Exercícios de Trigonometria

Rosimar Gouveia

A trigonometria estuda as relações entre ângulos e lados de um triângulo. Para um triângulo retângulo definimos as razões: seno, cosseno e tangente.

Essas razões são muito úteis para resolver problemas onde precisamos descobrir um lado e conhecemos a medida de um ângulo, além do ângulo reto e um dos seus lados.

Portanto, aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.

Exercícios Resolvidos

Questão 1

A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?

Considere:

sen 40º = 0,64
cos 40º = 0,77
tg 40º = 0,84

Exercício 1 trigonometria

Resposta correta: 5 120 m de altura.

Vamos começar o exercício representando na figura a altura do avião. Para isso, basta desenhar uma reta perpendicular à superfície e que passa pelo ponto onde o avião se encontra.

Exercício 1 trigonometria

Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado.

Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:

sen espaço 40 º igual a numerador cateto espaço oposto sobre denominador hipotenusa fim da fração sen espaço 40 º igual a numerador reto h sobre denominador 8 espaço 000 fim da fração 0 vírgula 64 igual a numerador reto h sobre denominador 8 espaço 000 fim da fração reto h igual a 8 espaço 000.0 vírgula 64 igual a 5 espaço 120

Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.

Questão 2

Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.

Exercício 2 trigonometria

Considere:

sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43

Resposta correta: largura de 0,57 m ou 57 cm.

Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.

O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).

Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:

Exercício 2 trigonometria

A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa.

Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado.

Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor:

cos espaço 55 º igual a numerador cateto espaço adjacente sobre denominador hipotenusa fim da fração 0 vírgula 57 igual a numerador reto y sobre denominador 0 vírgula 5 fim da fração reto y igual a 0 vírgula 57.0 vírgula 5 reto y igual a 0 vírgula 285

Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:

largura da casa = 2. 0,285 = 0,57

Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.

Veja também: Seno, Cosseno e Tangente

Questão 3

Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.

Exercício 3 trigonometria

Considere:

sen 20º = 0,34
cos 20º = 0,93
tg 20º = 0,36

Resposta correta: 181,3 m.

Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo:

Exercício 3 trigonometria

Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente.

Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).

Assim, teremos:

tg espaço 20 º igual a reto x sobre 500 0 vírgula 36 igual a reto x sobre 500 reto x igual a 500.0 vírgula 36 igual a 180 espaço

Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos:

h = 180 + 1,3 =181,3

Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.

Veja também: Trigonometria no Triângulo Retângulo

Questão 4

Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.

altura do prédio trigonometria

Resposta correta: 21,86 m.

No desenho, ao efetuarmos a projeção do ponto B no prédio que Pedro está observando, dando a ele o nome de D, criamos o triângulo isósceles DBC.

O triângulo isósceles possui dois lados iguais e, portanto, DB = DC = 8 m.

Exercício 4 de trigonometria

Os ângulos DCB e DBC possuem o mesmo valor, que é 45º. Observando o triângulo maior, formado pelos vértices ABD encontramos o ângulo de 60º, pois subtraímos o ângulo de ABC pelo ângulo de DBC.

ABD = 105º - 45º = 60º.

Sendo assim, o ângulo DAB é de 30º, já que a soma dos ângulos internos deve ser 180º.

DAB = 180º - 90º - 60º = 30º.

Utilizando a função tangente, tg espaço reto x espaço igual a espaço numerador cateto espaço oposto sobre denominador cateto espaço adjacente fim da fração, encontramos a medida do lado AD, que corresponde ao cateto adjacente do triângulo ABD. O cateto oposto possui o valor de 8m.

tg espaço reto x espaço igual a espaço numerador cateto espaço oposto sobre denominador cateto espaço adjacente fim da fração tg espaço 30 º igual a espaço numerador 8 sobre denominador cateto espaço adjacente fim da fração cateto espaço oposto espaço igual a espaço numerador 8 sobre denominador tg espaço 30 º fim da fração cateto espaço oposto espaço igual a espaço numerador 8 sobre denominador 0 vírgula 577 fim da fração igual a 13 vírgula 86 espaço reto m

A altura do prédio representa a distância entre os vértices A e C, sendo assim:

AC = = 13,86 m + 8 m

AC = 21,86 m

Portanto, a altura do prédio é de 21,86 m.

