Análise Combinatória

Rosimar Gouveia

A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.

Muito utilizada nos estudos sobre probabilidade, ela faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos.

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, postula que:

quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possibilidades de o evento ocorrer, dado pelo produto (x) . (y)”.

Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

Exemplo

Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?

Solução

Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:

Diagrama de possibilidades

Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.

Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.

Total de possibilidades: 3.2.4 = 24

Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.

Tipos de Combinatória

O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.

Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.

Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.

O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.

Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.

Exemplo

O! = 1
1! = 1
3! = 3.2.1 = 6
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800

Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.

Arranjos

Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.

Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:

A com n vírgula p subscrito fim do subscrito igual a numerador n fatorial sobre denominador parêntese esquerdo n menos p parêntese direito fatorial fim da fração

Exemplo

Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo mais votado o vice-representante.

Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem é importante, visto que altera o resultado final.

A com 20 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 20 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 20 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 20.19. riscado diagonal para cima sobre 18 fatorial espaço espaço fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 18 fatorial espaço espaço fim do riscado fim da fração igual a 380

Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.

Permutações

As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao número de elementos disponíveis.

Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.

Assim a permutação é expressa pela fórmula:

P com n subscrito igual a n fatorial

Exemplo

Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em um banco com 6 lugares.

Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, iremos usar a permutação:

P com 6 subscrito igual a 6 fatorial espaço igual a 6.5.4.3.2.1 igual a 720

Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas sentarem neste banco.

Combinações

As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos.

Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:

C com n vírgula p subscrito fim do subscrito igual a numerador n fatorial sobre denominador p fatorial espaço parêntese esquerdo n menos p parêntese direito fatorial fim da fração

Exemplo

A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.

De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?

Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e José é equivalente à escolher João, José e Maria.

C com 10 vírgula 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço parêntese esquerdo 10 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 10.9.8. riscado diagonal para cima sobre 7 fatorial espaço espaço espaço fim do riscado sobre denominador 3 fatorial espaço riscado diagonal para cima sobre 7 fatorial espaço espaço espaço fim do riscado fim da fração igual a numerador 10.9.8 sobre denominador 3.2.1 fim da fração igual a 120

Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.

Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.

Probabilidade e Análise Combinatória

A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria.

A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:

P parêntese esquerdo A parêntese direito espaço igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração

Sendo:

P (A): probabilidade de ocorrer um evento A
n (A): número de resultados favoráveis
n (Ω): número total de resultados possíveis

Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas estudadas em análise combinatória.

Exemplo

Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?

Talão da mega-sena
Talão da mega-sena

Solução

Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.

Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 números, não importando a ordem, de um total de 60 números.

Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:

C com 60 vírgula 6 subscrito fim do subscrito igual a numerador 60 fatorial sobre denominador 6 fatorial espaço parêntese esquerdo 60 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 60.59.58.57.56.55. riscado diagonal para cima sobre 54 fatorial fim do riscado sobre denominador 6 fatorial. riscado diagonal para cima sobre 54 fatorial fim do riscado fim da fração igual a numerador 36 espaço 045 espaço 979 espaço 200 sobre denominador 720 fim da fração C com 60 vírgula 6 subscrito fim do subscrito igual a 50 espaço 063 espaço 860

Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será calculada como:

P igual a numerador 1 sobre denominador 50 espaço 063 espaço 860 fim da fração igual a 0 vírgula 00000002 igual a 0 vírgula 000002 sinal de percentagem

Para completar seus estudos faça os Exercícios de Análise Combinatória

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.