Combinação na matemática: como calcular e exemplos
A combinação é um processo matemático utilizado para contar a quantidade de subconjuntos diferentes, possíveis de serem formados, ao escolher elementos de um conjunto maior, não importando a ordem dos elementos.
Cada subconjunto formado por elementos distintos de um conjunto maior, sem considerar a ordem com que estão organizados, é uma combinação.
Como exemplo, pense na seguinte salada de frutas:
Entre 5 frutas disponíveis para montar uma salada de frutas, três foram escolhidas.
{manga, maçã, abacaxi} e {maçã, abacaxi, manga} representam a mesma combinação, visto que a ordem das frutas não é relevante, sendo a salada a mesma.
Para definir combinação, tomemos um conjunto X de n elementos. Considere também um número p menor ou igual a n 
.
A combinação de n elementos tomados p a p é a quantidade de subconjuntos distintos formados ao escolher p elementos do conjunto X.
Basicamente, existem dois tipos de combinações: as simples e as compostas.
Combinação simples
Uma combinação simples é aquela que não possui elementos repetidos no conjunto maior. Desta forma, também não há elementos repetidos nas combinações formadas.
Vamos voltar ao exemplo da salada de frutas. Se no conjunto maior estivessem disponíveis:
1 Pera
1 Banana
1 Manga
1 Abacaxi
1 Maçã
Qualquer combinação seria simples neste caso, pois não há frutas repetidas.
Fórmula da combinação simples
Onde,
C é a quantidade de combinações;
n é o número total de elementos do conjunto maior;
p é o número de elementos no conjunto que pretendemos formar.
Exemplo 1
Quantas combinações são possíveis de serem formadas se em um conjunto de cinco frutas distintas escolhermos três para montar uma salada?
Mesmo sem saber quais são as frutas, o problema anuncia serem distintas, sendo uma questão de combinação simples.
Portanto, há dez combinações possíveis de serem formadas.
Exemplo 2
Uma pizzaria oferece 10 opções em seu cardápio. Eles possuem um tamanho especial chamado pizza gigante, onde o cliente pode dividir a pizza em quatro partes, escolhendo sabores diferentes. De quantos modos uma pizza gigante pode ser formada, escolhendo 4 sabores diferentes entre as dez opções do cardápio?
Resolução
Não há relevância na ordem dos sabores, por isso, é um problema de combinação.
Combinação composta
A combinação composta ocorre quando há elementos que se repetem, por isso, também é conhecida por combinação com repetição.
Na combinação composta ou com repetição, o número p, que representa a quantidade de elementos no conjunto a ser combinado, é maior que a quantidade n de elementos disponíveis no conjunto original. Como o número p é maior que o número n, alguns elementos deverão ser repetidos.
Fórmula da combinação composta
Exemplo 1
De quantos modos um cliente pode compor uma salada com seis frutas (unidades), onde o cardápio oferece apenas cinco opções?
O n, número total de frutas é 5, mas seis irão para o potinho de salada, obrigando a repetição de uma. Com n = 5 e p = 6, utilizaremos a fórmula.
Exemplo 2
Augusto foi comprar meias e ao chegar na loja o vendedor lhe mostrou as opções de cores: branca, cinza e preta. Ele decidiu comprar seis pares. De quantas formas Augusto poderá combinar a escolha para sua compra?
Uma opção seria:
2 brancas, 2 cinzas e 2 pretas
Outra possível combinação:
4 brancas, 1 cinza e 1 preta.
Há diversas outras combinações e o objetivo é determinar quantas.
O conjunto original possui três elementos: meias brancas, cinzas e pretas. Assim, n = 3.
O conjunto a ser formado possui seis elementos, pois este é o número de pares de meias que ele irá comprar, sendo p = 6.
Aplicando a fórmula:
Diferença entre combinação, arranjo e permutação
Problemas diferentes de contagem requerem técnicas diferentes para serem solucionados. Arranjos e permutações são outras destas técnicas. O que define qual utilizar são as condições do problema a ser resolvido.
Caso a ordem dos elementos no subconjunto formado não seja relevante, onde ordenamentos diferentes produzem o mesmo resultado, utilizamos combinação.
Nas situações onde o ordenamento é relevante, produzindo resultados diferentes, utilizamos arranjo ou permutação.
A escolha do método é determinada pelo que o problema diz, por isto, a interpretação dos enunciados e das situações-problema são fundamentais para os solucionar corretamente.
Exemplo 1
Suponha que um trio de pessoas deve ser formado a partir de um grupo de dez pessoas. Este trio tem como tarefa organizar um estoque de sapatos e, cada pessoa, terá a mesma função.
Resolução
Como as pessoas terão a mesma função, o ordenamento delas na escolha do trio não é relevante. Se um Carlos, um Maurício e Júlio forem escolhidos entre as dez pessoas disponíveis, o resultado será o mesmo de escolher Júlio, Maurício e Carlos.
Isto nos leva a escolha da combinação como método para resolução do problema.
Neste caso, há 120 formas diferentes de formar um trio entre dez opções de escolhas.
Exemplo 2
Um trio deve ser formado por um gerente, um supervisor e um operador. De quantos modos diferentes este trio pode ser formado se há 10 pessoas disponíveis para ocuparem estes cargos?
Resolução
Para resolver, devemos refletir sobre a importância do ordenamento. Como há posições específicas, o ordenamento importa e utilizamos arranjo.
Pela fórmula do arranjo, temos:
Para saber mais sobre combinações e outros temas de análise combinatória, veja:
- Análise Combinatória
- Exercícios de análise combinatória
- Princípio fundamental da contagem
- Permutação: o que é, fórmulas e exemplos
- Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos
- Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios
ASTH, Rafael. Combinação na matemática: como calcular e exemplos. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/combinacao/. Acesso em: