Exercícios de Probabilidade

Rosimar Gouveia

Teste seus conhecimentos sobre Probabilidade com exercícios comentados, propostos e questões do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio).

Exercícios Comentados

1) Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, determine:

a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5
c) A probabilidade de obter o mesmo número em ambos os lançamentos
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5
e) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.

Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n ú m e r o espaço d e espaço c a s o s espaço f a v o r á v e i s sobre denominador n ú m e r o espaço d e espaço c a s o s espaço p o s s í v e i s fim da fração

Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.

Tabela 1:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,4) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 1 sobre 36

b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 11 sobre 36

c) Os pares com números iguais são: (1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6). Temos então 6 casos favoráveis. A probabilidade será dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 6 sobre 36 igual a 1 sobre 6

d) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.

Tabela 2:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7

8

3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 4 sobre 36 igual a 1 sobre 9

e) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 3 sobre 36 igual a 1 sobre 12

2) Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:

abre parênteses tabela linha com n linha com k fim da tabela fecha parênteses espaço p à potência de k. espaço q à potência de n menos k fim do exponencial

onde:

n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer

Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:

n = 7
k = 3
p igual a 1 sobre 6 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
q igual a 1 menos p igual a 5 sobre 6

Substituindo os dados na fórmula:
abre parênteses tabela linha com 7 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses espaço abre parênteses 1 sobre 6 fecha parênteses ao cubo abre parênteses 5 sobre 6 fecha parênteses à potência de 4

numerador 7 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço parêntese esquerdo 7 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração. espaço 1 sobre 216.625 sobre 1296

35.1 sobre 216.625 sobre 1296 igual a 21875 sobre 279936 igual a 0 vírgula 078

Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%

Exercícios Propostos

1) Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?

0,375 ou 37,5%

2) Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

0,3125 ou 31,3%

3) Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas?

7,7%

Questões do Enem

1) Enem - 2012

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.

O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.

As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

Alternativa a:10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

2) Enem - 2012

Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Cor Urna 1 Urna 2
Amarela 4 0
Azul 3 1
Branca 2 2
Verde 1 3
Vermelha 0 4

Uma jogada consiste em:

  • 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
  • 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
  • 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
  • 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha

Alternativa e: vermelha

3) Enem - 2013

Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14

Alternativa a: 1/2

4) Enem - 2013

Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.

O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Quantidade de números

escolhidos em uma cartela

Preço da Cartela
6 2,00
7 12,00
8 40,00
9 125,00
10 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

  • Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
  • Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
  • Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
  • Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
  • Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo

Alternativa a: Caio e Eduardo

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.