Exercícios de Trigonometria

Resposta correta: 5 120 m de altura.

Vamos começar o exercício representando na figura a altura do avião. Para isso, basta desenhar uma reta perpendicular à superfície e que passa pelo ponto onde o avião se encontra.

Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado.

Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:

De uma tabela trigonométrica encontramos que sen 40° é aproximadamente 0,64.

Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.

Resposta correta: largura de 0,57 m ou 57 cm.

Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.

O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).

Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:

A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa.

Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado.

Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor:

Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:

largura da casa = 2. 0,285 = 0,57

Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.

Resposta correta: 181,3 m.

Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo:

Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente.

Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).

Assim, teremos:

Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos:

h = 180 + 1,3 =181,3

Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.

Resposta correta: 21,86 m.

No desenho, ao efetuarmos a projeção do ponto B no prédio que Pedro está observando, dando a ele o nome de D, criamos o triângulo isósceles DBC.

O triângulo isósceles possui dois lados iguais e, portanto, DB = DC = 8 m.

Os ângulos DCB e DBC possuem o mesmo valor, que é 45º. Observando o triângulo maior, formado pelos vértices ABD encontramos o ângulo de 60º, pois subtraímos o ângulo de ABC pelo ângulo de DBC.

ABD = 105º - 45º = 60º.

Sendo assim, o ângulo DAB é de 30º, já que a soma dos ângulos internos deve ser 180º.

DAB = 180º - 90º - 60º = 30º.

Utilizando a função tangente, , encontramos a medida do lado AD, que corresponde ao cateto adjacente do triângulo ABD. O cateto oposto possui o valor de 8m.

De uma tabela trigonométrica tiramos o valor aproximado para tg 30° como 0,577.

A altura do prédio representa a distância entre os vértices A e C, sendo assim:

AC = = 13,86 m + 8 m

AC = 21,86 m

Portanto, a altura do prédio é de 21,86 m.

Resposta correta: 12,5 cm.

Como a escada forma um triângulo retângulo, o primeiro passo para responder à questão é encontrar a altura da rampa, que corresponde ao cateto oposto.

Se a altura da escada é de 1m e ela possui 8 degraus, então dividindo a altura por 8 encontraremos a altura de cada degrau.

Portanto, cada degrau apresenta a altura de 0,125 m ou 12,5 cm.

Resposta correta:

Pela lei dos senos, em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:

Substituindo pelos valores da figura, podemos calcular o valor de x.

Para eliminar a raiz quadrada do denominador devemos racionalizá-lo.

Portanto, os lados congruentes possuem a medida de .

Resposta correta: 160º.

Um relógio é uma circunferência e, portanto, a soma dos ângulos internos resulta em 360º. Se dividirmos por 12, o número total escrito no relógio, encontramos que o espaço entre dois números consecutivos corresponde a um ângulo de 30º.

Do número 2 ao número 8 percorremos 6 marcas consecutivas e, por isso, o deslocamento pode ser escrito da seguinte forma:

A partir disso, podemos calcular o valor de , que corresponde ao ângulo de 2h40 min, fazendo subtração:

Sabendo que em 1h, ou 60 min, o ponteiro forma um ângulo de 30º, realizamos uma regra de três para encontrarmos o ângulo que corresponde a 40 min.

Sendo assim, o ângulo de 2h40 min é:

Resposta correta: b = 7,82 e ângulo 52º.

Primeira parte: comprimento do lado AC

Pela representação, observamos que temos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja medida queremos encontrar.

Para calcular a medida de b, precisamos utilizar a lei dos cossenos:

"Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles."

Portanto:

Segunda parte: medida do ângulo no vértice A

Para determinar a medida do ângulo no vértice A, podemos utilizar a lei dos senos:

Consultando uma tabela trigonométrica, podemos observar que o resultado 0,7837 está mais próximo do seno de 52º. Portanto, 52º é o ângulo que estamos procurando.

Resposta correta: AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Como a soma dos ângulo internos de um triângulo deve ser 180º e já temos as medidas de dois ângulos, subtraindo os valores dados encontramos a medida do terceiro ângulo.

Pela lei dos senos, temos:

Calculando a medida de AB:

Calculando a medida de BC:

Portanto, AB = 0,816b e BC = 1,115b.

Alternativa correta: .

A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:

Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:

Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:

a² = b²+c²
25 = (2c)²+c²
5c² = 25
c = √5

Sendo b = 2c, então b = 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:

Alternativa

Alternativa correta: b) 6(3 − √3 ).

Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC.

O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:

Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna.

Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:

Alternativa b: 6(3 − √3 )

Alternativa correta: b) 1000 √3 m.

Após passar pelo ponto B, a menor distância ao ponto fixo P será uma reta que forma um ângulo de 90º com a trajetória do barco, conforme figura abaixo:

Como α= 30º, então 2α= 60º, então podemos calcular a medida do outro ângulo do triângulo BPC, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º:

90º + 60º + x = 180º
x = 180º - 90º - 60º = 30º

Podemos, ainda, calcular o ângulo obtuso do triângulo APB. Como 2α= 60º, o ângulo adjacente será igual a 120º (180º- 60º). Com isso, o outro ângulo agudo do triângulo APB, será calculado fazendo-se:

30º + 120º + x = 180º
x = 180º - 120º - 30º = 30º

Os ângulos encontrados, estão indicados na figura abaixo:

Assim, chegamos a conclusão que o triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos iguais. Desta maneira, a medida do lado PB é igual a medida do lado AB.

Conhecendo a medida de PB, vamos calcular a medida de PC, que corresponde a menor distância ao ponto P.

O lado PB corresponde à hipotenusa do triângulo PBC e o lado PC o cateto oposto ao ângulo de 60º. Teremos, então:

Alternativa b: 1000 √3 m

Alternativa correta: a) no ponto médio entre L e A.

Primeiramente, devemos somar as operações realizadas no sentido anti-horário.

Subtraindo a operação no sentido anti-horário da operação no sentido horário, encontramos a posição final da seta.

Utilizando a regra de três simples, encontramos a posição em graus.

Como a soma dos ângulos internos de uma circunferência resulta em 360º, se dividirmos por 12, o número total de letras escritas, encontramos que o espaço entre duas letras consecutivas corresponde a um ângulo de 30º.

Como o ponteiro estava no A e o ângulo final é de 15º, que é a metade do ângulo formado com a letra subsequente, então ao final do movimento, a seta estará posicionada na ponto médio entre A e L.

Resposta correta: b) .

Através dos dados apresentados na questão podemos observar que o triângulo formado entre Campinas, São Paulo e Sorocaba é um triângulo equilátero, ou seja, possui três lados iguais e cada ângulo interno tem o valor de 60º.

Sendo assim, a distância entre São Paulo e Sorocaba é a mesma, 80 km, e o triângulo formado entre as cidades de São Paulo, Socoraba e Guaratiguetá é um obstusângulo, com ângulo de 150º (90º + 60º).

Temos então as medidas de dois lados e um dos ângulos. Através disso, podemos calcular a hipotenusa do triângulo, que é a distância entre Guaratinguetá e Sorocaba, utilizando a lei dos cossenos.