Veja também: Razões Trigonométricas

Questão 5

João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.

trigonometria altura dos degraus

Resposta correta: 12,5 cm.

Como a escada forma um triângulo retângulo, o primeiro passo para responder à questão é encontrar a altura da rampa, que corresponde ao cateto oposto.

Exercício 5 trigonometria

sen espaço reto x espaço igual a espaço numerador cateto espaço oposto sobre denominador hipotenusa fim da fração sen espaço 30 º espaço igual a espaço reto h sobre 2 1 meio espaço igual a reto h sobre 2 espaço espaço reto h espaço igual a espaço 1 espaço reto m

Se a altura da escada é de 1m e ela possui 8 degraus, então dividindo a altura por 8 encontraremos a altura de cada degrau.

degrau espaço igual a espaço reto h sobre 8 espaço degrau espaço igual a espaço numerador 1 espaço reto m sobre denominador 8 fim da fração espaço degrau espaço igual a espaço 0 vírgula 125 espaço reto m

Portanto, cada degrau apresenta a altura de 0,125 m ou 12,5 cm.

Veja também: Trigonometria

Questão 6

O triângulo isósceles é um tipo de triângulo que possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais formados com a base. Observe a figura abaixo e determine a medida dos lados congruentes deste triângulo.

questão de trigonometria sobre triângulo isósceles

Resposta correta: 2 raiz quadrada de 3

Pela lei dos senos, em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:

numerador reto a sobre denominador sen espaço reto A fim da fração igual a numerador reto b sobre denominador sen espaço reto B fim da fração igual a numerador reto c sobre denominador sen espaço reto C fim da fração

Substituindo pelos valores da figura, podemos calcular o valor de x.

numerador 6 sobre denominador sen espaço 120 º fim da fração igual a numerador reto x sobre denominador sen espaço 30 º fim da fração numerador 6 sobre denominador começar estilo mostrar numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador diagonal para cima risco 2 fim da fração fim do estilo fim da fração igual a numerador reto x sobre denominador começar estilo mostrar numerador 1 sobre denominador diagonal para cima risco 2 fim da fração fim do estilo fim da fração numerador 6 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a reto x 6 espaço igual a raiz quadrada de 3. espaço reto x espaço reto x espaço igual a numerador 6 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Para eliminar a raiz quadrada do denominador devemos racionalizá-lo.

reto x espaço igual a numerador 6 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração. numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3.3 fim da raiz fim da fração igual a numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 9 fim da fração igual a numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a 2 raiz quadrada de 3

Portanto, os lados congruentes possuem a medida de negrito 2 raiz quadrada de negrito 3.

Veja também: Relações Trigonométricas

Questão 7

Ana estava estudando trigonometria para prova. Ao fazer uma pausa, ela olhou para o relógio e percebeu que ele estava parado em 2h40 min, pois havia acabado a pilha. Para testar se realmente seus estudos estavam indo bem, Ana resolveu calcular a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros do relógio.

Qual o ângulo formado quando o relógio marca 2h40 min?

relógio trigonometria

Resposta correta: 160º.

Um relógio é uma circunferência e, portanto, a soma dos ângulos internos resulta em 360º. Se dividirmos por 12, o número total escrito no relógio, encontramos que o espaço entre dois números consecutivos corresponde a um ângulo de 30º.

Exercício 7 trigonometria

Do número 2 ao número 8 percorremos 6 marcas consecutivas e, por isso, o deslocamento pode ser escrito da seguinte forma:

reto alfa espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 30 º espaço igual a espaço 180 º

A partir disso, podemos calcular o valor de alfa, que corresponde ao ângulo de 2h40 min, fazendo subtração:

reto alfa espaço igual a espaço 180 º espaço menos espaço reto x

Sabendo que em 1h, ou 60 min, o ponteiro forma um ângulo de 30º, realizamos uma regra de três para encontrarmos o ângulo que corresponde a 40 min.

