Exercícios de Trigonometria

Rosimar Gouveia

A trigonometria estuda as relações entre ângulos e lados de um triângulo. Para um triângulo retângulo definimos as razões: seno, cosseno e tangente.

Essas razões são muito úteis para resolver problemas onde precisamos descobrir um lado e conhecemos a medida de um ângulo, além do ângulo reto e um dos seus lados.

Portanto, aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de verificar seus conhecimentos nas questões resolvidas de concursos.

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?

Considere:

sen 40º = 0,64
cos 40º = 0,77
tg 40º = 0,84

Exercício 1 trigonometria

Solução

Vamos começar o exercício representando na figura a altura do avião. Para isso, basta desenhar uma reta perpendicular à superfície e que passa pelo ponto onde o avião se encontra.

Exercício 1 trigonometria

Notamos que o triângulo indicado é retângulo e a distância percorrida representa a medida da hipotenusa deste triângulo e a altura do cateto oposto ao ângulo dado.

Portanto, usaremos o seno do ângulo para encontrar a medida da altura:

s e n espaço 40 º igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração s e n espaço 40 º igual a numerador h sobre denominador 8 espaço 000 fim da fração 0 vírgula 64 igual a numerador h sobre denominador 8 espaço 000 fim da fração h igual a 8 espaço 000.0 vírgula 64 igual a 5 espaço 120

Assim, ao percorrer 8 000 m, o avião se encontra a 5 120 m de altura.

Exercício 2

Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.

Exercício 2 trigonometria

Considere:

sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43

Solução

Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.

O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).

Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:

Exercício 2 trigonometria

A medida y será igual a metade da medida de x, que corresponde a largura da casa.

Desta forma, temos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo e procuramos a medida de y, que é o cateto adjacente ao ângulo dado.

Assim, podemos usar o cosseno de 55º para calcular esse valor:

cos espaço 55 º igual a numerador c a t e t o espaço a d j a c e n t e sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração 0 vírgula 57 igual a numerador y sobre denominador 0 vírgula 5 fim da fração y igual a 0 vírgula 57.0 vírgula 5 y igual a 0 vírgula 285

Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:

largura da casa = 2. 0,285 = 0,57

Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.

Exercício 3

Um menino avista o ponto mais alto de um morro, conforme figura abaixo. Considerando que ele está a uma distância de 500 m da base do morro, calcule a altura (h) deste ponto.

Exercício 3 trigonometria

Considere:

sen 20º = 0,34
cos 20º = 0,93
tg 20º = 0,36

Solução

Observando o desenho, notamos que o ângulo visual é de 20º. Para calcular a altura do morro, iremos usar as relações do seguinte triângulo:

Exercício 3 trigonometria

Como o triângulo é retângulo, iremos calcular a medida x usando a razão trigonométrica tangente.

Escolhemos essa razão, visto que conhecemos o valor do ângulo do cateto adjacente e estamos procurando a medida do cateto oposto (x).

Assim, teremos:

t g espaço 20 º igual a x sobre 500 0 vírgula 36 igual a x sobre 500 x igual a 500.0 vírgula 36 igual a 180 espaço

Como o menino tem 1,30 m, a altura do morro será encontrada somando-se este valor ao valor encontrado para x. Assim, teremos:

h = 180 + 1,3 =181,3

Logo, a altura do morro será igual a 181,3 m.

Questões de Concursos

1) Cefet/MG - 2017

Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos é 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo é 5, o valor do seno desse mesmo ângulo é

a parêntese direito espaço 4 sobre 5 b parêntese direito espaço numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 4 fim da fração c parêntese direito numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração d parêntese direito espaço numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

A tangente de um ângulo é igual a razão entre os seus catetos, assim:

t g espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração

Vamos chamar o cateto oposto ao ângulo de b e o cateto adjacente de c, então podemos escrever a seguinte relação:

t g espaço alfa igual a 2 igual a b sobre c

Logo, concluímos que b = 2c. Se aplicarmos o teorema de Pitágoras, substituindo o valor de b por 2c, podemos encontrar o valor dos catetos:

a2 = b2+c2
25=(2c)2+c2
5c2=25
c=√5

Sendo b=2c, então b= 2√5. Agora, podemos calcular o valor do seno do ângulo:

s e n espaço alfa igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador h i p o t e n u s a fim da fração igual a b sobre a s e n espaço alfa igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

Alternativa d: 2√5/5

2) Epcar - 2016

As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Questão Epcar 2016 trigonometria

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a

a) 6 +√3
b) 6(3 − √3 )
c) 9 √3 − √2
d) 9(√ 2 − 1)

Podemos começar calculando o lado BA através das razões trigonométricas, visto que o triângulo ABC é retângulo e temos a medida do ângulo formado pelos lados BC e AC.

