Lei dos Senos

Rosimar Gouveia

A Lei dos Senos determina que num triângulo qualquer, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.

Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos admite as seguintes relações:

lei dos senos

Representação da Leis dos Senos no triângulo

Exemplo

Para compreender melhor, vamos calcular a medida dos lados AB e BC desse triângulo, em função da medida b do lado AC.

exemplo da lei dos senos

Pela lei dos senos, podemos estabelecer a seguinte relação:

exemplo 1

exemplo 2

exemplo 3

Logo, AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Obs: Os valores dos senos foram consultados na tabela das razões trigonométricas. Nela, podemos encontrar os valores dos ângulos de 1º a 90º de cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são os mais usados nos cálculos de trigonometria. Por isso, eles são chamados de ângulos notáveis. Confira abaixo um quadro com os valores:

Relações Trigonométricas30°45°60°
Seno1/2√2/2√3/2
Cosseno√3/2√2/21/2
Tangente√3/31√3

Aplicação da Lei dos Senos

Utilizamos a Lei dos Senos nos triângulos acutângulos, onde os ângulos internos são menores que 90º (agudos); ou nos triângulos obtusângulos, que apresentam ângulos internos maiores que 90º (obtusos). Nesses casos, também é possível utilizar a Lei dos Cossenos.

O objetivo principal da utilização da Lei dos Senos ou Cossenos é de descobrir as medidas dos lados de um triângulo e ainda, de seus ângulos.

triângulos e ângulos

Representação de triângulos segundo seus ângulos internos

E a Lei dos Senos no Triângulo Retângulo?

Como mencionado acima, a Lei dos Senos é utilizada nos triângulos acutângulos e obtusângulos.

Já nos triângulos retângulos, formados por um ângulo interno de 90º (reto), utilizamos o Teorema de Pitágoras e as relações entre seus lados: cateto oposto, adjacente e hipotenusa.

Triângulo retângulo

Representação do triângulo retângulo e seus lados

Esse teorema possui o seguinte enunciado: "a soma dos quadrados de seus catetos corresponde ao quadrado de sua hipotenusa". Sua fórmula é expressa:

h2 = ca2 + co2

Assim, quando temos um triângulo retângulo, o seno será à razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa:

seno

Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.

Já o cosseno, corresponde à proporção entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa, representado pela expressão:

cosseno

Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Exercícios de Vestibular

1. (UFPR) Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4,6 e 8 metros.

a) √15/4
b) 1/4
c) 1/2
d) √10/4
e) √3/2

Alternativa a) √15/4

2. (Unifor-CE) Um terreno de forma triangular tem frente de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120º. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é:

a) 10√5
b) 10√6
c) 10√7
d) 26
e) 20√2

Alternativa c) 10√7

3. (UECE) O menor lado de um paralelogramo, cujas diagonais medem 8√2 m e 10 m e formam entre si um ângulo de 45º, mede:

a) √13 m
b) √17 m
c) 13√2 / 4 m
d) 17√2 / 5 m

Alternativa b) √17 m

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.