Círculo Trigonométrico

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.

Círculo Trigonométrico

Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas

De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.Radianos do Círculo Trigonométrico

A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).

  • corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
  • 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.

Círculo TrigonométricoFigura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos

Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:

  • π rad = 180°
  • 2π rad = 360°
  • π/2 rad = 90°
  • π/3 rad = 60°
  • π/4 rad = 45°

Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.

Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?

π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:

Círculo Trigonométrico

  • 1.° Quadrante: 0º
  • 2.° Quadrante: 90º
  • 3.° Quadrante: 180º
  • 4.° Quadrante: 270º

Círculo Trigonométrico e seus Sinais

De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.

Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.

Para compreender melhor, veja a figura abaixo:

Círculo Trigonométrico

Como Fazer o Círculo Trigonométrico?

Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.

Círculo Trigonométrico

Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo

Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa

Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo classificadas em seis maneiras:

Seno (sen)

seno

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

cosseno

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan)

tangente

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Cotangente (cot)

cotangente

Lê-se cosseno sobre seno.

Cossecante (csc)

cossecante

Lê-se um sobre seno.

Secante (sec)

secante

Lê-se um sobre cosseno

Ângulos Notáveis

No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.

Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:

Relações Trigonométricas 30° 45° 60°
Seno 1/2 √2/2 √3/2
Cosseno √3/2 √2/2 1/2
Tangente √3/3 1 √3

Saiba tudo sobre Trigonometria:

Exercícios de círculo trigonométrico com Gabarito

Exercício 1

(Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

Círculo Trigonométrico

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro “do monstro”, em cm, é:

a) π – 1
b) π + 1
c) 2 π – 1
d) 2 π
e) 2 π + 1

Alternativa e) 2 π + 1

Uma volta completa é igual a 2reto pi.

A definição da unidade do radiano é de um arco com a mesma medida do raio.

Assim, a parte "aberta" da boca do monstro é igual a 1. Foi retirado da circunferência 1 cm. Simultaneamente, foi adicionado dois raios, que formam a boca do monstro.

+ 2 - 1 = 1

Desta forma, 2 π + 1.

Exercício 2

(PUC-MG) Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a:

Use π = 3,14.

a) 1/2
b) 5/8
c) 5/4
d) 3/2

Alternativa b) 5/8

Praça quadrada

4 reto L espaço igual a espaço 640 reto L igual a 640 sobre 4 reto L igual a espaço 160 espaço reto m

Praça circular

reto C igual a 2 πR numerador 628 sobre denominador 2 reto pi fim da fração igual a reto R 314 sobre reto pi igual a reto R numerador 314 sobre denominador 3 vírgula 14 fim da fração igual a reto R 100 espaço reto m igual a reto R

A razão R/L

reto R sobre reto L igual a 100 sobre 160 igual a 10 sobre 16 igual a negrito 5 sobre negrito 8

Exercício 3

(U.F.Pelotas-RS) Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 24 horas e prazos apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito bem ser considerada a era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabetes, depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a recomendação de dormir no mínimo de 8 horas por noite, tem 73% mais risco de se tornar obeso. (Revista Saúde, n.º 274, junho de 2006 - adaptado)

Uma pessoa que durma à zero hora e siga a recomendação do texto apresentado, quanto ao número mínimo de horas diárias de sono, acordará às 8 horas da manhã. O ponteiro das horas, que mede 6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu período de sono, um arco de circunferência com comprimento igual a:

Use π = 3,14.

a) 6π cm
b) 32π cm
c) 36π cm
d) 8π cm
e) 18π cm

Alternativa d) 8π cm

O comprimento do arco pode ser determinado por:

reto C igual a reto R. reto alfa

Onde R é o raio, de 6 cm, e reto alfa é o ângulo em radianos.

Como um giro completo possui 360º e, no relógio, é dividida em 12 partes iguais, cada parte possui:

360 º dividido por 12 igual a 30 º

Como o ponteiro percorreu oito horas, temos:

8 espaço reto x espaço 30 º espaço igual a espaço 240 º

Com uma regra de três, convertemos para radianos.

reto pi sobre x igual a 180 sobre 240 180 x igual a 240 reto pi reto x igual a numerador 240 reto pi sobre denominador 180 fim da fração reto x igual a numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração

Voltando a relação inicial:

reto C igual a reto R reto C igual a reto R. reto alfa reto C igual a 6. numerador 4 reto pi sobre denominador 3 fim da fração reto C igual a numerador 24 reto pi sobre denominador 3 fim da fração negrito C negrito igual a negrito 8 negrito pi

Exercício 4

(UFRS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulos entre os ponteiros é:

a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°

Alternativa b) 50°

O objetivo é determinar o ângulo percorrido pelo ponteiro dos minutos, menos das horas, até o posição de 2h 20 min.

Ângulo dos ponteiros dos minutos.

Um relógio de ponteiros possui uma circunferência (360º), dividida em 12 parte:

360 / 12 = 30

Em um relógio o ponteiro dos minutos marca 20 min no número 4.

4 x 30 = 120

Significa que o ponteiro dos minutos percorreu 120º até marcar 20 min.

Ângulo dos ponteiros das horas.

Às 2h em ponto o ponteiro das horas marcava 60º, no entanto, enquanto o ponteiro dos minutos avança, o das horas também.

20 min é um terço de 1 h, assim, o ponteiro das horas avançou um terço de 30, que é 10.

Assim, o ponteiro das horas percorreu 60 + 10 = 70.

Ângulo formado entre os ponteiros:

120 - 70 = 50º.

Pratique mais exercícios sobre círculo trigonométrico com resposta.

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Rosimar Gouveia
Edição por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.