Lei dos Cossenos

Rosimar Gouveia

A Lei dos Cossenos é utilizada para calcular a medida de um lado ou de um ângulo desconhecido de um triângulo qualquer, conhecendo suas outras medidas.

Enunciado e Fórmulas

O teorema dos cossenos estabelece que:

"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."

Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes relações entre os lados e os ângulos de um triângulo:

Lei dos Cossenos

Exemplos

1. Dois lados de um triângulo medem 20 cm e 12 cm e formam entre si um ângulo de 120º. Calcule a medida do terceiro lado.

Solução

Para calcular a medida do terceiro lado utilizaremos a lei dos cossenos. Para isso, vamos considerar:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valor encontrado em tabelas trigonométricas).

Substituindo esses valores na fórmula:

a2 = 202 + 122 - 2 . 20 . 12 . (- 0,5)
a2 = 400 + 144 + 240
a2 = 784
a = √784
a = 28 cm

Portanto, o terceiro lado mede 28 cm.

2. Determine a medida do lado AC e a medida do ângulo com vértice em A da figura a seguir:

Exemplo lei dos cossenos

Primeiramente, vamos determinar o AC = b:

b2 = 82 + 102 – 2 . 8 . 10 . cos 50º
b2 = 164 – 160 . cos 50º
b2 = 164 – 160 . 0,64279
b ≈ 7,82

Agora, vamos determinar a medida do ângulo pela lei dos cossenos:

82 = 102 + 7,822 – 2 . 10 . 7,82 . cos Â
64 = 161,1524 – 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Obs: Para encontrar os valores dos ângulos do cosseno utilizamos a Tabela Trigonométrica. Nela, temos os valores dos ângulos de 1º a 90º para cada função trigonométrica (seno, cosseno e tangente).

Aplicação

A lei dos cossenos pode ser aplicada em qualquer triângulo. Seja ele acutângulo (ângulos internos menores que 90º), obtusângulo (com um ângulo interno maior que 90º), ou retângulo (com um ângulo interno igual a 90º).

Triângulos
Representação dos triângulos quanto aos ângulos internos que possuem

E nos Triângulos Retângulos?

Vamos aplicar a lei dos cossenos para o lado oposto ao ângulo de 90º, conforme indicado abaixo:

a2 = b2 + c2 - 2 . b . c . cos 90º

Como cos 90º = 0, a expressão acima fica:

a2 = b2 + c2

Que é igual a expressão do Teorema de Pitágoras. Assim, podemos dizer que este teorema é um caso particular da lei dos cossenos.

A lei dos cossenos é adequada para problemas em que conhecemos dois lados e o ângulo entre eles e queremos descobrir o terceiro lado.

Podemos ainda utilizá-la quando conhecemos os três lados do triângulo e pretendemos conhecer um dos seus ângulos.

Para situações em que conhecemos dois ângulos e apenas um lado e queremos determinar um outro lado, torna-se mais conveniente utilizar a Lei dos Senos.

Definição de Cosseno e Seno

O cosseno e o seno de um ângulo são definidos como razões trigonométricas em um triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto (90º) é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos, conforme representado na figura abaixo:

Triângulo retângulo
Representação do triângulo retângulo e seus lados: catetos e hipotenusa

O cosseno é então definido como a razão entre a medida do cateto adjacente e da hipotenusa:

cosseno

Já o seno, é a razão entre a medida do cateto oposto e a hipotenusa.

seno

Exercícios de Vestibular

1. (UFSCar) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x +2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2 / 3x
e) x – 3 / 2x

Alternativa e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) No triângulo representado na figura abaixo, AB e AC têm a mesma medida, e a altura relativa ao lado BC é igual a 2/3 da medida de BC.

Triângulo equilátero

Com base nesses dados, o cosseno do ângulo CÂB é:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Alternativa a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Alternativa a) 2√21 m

Leia mais sobre o tema:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.