Exercícios de Probabilidade

Rosimar Gouveia

Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.

Questões nível fácil

Questão 1

Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?

Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.

Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.

tabela linha com célula com tabela linha com blank blank blank linha com blank ⬤ blank linha com blank blank blank fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank blank linha com blank blank blank linha com blank blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank blank linha com blank ⬤ blank linha com blank blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com blank blank blank linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com blank ⬤ blank linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com ⬤ blank ⬤ linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula linha com 1 2 3 4 5 6 fim da tabela

Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.

Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração

Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.

reto P espaço igual a espaço 3 sobre 6 igual a 1 meio

As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.

Questão 2

Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?

Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.

1º passo: determinar o número de eventos possíveis.

Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.

Sendo assim, o número de eventos possíveis é:

U = 6 x 6 = 36 possibilidades

2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.

Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6.

Evento A = abre chaves abre parênteses 1 vírgula 1 fecha parênteses vírgula abre parênteses 2 vírgula 2 fecha parênteses vírgula abre parênteses 3 vírgula 3 fecha parênteses vírgula abre parênteses 4 vírgula 4 fecha parênteses vírgula abre parênteses 5 vírgula 5 fecha parênteses vírgula abre parênteses 6 vírgula 6 fecha parênteses fecha chaves

3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 6 sobre 36 igual a 1 sobre 6 igual a 0 vírgula 1666...

Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.

Questão 3

Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?

Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.

A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.

Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 3 sobre 8 igual a 0 vírgula 375

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.

Questão 4

Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?

Resposta correta: 7,7%

O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.

O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.

Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 4 sobre 52 igual a 1 sobre 13 aproximadamente igual 0 vírgula 077

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.

Questão 5

Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?

Resposta correta: 0,5 ou 50%.

A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.

A quantidade de números múltiplos de dois são:

A = abre chaves 2 vírgula 4 vírgula 6 vírgula 8 vírgula 10 vírgula 12 vírgula 14 vírgula 16 vírgula 18 vírgula 20 fecha chaves

Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 10 sobre 20 igual a 1 meio igual a 0 vírgula 5

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.

Veja também: Probabilidade

Questões nível médio

Questão 6

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.

1º passo: determinar o número de possibilidades.

Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:

2 à potência de 5 igual a espaço 2.2.2.2.2 espaço igual a espaço 32

2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.

O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.

O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:

  1. CCCOO
  2. OOCCC
  3. CCOOC
  4. COOCC
  5. CCOCO
  6. COCOC
  7. OCCOC
  8. OCOCC
  9. OCCCO
  10. COCCO

Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.

3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.

Substituindo os valores na fórmula, temos que:

reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 10 sobre 32 igual a 5 sobre 16 igual a 0 vírgula 3125

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.

Veja também: Probabilidade Condicional

Questão 7

Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:

a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.

Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.

Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n ú m e r o espaço d e espaço c a s o s espaço f a v o r á v e i s sobre denominador n ú m e r o espaço d e espaço c a s o s espaço p o s s í v e i s fim da fração

Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.

Tabela 1:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,4) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 1 sobre 36

b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 11 sobre 36

c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.

Tabela 2:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7

8

3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 4 sobre 36 igual a 1 sobre 9

d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 3 sobre 36 igual a 1 sobre 12

Questão 8

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Resposta correta: 7,8%.

Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:

abre parênteses tabela linha com n linha com k fim da tabela fecha parênteses espaço p à potência de k. espaço q à potência de n menos k fim do exponencial

onde:

n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer

Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:

n = 7
k = 3
p igual a 1 sobre 6 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
q igual a 1 menos p igual a 5 sobre 6

Substituindo os dados na fórmula:
abre parênteses tabela linha com 7 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses espaço abre parênteses 1 sobre 6 fecha parênteses ao cubo abre parênteses 5 sobre 6 fecha parênteses à potência de 4

numerador 7 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço parêntese esquerdo 7 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração. espaço 1 sobre 216.625 sobre 1296

35.1 sobre 216.625 sobre 1296 igual a 21875 sobre 279936 igual a 0 vírgula 078

Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.

Veja também: Análise Combinatória

Questões de probabilidade no Enem

Questão 9

(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.

O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.

As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.

6 espaço. espaço 5 espaço. espaço 9 espaço igual a espaço 270

2º passo: interpretar o resultado.

Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.

Questão 10

(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Cor Urna 1 Urna 2
Amarela 4 0
Azul 3 1
Branca 2 2
Verde 1 3
Vermelha 0 4

Uma jogada consiste em:

  • 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
  • 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
  • 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
  • 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha

Alternativa correta: e) Vermelha.

Analisando os dados da questão, temos:

  • Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
  • Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
  • Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
  • Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
  • Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.

Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.

Questão 11

(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14

Alternativa correta: a) 1/2.

1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.

1200 espaço menos espaço 300 espaço igual a espaço 900

2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.

parêntese esquerdo 600 espaço menos espaço reto x espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 500 espaço menos espaço reto x parêntese direito espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 900 menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais espaço reto x igual a espaço 900 espaço menos espaço 600 espaço menos espaço 500 menos espaço reto x espaço igual a espaço menos espaço 200 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito reto x espaço igual a espaço 200

3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.

1200 espaço menos espaço 600 espaço igual a espaço 600 500 espaço menos espaço 200 espaço igual a espaço 300 300 sobre 600 espaço igual a espaço 1 meio

Questão 12

(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.

O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Quantidade de números

escolhidos em uma cartela

Preço da Cartela
6 2,00
7 12,00
8 40,00
9 125,00
10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

  • Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
  • Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
  • Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
  • Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
  • Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo

Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.

Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.

reto C com parêntese esquerdo reto n vírgula reto p parêntese direito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador reto n fatorial sobre denominador reto p fatorial parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração espaço

Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).

Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:

Arthur: 250 x C(6,6)

250 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 250 espaço reto x espaço 1 espaço igual a espaço 250

Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)

41 espaço reto x espaço numerador 7 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 7 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração mais espaço 4 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 287 espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço 291

Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)

12 espaço reto x espaço numerador 8 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 8 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração mais espaço 10 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 336 espaço mais espaço 10 espaço igual a espaço 346

Douglas: 4 x C(9,6)

4 espaço reto x espaço numerador 9 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 9 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 4 espaço reto x espaço 84 igual a espaço 336

Eduardo: 2 x C(10,6)

2 espaço reto x espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 10 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 2 espaço reto x espaço 210 espaço igual a espaço 420

De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.