60 espaço min espaço menos espaço 30 º espaço espaço 40 espaço min espaço menos espaço reto x espaço espaço  reto x espaço igual a espaço numerador 40 espaço diagonal para cima risco min espaço. espaço 30 º sobre denominador 60 riscado diagonal para cima sobre espaço min fim do riscado fim da fração reto x espaço igual a espaço 20 º

Sendo assim, o ângulo de 2h40 min é:

a espaço igual a espaço 180 º espaço menos espaço x espaço espaço a espaço igual a espaço 180 º espaço menos espaço 20 º espaço espaço a espaço igual a espaço 160 º

Questão 8

Observe o triângulo acutângulo abaixo e determine o comprimento do lado AC e o ângulo formado no vértice A.

trigonometria triângulo acutângulo

Resposta correta: b = 7,82 e ângulo 52º.

Primeira parte: comprimento do lado AC

Pela representação, observamos que temos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja medida queremos encontrar.

Para calcular a medida de b, precisamos utilizar a lei dos cossenos:

"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."

Portanto:

reto b ao quadrado igual a reto a ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço menos espaço 2 ac espaço. espaço cos espaço reto B com conjunção lógica sobrescrito reto b ao quadrado igual a 8 ao quadrado espaço mais espaço 10 ao quadrado espaço menos espaço 2.8.10. espaço cos espaço 50 º reto b ao quadrado espaço igual a espaço 164 espaço menos espaço 160. espaço cos espaço 50 º reto b ao quadrado espaço igual a espaço 164 espaço menos espaço 160. espaço 0 vírgula 64279 reto b espaço igual a espaço raiz quadrada de 61.15 fim da raiz reto b espaço assimptoticamente igual 7 vírgula 82 espaço

Segunda parte: medida do ângulo no vértice A

Para determinar a medida do ângulo no vértice A, podemos utilizar a lei dos senos:

numerador reto a sobre denominador sen espaço reto A fim da fração espaço igual a espaço numerador reto b sobre denominador sen espaço reto B fim da fração numerador 8 sobre denominador sen espaço reto A fim da fração espaço igual a espaço numerador 7 vírgula 82 sobre denominador sen espaço 50 º fim da fração sen espaço reto A espaço assimptoticamente igual espaço 0 vírgula 7837

Consultando uma tabela trigonométrica, podemos observar que o resultado 0,7837 está mais próximo do seno de 52º. Portanto, 52º é o ângulo que estamos procurando.

Veja também: Tabela Trigonométrica

Questão 9

Observe o triângulo abaixo e em função da medida b do lado AC, determine as medidas dos lados AB e BC.

Cálculo dos lados de um triângulo

Considere:

sen 45º = 0,707
sen 60º = 0,866
sen 75º = 0,966

Resposta correta: AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Como a soma dos ângulo internos de um triângulo deve ser 180º e já temos as medidas de dois ângulos, subtraindo os valores dados encontramos a medida do terceiro ângulo.

med espaço parêntese esquerdo reto A parêntese direito espaço igual a espaço 180 º espaço menos espaço 60 º espaço menos espaço 45 º igual a espaço 75 º

Pela lei dos senos, temos:

numerador AC sobre denominador sen espaço reto B fim da fração igual a numerador AB sobre denominador sen espaço reto C fim da fração igual a numerador BC sobre denominador sen espaço reto A fim da fração numerador reto b sobre denominador sen espaço 60 º fim da fração igual a numerador AB sobre denominador sen 45 º fim da fração igual a numerador BC sobre denominador sen espaço 75 º fim da fração

Calculando a medida de AB:

numerador reto b sobre denominador sen espaço 60 º fim da fração igual a numerador AB sobre denominador sen 45 º fim da fração AB espaço igual a espaço numerador sen espaço 45 º sobre denominador sen espaço 60 º fim da fração. espaço reto b AB espaço igual a espaço numerador 0 vírgula 707 sobre denominador 0 vírgula 866 fim da fração. espaço reto b AB espaço estreito assimptoticamente igual 0 vírgula 816. reto b espaço

Calculando a medida de BC:

numerador reto b sobre denominador sen espaço 60 º fim da fração igual a numerador AC sobre denominador sen espaço 75 º fim da fração AB espaço igual a espaço numerador 0 vírgula 966 sobre denominador 0 vírgula 866 fim da fração. espaço reto b AB espaço estreito assimptoticamente igual espaço 1 vírgula 115. reto b espaço

Portanto, AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Veja também: Lei dos Senos

Questões de vestibulares resolvidas e comentadas

Questão 10

(Cefet/MG - 2017) Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é

a parêntese direito espaço 4 sobre 5 b parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 4 fim da fração c parêntese direito numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

Alternativa correta: d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração.

