Trigonometria

Rosimar Gouveia

A trigonometria é a parte da matemática que estuda as relações existentes entre os lados e os ângulos dos triângulos.

Ela é utilizada também em outras áreas de estudo como física, química, biologia, geografia, astronomia, medicina, engenharia, etc.

Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são as funções relacionadas aos triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. São elas: seno, cosseno e tangente.

Triângulo retângulo

As funções trigonométricas estão baseadas nas razões existentes entre dois lados do triângulo em função de um ângulo.

Ela são formadas por dois catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa:

seno

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

cosseno

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

tangente

Lê-se cateto oposto sobre cateto adjacente.

Leia mais:

Círculo Trigonométrico

O círculo trigonométrico ou círculo unitário é usado no estudo das funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.

Trigonometria

Teoria Euclidiana

Alguns conceitos importantes da geometria euclidiana nos estudos da trigonometria são:

Lei dos Senos

A Lei dos Senos estabelece que num determinado triângulo, a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto, será sempre constante.

Dessa forma, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

lei dos senos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos estabelece que em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados, corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Dessa maneira, sua fórmula é representada da seguinte maneira:

Trigonometria

Lei das Tangentes

A Lei das Tangentes estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos.

Dessa forma, para um triângulo ABC, de lados a, b, c, e ângulos α, β e γ, opostos a estes três lados, têm-se a expressão:

lei da tangente

lei das tangentes

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras, criado pelo filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos, (570 a.C. - 495 a.C.), é muito utilizado nos estudos trigonométricos.

Ele prova que no triângulo retângulo, composto por um ângulo interno de 90° (ângulo reto), a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa:

a2 = c2+ b2

Sendo,

a: hipotenusa
c e b: catetos

triângulo retângulo

Leia também: Trigonometria no Triângulo Retângulo.

História da Trigonometria

A história da trigonometria surge na medida em que os astrônomos precisavam calcular o tempo, sendo também muito importante nas pesquisas sobre navegação.

Entretanto, Hiparco de Niceia, (190 a.C.-120 a.C.), astrônomo grego-otomano, foi quem introduziu a Trigonometria nos estudos científicos. Por isso, ele é considerado o fundador ou o Pai da Trigonometria.

Curiosidade

O termo "trigonometria", do grego, é a união das palavras trigono (triângulo) e metrein (medidas).

Exercícios de Vestibular sobre Trigonometria

1. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:

a) 2√3
b) √3/3
c) √3/6
d) √20/20
e) 3√3

Alternativa b) √3/3

2. (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:

a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.

Alternativa e) 18 m.

3. (Unicamp) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.

a) Calcule os comprimentos dos catetos.

√(2+√2)/2 e √(2-√2)/2

b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.

O cateto maior vale √(2+√2)/2

Logo,

y2 = (2+√2)/4 = (2 + 1,41)/4 = 0,8525
0,922 = 0,8464 e 0,932 = 0,8649

Como 0,8525 está entre 0,8464 e 0,8649, segue-se que y, para y >0, está entre 0,92 e 0,93 metros, ou seja, entre 92 e 93 cm.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.