais espaço cos ao quadrado espaço x espaço igual a espaço 1 cos ao quadrado x espaço parêntese esquerdo 0 vírgula 09 espaço mais espaço 1 parêntese direito igual a 1 cos ao quadrado x espaço. espaço 1 vírgula 09 espaço igual a espaço 1 cos ao quadrado x espaço igual a espaço numerador 1 sobre denominador 1 vírgula 09 fim da fração cos espaço x igual a espaço raiz quadrada de numerador 1 sobre denominador 1 vírgula 09 fim da fração fim da raiz cos espaço x aproximadamente igual 0 vírgula 96$

Questão 6

(Fesp) A expressão vale:

a) 5/2

b) -1

c) 9/4

d) 1.

e) 1/2

Questão 7

(CESGRANRIO) Se é um arco do 3º quadrante e então é:

a) $menos numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 2 fim da fração$

b) $menos 1$

c) $menos espaço 1 meio$

d) $menos numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração$

e) $menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

Questão 8

(UFR) Efetuando a expressão tem-se como resultado

a) 0

b) 2

c) 3

d) -1

e) 1

Questão 9

Sabendo que x pertence ao segundo quadrante e que cos x = –0,80, pode-se afirmar que

a) cossec x = –1,666...

b) tg x = –0,75

c) sec x = –1,20

d) cotg x = 0,75

e) sen x = –0,6

Questão 10

(UEL) O valor da expressão é:

a) $numerador raiz quadrada de 2 espaço menos espaço 3 sobre denominador 2 fim da fração$

b) $menos 1 meio$

c) $1 meio$

d) $numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

e) $numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.