A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:

tg espaço reto alfa igual a numerador cateto espaço oposto sobre denominador cateto espaço adjacente fim da fração

Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:

tg espaço reto alfa igual a 2 igual a reto b sobre reto c

Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:

a2 = b2+c2
25 = (2c)2+c2
5c2 = 25
c = √5

Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:

sen espaço reto alfa igual a numerador cateto espaço oposto sobre denominador hipotenusa fim da fração igual a reto b sobre reto a sen espaço reto alfa igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

Alternativa d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

Questão 11

(Epcar - 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Questão Epcar 2016 trigonometria

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a

a) 6 +√3
b) 6(3 − √3 )
c) 9 √3 − √2
d) 9(√ 2 − 1)

Alternativa correta: b) 6(3 − √3 ).

Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC.

O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:

tg espaço 30 º igual a numerador BA com barra sobrescrito sobre denominador BC com barra sobrescrito fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador BA com barra sobrescrito sobre denominador 6 raiz quadrada de 3 fim da fração BA com barra sobrescrito igual a numerador 6 raiz quadrada de 9 sobre denominador 3 fim da fração BA com barra sobrescrito igual a 6

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:

pilha AC ao quadrado com barra acima igual a pilha BA ao quadrado com barra acima mais pilha BC ao quadrado com barra acima pilha AC ao quadrado com barra acima igual a 6 ao quadrado mais parêntese esquerdo 6 raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado pilha AC ao quadrado com barra acima igual a 36 mais 108 AC com barra sobrescrito igual a raiz quadrada de 144 AC com barra sobrescrito igual a 12

Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna.

Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:

numerador BC com barra sobrescrito sobre denominador PC com barra sobrescrito fim da fração igual a numerador BA com barra sobrescrito sobre denominador PA com barra sobrescrito fim da fração numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador PC com barra sobrescrito fim da fração igual a numerador 6 sobre denominador 12 menos PC com barra sobrescrito fim da fração 6. PC com barra sobrescrito igual a 72 raiz quadrada de 3 menos 6 raiz quadrada de 3. PC com barra sobrescrito 6. PC com barra sobrescrito espaço mais 6 raiz quadrada de 3. PC com barra sobrescrito igual a 72 raiz quadrada de 3 PC com barra sobrescrito igual a numerador 72 raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 parêntese esquerdo 1 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração PC com barra sobrescrito igual a numerador 12 raiz quadrada de 3 sobre denominador 1 mais raiz quadrada de 3 fim da fração. espaço numerador parêntese esquerdo 1 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo 1 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração PC com barra sobrescrito igual a 6 espaço parêntese esquerdo 3 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito

Alternativa b: 6(3 − √3 )

Questão 12

(Enem - 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Questão Enem 2011 trigonometria

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3/3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m

Alternativa correta: b) 1000 √3 m.

Após passar pelo ponto B, a menor distância ao ponto fixo P será uma reta que forma um ângulo de 90º com a trajetória do barco, conforme figura abaixo:

Questão Enem 2011 trigonometria

Como α= 30º, então 2α= 60º, então podemos calcular a medida do outro ângulo do triângulo BPC, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º:

90º + 60º + x = 180º
x = 180º - 90º - 60º = 30º

Podemos, ainda, calcular o ângulo obtuso do triângulo APB. Como 2α= 60º, o ângulo adjacente será igual a 120º (180º- 60º). Com isso, o outro ângulo agudo do triângulo APB, será calculado fazendo-se:

30º + 120º + x = 180º
x = 180º - 120º - 30º = 30º

Os ângulos encontrados, estão indicados na figura abaixo:

Questão Enem 2011 trigonometria

Assim, chegamos a conclusão que o triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos iguais. Desta maneira, a medida do lado PB é igual a medida do lado AB.

Conhecendo a medida de PB, vamos calcular a medida de PC, que corresponde a menor distância ao ponto P.