O lado BA é oposto ao ângulo dado (30º) e o lado BC é adjacente a este ângulo, portanto, iremos calcular usando a tangente de 30º:

t g espaço 30 º igual a numerador pilha B A com barra acima sobre denominador pilha B C com barra acima fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração igual a numerador pilha B A com barra acima sobre denominador 6 raiz quadrada de 3 fim da fração pilha B A com barra acima igual a numerador 6 raiz quadrada de 9 sobre denominador 3 fim da fração pilha B A com barra acima igual a 6

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida do lado AC, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:

pilha A C ao quadrado com barra acima igual a pilha B A ao quadrado com barra acima mais pilha B C ao quadrado com barra acima pilha A C ao quadrado com barra acima igual a 6 ao quadrado mais parêntese esquerdo 6 raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado pilha A C ao quadrado com barra acima igual a 36 mais 108 pilha A C com barra acima igual a raiz quadrada de 144 pilha A C com barra acima igual a 12

Agora que já conhecemos as medidas dos lados do triângulo ABC, podemos calcular a medida do lado CP através do teorema da bissetriz interna.

Para isso, observe que o lado PA é igual a 12 - PC, aplicando o teorema da bissetriz interna, temos:

numerador pilha B C com barra acima sobre denominador pilha P C com barra acima fim da fração igual a numerador pilha B A com barra acima sobre denominador pilha P A com barra acima fim da fração numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador pilha P C com barra acima fim da fração igual a numerador 6 sobre denominador 12 menos pilha P C com barra acima fim da fração 6. pilha P C com barra acima igual a 72 raiz quadrada de 3 menos 6 raiz quadrada de 3. pilha P C com barra acima 6. pilha P C com barra acima espaço mais 6 raiz quadrada de 3. pilha P C com barra acima igual a 72 raiz quadrada de 3 pilha P C com barra acima igual a numerador 72 raiz quadrada de 3 sobre denominador 6 parêntese esquerdo 1 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração pilha P C com barra acima igual a numerador 12 raiz quadrada de 3 sobre denominador 1 mais raiz quadrada de 3 fim da fração. espaço numerador parêntese esquerdo 1 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo 1 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração pilha P C com barra acima igual a 6 espaço parêntese esquerdo 3 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito

Alternativa b: 6(3 − √3 )

3) Enem - 2011

Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Questão Enem 2011 trigonometria

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1000 m
b) 1000 √3 m
c) 2000 √3/3 m
d) 2000 m
e) 2000 √3 m

Após passar pelo ponto B, a menor distância ao ponto fixo P será uma reta que forma um ângulo de 900 com a trajetória do barco, conforme figura abaixo:

Questão Enem 2011 trigonometria

Como α= 30º, então 2α= 60º, então podemos calcular a medida do outro ângulo do triângulo BPC, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 1800:

90º+60º+x = 180º
x = 180º-90º- 60º= 30º

Podemos, ainda, calcular o ângulo obtuso do triângulo APB. Como 2α= 60º, o ângulo adjacente será igual a 1200 (1800-600). Com isso, o outro ângulo agudo do triângulo APB, será calculado fazendo-se:

30º+120º+x = 180º
x = 180º-120º-30º = 30º

Os ângulos encontrados, estão indicados na figura abaixo:

Questão Enem 2011 trigonometria

Assim, chegamos a conclusão que o triângulo APB é isósceles, pois possui dois ângulos iguais. Desta maneira, a medida do lado PB é igual a medida do lado AB.

Conhecendo a medida de PB, vamos calcular a medida de PC, que corresponde a menor distância ao ponto P.

O lado PB corresponde à hipotenusa do triângulo PBC e o lado PC o cateto oposto ao ângulo de 60º. Teremos, então:

s e n espaço 60 º igual a numerador pilha P C com barra acima sobre denominador pilha P B com barra acima fim da fração numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador pilha P C com barra acima sobre denominador 2000 fim da fração pilha P C com barra acima igual a numerador 2000 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração igual a 1000 raiz quadrada de 3

Alternativa b: 1000 √3 m

Para saber mais, veja também:

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.