Ângulos Notáveis

Rosimar Gouveia

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados de notáveis, pois são os que com mais frequência calculamos.

Sendo assim, é importante conhecer os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos.

Tabela dos ângulos notáveis

A tabela abaixo é muito útil e pode ser facilmente construída, seguindo os passos indicados.

Tabela ângulos notáveis

Valor do seno e do cosseno de 30º e 60º

Os ângulos de 30º e 60º são complementares, ou seja, somam 90º.

Encontramos o valor do seno de 30º calculando a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Já o valor do cosseno de 60º é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Desta forma, o seno de 30º e o cosseno de 60º do triângulo representado abaixo, será dado por:

triângulo retângulo

s e n espaço 30 º igual a numerador c a t e t o espaço 1 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração e cos espaço 60 º igual a numerador c a t e t o espaço 1 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração

Assim, identificamos que o valor do seno de 30º é igual ao valor do cosseno de 60º. O mesmo acontece com o seno de 60º e o cosseno de 30º, pois:

s e n espaço 60 º igual a numerador c a t e t o espaço 2 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração e cos espaço 30 º igual a numerador c a t e t o espaço 2 sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração

Portanto, quando dois ângulos são complementares, o valor do seno de um é igual ao valor do cosseno do outro.

Para encontrar o valor do seno de 30º (cosseno de 60º) e o cosseno de 30º (seno de 60º), vamos considerar um triângulo equilátero ABC de lados iguais a L, representado abaixo:

Triângulo equilátero

A altura (h) do triângulo equilátero coincide com a mediana, assim, a altura divide o lado relativo ao meio (L sobre 2).

Além disso, a altura coincide com a bissetriz. Desta forma, o ângulo também fica dividido ao meio, conforme mostrado na figura.

Vamos ainda considerar que o valor da altura é dado por:

h igual a numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração.

Para calcular o seno e o cosseno de 30º, iremos considerar o triângulo retângulo AHB, que foi obtido a partir do triângulo ABC.

Triângulo retângulo ABH

Assim, temos:

s e n espaço 30 º igual a numerador começar estilo mostrar L sobre 2 fim do estilo sobre denominador L fim da fração igual a 1 meio

e

cos espaço 30 º igual a h sobre L igual a numerador começar estilo mostrar numerador L raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador L fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração

Valor do seno e do cosseno de 45º

Iremos calcular o valor do seno e do cosseno do ângulo de 45º, a partir de um quadrado de lado L representado abaixo:

Quadrado

A diagonal do quadrado é a bissetriz do ângulo, ou seja, a diagonal divide o ângulo ao meio (45º). Além disso, a diagonal mede L raiz quadrada de 2 .

Para encontrar o valor do seno e do cosseno de 45º vamos considerar o triângulo retângulo ABC indicado na figura:

quadrado

Então:

s e n espaço 45 º igual a numerador L sobre denominador L raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

e

cos espaço 45 º igual a numerador L sobre denominador L raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Valor da tangente de 30º, 45º e 60º

Para calcular a tangente dos ângulos notáveis usaremos a razão trigonométrica:

t g espaço teta igual a numerador s e n espaço teta sobre denominador cos espaço teta fim da fração

Assim:

t g espaço 30 º igual a numerador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

t g espaço 45 º igual a numerador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a 1

t g espaço 60 º igual a numerador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar 1 meio fim do estilo fim da fração igual a raiz quadrada de 3

Para saber mais, leia também:

Exercícios Resolvidos

1) Um nadador atravessa um rio, seguindo um ângulo de 30º com uma das margens. Sabendo que a largura do rio mede 40m, determine a distância percorrida pelo nadador para atravessar o rio.

s e n espaço 30 º igual a 40 sobre x 1 meio igual a 40 sobre x x igual a 80 m

2) Enem - 2010

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo
previsto de medição.

questão enem 2010

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8km
b) 1,9km
c) 3,1km
d) 3,7km
e) 5,5km

t g espaço 60 º igual a numerador a l t u r a sobre denominador 1 vírgula 8 fim da fração raiz quadrada de 3 igual a numerador a l t u r a sobre denominador 1 vírgula 8 fim da fração a l t u r a igual a raiz quadrada de 3.1 vírgula 8 a l t u r a igual a 3 vírgula 1 espaço k m  A l t e r n a t i v a espaço c dois pontos 3 vírgula 1 k m

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.