O lado PB corresponde à hipotenusa do triângulo PBC e o lado PC o cateto oposto ao ângulo de 60º. Teremos, então:

s e n espaço 60 º igual a numerador pilha P C com barra acima sobre denominador pilha P B com barra acima fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador pilha P C com barra acima sobre denominador 2000 fim da fração pilha P C com barra acima igual a numerador 2000 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a 1000 raiz quadrada de 3

Alternativa b: 1000 √3 m

Questão 13

(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras A, B, ..., L estão igualmente espaçadas (o ângulo central entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posição inicial da seta, quando o cofre se encontra fechado, é a indicada.

Para abrir o cofre, são necessárias três operações (o segredo), girando o disco menor (onde a seta está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada:

1- Girar 2 sobre 3 pi no sentido anti-horário

2- Girar 3 sobre 2 reto pi no sentido horário

3- Girar 3 sobre 4 reto pi no sentido anti-horário

questão de trigonometria vestibular

Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre será aberto quando a seta estiver:

a) no ponto médio entre L e A
b) na posição B
c) na posição K
d) em algum ponto entre J e K
e) na posição H

Alternativa correta: a) no ponto médio entre L e A.

Primeiramente, devemos somar as operações realizadas no sentido anti-horário.

2 sobre 3 reto pi espaço mais espaço 3 sobre 4 reto pi espaço igual a 17 sobre 12 reto pi

Subtraindo a operação no sentido anti-horário da operação no sentido horário, encontramos a posição final da seta.

3 sobre 2 pi espaço menos 17 sobre 12 reto pi espaço igual a espaço reto pi sobre 12

Utilizando a regra de três simples, encontramos a posição em graus.

reto pi espaço rad espaço menos espaço 180 º numerador reto pi espaço sobre denominador 12 fim da fração rad espaço menos espaço reto x  reto x espaço igual a espaço numerador 180 º. numerador reto pi espaço sobre denominador 12 fim da fração rad sobre denominador reto pi espaço rad fim da fração reto x espaço igual a espaço numerador 180 º sobre denominador 12 fim da fração reto x espaço igual a 15 º

Como a soma dos ângulos internos de uma circunferência resulta em 360º, se dividirmos por 12, o número total de letras escritas, encontramos que o espaço entre duas letras consecutivas corresponde a um ângulo de 30º.

Como o ponteiro estava no A e o ângulo final é de 15º, que é a metade do ângulo formado com a letra subsequente, então ao final do movimento, a seta estará posicionada na ponto médio entre A e L.

Veja também: Funções Trigonométricas

Questão 14

(Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero.

Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

trigonometria vestibular unesp

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 2 espaço mais espaço 5 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da raiz

b) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 5 espaço mais espaço 2 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da raiz

c) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 6

d) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 5 espaço mais espaço 3 espaço. espaço raiz quadrada de 2 fim da raiz

e) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 7 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da raiz

Resposta correta: b) 80 espaço. espaço raiz quadrada de 5 espaço mais espaço 2 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da raiz.

Através dos dados apresentados na questão podemos observar que o triângulo formado entre Campinas, São Paulo e Sorocaba é um triângulo equilátero, ou seja, possui três lados iguais e cada ângulo interno tem o valor de 60º.

Sendo assim, a distância entre São Paulo e Sorocaba é a mesma, 80 km, e o triângulo formado entre as cidades de São Paulo, Socoraba e Guaratiguetá é um obstusângulo, com ângulo de 150º (90º + 60º).

vestibular unesp trigonometria

Temos então as medidas de dois lados e um dos ângulos. Através disso, podemos calcular a hipotenusa do triângulo, que é a distância entre Guaratinguetá e Sorocaba, utilizando a lei dos cossenos.

reto d ao quadrado igual a 80 ao quadrado espaço mais espaço 160 ao quadrado espaço menos espaço 2.80.160 espaço. espaço cos espaço 150 º reto d ao quadrado igual a 6400 mais espaço 25600 espaço menos espaço 25600. espaço abre parênteses menos numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração fecha parênteses reto d ao quadrado espaço igual a espaço 32000 espaço mais espaço 12800. raiz quadrada de 3 reto d igual a espaço raiz quadrada de 5.80 ao quadrado espaço mais espaço 2.80 ao quadrado. raiz quadrada de 3 fim da raiz reto d espaço igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 espaço mais espaço 2. raiz quadrada de 3 fim da raiz parêntese direito espaço. espaço 80 espaço

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.