Círculo Trigonométrico


O Círculo Trigonométrico, também chamado de Ciclo ou Circunferência Trigonométrica, é uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.

Círculo Trigonométrico

Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas

De acordo com a simetria do círculo trigonométrico temos que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Cada ponto dele está associado aos valores dos ângulos.

Ângulos Notáveis

No círculo trigonométrico podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo qualquer da circunferência.

Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:

Relações Trigonométricas30°45°60°
Seno1/2√2/2√3/2
Cosseno√3/2√2/21/2
Tangente√3/31√3

Leia mais: Tabela Trigonométrica.

Radianos do Círculo Trigonométrico

A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).

  • corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
  • 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da circunferência do arco que será medido.

Círculo TrigonométricoFigura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos

Para auxiliar nas medidas, confira abaixo algumas relações entre graus e radianos:

  • π rad = 180°
  • 2π rad = 360°
  • π/2 rad = 90°
  • π/3 rad = 60°
  • π/4 rad = 45°

Obs: Se quiser converter essas unidades de medidas (grau e radiano) utiliza-se a regra de três.

Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?

π rad -180°
x – 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Para compreender melhor, observe a figura abaixo:

Círculo Trigonométrico

  • 1.° Quadrante: 0º < x < 90º ou 0 < x < π/2
  • 2.° Quadrante: 90º < x < 180º ou π/2 < x < π
  • 3.° Quadrante: 180º < x < 270º ou π < x < 3π/2
  • 4.° Quadrante: 270º < x < 360º ou 3π/2 < x < 2π

Círculo Trigonométrico e seus Sinais

De acordo com o quadrante em que está inserido, os valores do seno, cosseno e tangente variam.

Ou seja, os ângulos podem apresentar um valor positivo ou negativo.

Para compreender melhor, veja a figura abaixo:

Círculo Trigonométrico

Como Fazer o Círculo Trigonométrico?

Para fazer um círculo trigonométrico, devemos construí-lo sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O. Ele apresenta um raio unitário e os quatro quadrantes.

Círculo Trigonométrico

Razões Trigonométricas

As razões trigonométricas estão associadas às medidas dos ângulos de um triângulo retângulo.

Triângulo retângulo

Representação do triângulo retângulo com seus catetos e a hipotenusa

Elas são definidas pelas razões de dois lados de um triângulo retângulo e do ângulo que forma, sendo classificadas em seis maneiras:

Seno (sen)

seno

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

cosseno

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan)

tangente

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Cotangente (cot)

cotangente

Lê-se cosseno sobre seno.

Cossecante (csc)

cossecante

Lê-se um sobre seno.

Secante (sec)

secante

Lê-se um sobre cosseno

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Exercícios de Vestibular com Gabarito

1. (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.

Círculo Trigonométrico

A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro “do monstro”, em cm, é:

a) π – 1
b) π + 1
c) 2 π – 1
d) 2 π
e) 2 π + 1

Alternativa e) 2 π + 1

2. (PUC-MG) Os moradores de certa cidade costumam fazer caminhada em torno de duas de suas praças. A pista que contorna uma dessas praças é um quadrado de lado L e tem 640 m de extensão; a pista que contorna a outra praça é um círculo de raio R e tem 628 m de extensão. Nessas condições, o valor da razão R/L é aproximadamente igual a:

Use π = 3,14.

a) ½
b) 5/8
c) 5/4
d) 3/2

Alternativa b) 5/8

3. (U.F.Pelotas-RS) Nossa época, marcada pela luz elétrica, por estabelecimentos comerciais abertos 24 horas e prazos apertados de trabalho, que muitas vezes exigem o sacrifício dos períodos de sono, pode muito bem ser considerada a era do bocejo. Estamos dormindo menos. A ciência mostra que isso contribui para a ocorrência de males como diabetes, depressão e obesidade. Por exemplo, quem não segue a recomendação de dormir no mínimo de 8 horas por noite, tem 73% mais risco de se tornar obeso. (Revista Saúde, n.º 274, junho de 2006 - adaptado)

Uma pessoa que durma à zero hora e siga a recomendação do texto apresentado, quanto ao número mínimo de horas diárias de sono, acordará às 8 horas da manhã. O ponteiro das horas, que mede 6 cm de comprimento, do despertador dessa pessoa, terá descrito, durante seu período de sono, um arco de circunferência com comprimento igual a:

Use π = 3,14.

a) 6π cm
b) 32π cm
c) 36π cm
d) 8π cm
e) 18π cm

Alternativa d) 8π cm

4. (UFRS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O menor ângulos entre os ponteiros é:

a) 45°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°

Alternativa b) 50°

5. (UF-GO) Por volta de 250 a.C., o matemático grego Erastóstenes, reconhecendo que a Terra era esférica, calculou sua circunferência. Considerando que as cidades egípcias de Alexandria e Syena localizavam-se em um mesmo meridiano, Erastóstenes mostrou que a circunferência da Terra media 50 vezes o arco de circunferência do meridiano ligando essas duas cidades. Sabendo que esse arco entre as cidades media 5000 estádios (unidade de medida utilizada na época), Erastóstenes obteve o comprimento da circunferência da Terra em estádios, o que corresponde a 39 375 km no sistema métrico atual.

De acordo com estas informações, a medida em metros, de um estádio era:

a) 15,75
b) 50,00
c) 157,50
d) 393,75
e) 500,00

Alternativa c) 157,50