Lei dos Senos
A Lei dos Senos determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.
Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos admite as seguintes relações:
Representação da Leis dos Senos no triângulo
Exemplo
Para compreender melhor, vamos calcular a medida dos lados AB e BC desse triângulo, em função da medida b do lado AC.
Pela lei dos senos, podemos estabelecer a seguinte relação:
Logo, AB = 0,816b e BC = 1,115b.
Obs: Os valores dos senos foram consultados na tabela das razões trigonométricas. Nela, podemos encontrar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos de trigonometria. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis. Confira abaixo um quadro com os valores:
Relações Trigonométricas | 30° | 45° | 60° |
---|---|---|---|
Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
Cosseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Aplicação da Lei dos Senos
Utilizamos a Lei dos Senos nos triângulos acutângulos, onde os ângulos internos são menores que 90º (agudos); ou nos triângulos obtusângulos, que apresentam ângulos internos maiores que 90º (obtusos). Nesses casos, também é possível utilizar a Lei dos Cossenos.
O objetivo principal da utilização da Lei dos Senos ou Cossenos é de descobrir as medidas dos lados de um triângulo e ainda, de seus ângulos.
Representação de triângulos segundo seus ângulos internos
E a Lei dos Senos no Triângulo Retângulo?
Como mencionado acima, a Lei dos Senos é utilizada nos triângulos acutângulos e obtusângulos.
Já nos triângulos retângulos, formados por um ângulo interno de 90º (reto), utilizamos o Teorema de Pitágoras e as relações entre seus lados: cateto oposto, adjacente e hipotenusa.
Representação do triângulo retângulo e seus lados
Esse teorema possui o seguinte enunciado: "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa". Sua fórmula é expressa:
h2 = ca2 + co2
Assim, quando temos um triângulo retângulo, o seno será à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa:
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Já o cosseno, corresponde à proporção entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Exercícios de Vestibular
1. (UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4,6 e 8 metros.
a) √15/4
b) 1/4
c) 1/2
d) √10/4
e) √3/2
2. (Unifor-CE) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120º. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:
a) 10√5
b) 10√6
c) 10√7
d) 26
e) 20√2
3. (UECE) O menor lado de um paralelogramo, cujas diagonais medem 8√2 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 45º, mede:
a) √13 m
b) √17 m
c) 13√2 / 4 m
d) 17√2 / 5 m
Leia mais sobre o tema:
- Seno, Cosseno e Tangente
- Trigonometria
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Relações Trigonométricas
- Círculo Trigonométrico
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- Razões Trigonométricas