Ângulos Notáveis

Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados de notáveis, pois são os que com mais frequência calculamos.

Sendo assim, é importante conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos.

Tabela dos ângulos notáveis

A tabela abaixo é muito útil e pode ser facilmente construída, seguindo os passos indicados.

Tabela ângulos notáveis

Valor do seno e do cosseno de 30º e 60º

Os ângulos de 30º e 60º são complementares, ou seja, somam 90º.

Encontramos o valor do seno de 30º calculando a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Já o valor do cosseno de 60º é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Desta forma, o seno de 30º e o cosseno de 60º do triângulo representado abaixo, será dado por:

triângulo retângulo

s e n espaço 30 º igual a numerador c a t e t o espaço 1 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração e cos espaço 60 º igual a numerador c a t e t o espaço 1 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração

Assim, identificamos que o valor do seno de 30º é igual ao valor do cosseno de 60º. O mesmo acontece com o seno de 60º e o cosseno de 30º, pois:

s e n espaço 60 º igual a numerador c a t e t o espaço 2 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração e cos espaço 30 º igual a numerador c a t e t o espaço 2 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração

Portanto, quando dois ângulos são complementares, o valor do seno de um é igual ao valor do cosseno do outro.

Para encontrar o valor do seno de 30º (cosseno de 60º) e o cosseno de 30º (seno de 60º), vamos considerar um triângulo equilátero ABC de lados iguais a L, representado abaixo:

Triângulo equilátero

A altura (h) do triângulo equilátero coincide com a mediana, assim, a altura divide o lado relativo ao meio (L sobre 2).

Além disso, a altura coincide com a bissetriz. Desta forma, o ângulo também fica dividido ao meio, conforme mostrado na figura.

Vamos ainda considerar que o valor da altura é dado por:

h igual a numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração.

Para calcular o seno e o cosseno de 30º, iremos considerar o triângulo retângulo AHB, que foi obtido a partir do triângulo ABC.

Triângulo retângulo ABH

Assim, temos:

s e n espaço 30 º igual a numerador começar estilo mostrar L sobre 2 fim do estilo sobre denominador L fim da fração igual a 1 meio

e

cos espaço 30 º igual a h sobre L igual a numerador começar estilo mostrar numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador L fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Valor do seno e do cosseno de 45º

Iremos calcular o valor do seno e do cosseno do ângulo de 45º, a partir de um quadrado de lado L representado abaixo:

Quadrado

A diagonal do quadrado é a bissetriz do ângulo, ou seja, a diagonal divide o ângulo ao meio (45º). Além disso, a diagonal mede L raiz quadrada de 2 .

Para encontrar o valor do seno e do cosseno de 45º vamos considerar o triângulo retângulo ABC indicado na figura:

quadrado

Então:

s e n espaço 45 º igual a numerador L sobre denominador L raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

e

cos espaço 45 º igual a numerador L sobre denominador L raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Valor da tangente de 30º, 45º e 60º

Para calcular a tangente dos ângulos notáveis usaremos a razão trigonométrica:

t g espaço teta igual a numerador s e n espaço teta sobre denominador cos espaço teta fim da fração

Assim:

t g espaço 30 º igual a numerador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

t g espaço 45 º igual a numerador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a 1

t g espaço 60 º igual a numerador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo fim da fração igual a raiz quadrada de 3

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Um nadador atravessa um rio, seguindo um ângulo de 30º com uma das margens. Sabendo que a largura do rio mede 40m, determine a distância percorrida pelo nadador para atravessar o rio.

s e n espaço 30 º igual a 40 sobre x 1 meio igual a 40 sobre x x igual a 80 m

2) Enem - 2010

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo
previsto de medição.

questão enem 2010

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8km
b) 1,9km
c) 3,1km
d) 3,7km
e) 5,5km

t g espaço 60 º igual a numerador a l t u r a sobre denominador 1 vírgula 8 fim da fração raiz quadrada de 3 igual a numerador a l t u r a sobre denominador 1 vírgula 8 fim da fração a l t u r a igual a raiz quadrada de 3.1 vírgula 8 a l t u r a igual a 3 vírgula 1 espaço k m  A l t e r n a t i v a espaço c dois pontos 3 vírgula 1 k m

Atualizado em
Rosimar Gouveia
Escrito por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.