Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Os arranjos são sequências ordenadas de elementos que pertencem a um conjunto finito. Cada sequência possível é um arranjo, seja com todos os elementos do conjunto ou parte destes.

Para definir o que é arranjo, consideremos um conjunto X de n elementos e um número p menor ou igual a n, ( $reto p espaço menor ou igual a espaço reto n$ ). Assim:

Arranjos são as sequências ordenadas com p elementos que pertencem a um conjunto X de n elementos. Portanto, cada ordem com que os elementos estão dispostos, representam arranjos diferentes.

Por exemplo, uma sequência ordenada com os elementos A, B e C, é um arranjo diferente de C, B e A. São considerados p com 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, … até o número n de elementos do próprio conjunto.

Na matemática, os arranjos pertencem a uma área de estudo chamada análise combinatória, que se propõe a solucionar problemas de contagem de agrupamentos, formados por elementos de conjuntos finitos.

Existem diversos problemas e situações que envolvem contagem, assim como diversas técnicas para os solucionar, das quais uma, é o arranjo.

Sua utilidade em geral é determinar a quantidade de ordenações possíveis de serem formadas. Os arranjos podem ser de vários tipos: simples, com repetição e condicional.

Arranjos simples

Os arranjos simples são aqueles sem elementos repetidos no seu conjunto. Para calcular o número de arranjos formados por p elementos de um conjunto finito de n elementos distintos, utilizamos a seguinte fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto A com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo$

Onde,

An,p é o número de arranjos em um conjunto com n elementos tomados p a p;
n é o número total de elementos no conjunto;
p é o número de elementos ordenados.

Para entender a fórmula, é preciso conhecer este sinal que é um ponto de exclamação (!), chamado fatorial.

Fatorial

O fatorial de um número é uma operação matemática realizada por multiplicações sucessivas de valores inteiros decrescentes, que começam no próprio número, e terminam no 1.

Exemplos de fatorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120
0! = 1 (Por definição, fatorial de zero é 1)

Com o domínio da fórmula, vejamos alguns exemplos de arranjos simples.

Exemplo 1
De quantas maneiras diferentes 4 pessoas podem organizar uma fila?

Utilizando a fórmula:

Perceba que o problema pode ser solucionado sem fórmula, como uma permutação, utilizando o princípio fundamental da contagem.

4 possibilidades para a primeira posição;
3 possibilidades para a segunda posição;
2 possibilidades para a terceira posição;
1 possibilidade para a quarta posição;

4 x 3 x 2 x 1 = 24 ordenações

Exemplo 2
Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Utilizando a fórmula:

Arranjo de 9 elementos tomados 3 a 3.

$reto A com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração reto A com 9 vírgula 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 9 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 9 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 9 fatorial sobre denominador 6 fatorial fim da fração igual a numerador 9 espaço. espaço 8 espaço. espaço 7 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 6 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 6 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 9 espaço. espaço 8 espaço. espaço 7 espaço igual a 504$

Este problema pode ser solucionado utilizando o princípio fundamental da contagem.

9 opções para o primeiro dígito;
8 opções para o segundo dígito;
7 opções para o terceiro dígito.

9 . 8 . 7 = 504

Até aqui, calculamos a quantidade de agrupamentos de elementos de um conjunto com elementos distintos. No entanto, há diversas situações com elementos iguais, ou seja, que se repetem.

Arranjo com repetição

Nos arranjos com repetição, determinamos a quantidade de agrupamentos possíveis considerando que elementos se repetem.

Para realizar o cálculo, utilizamos a seguinte fórmula:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto A com reto n vírgula reto k subscrito fim do subscrito igual a reto n à potência de reto k fim do estilo$

Onde:

An,k é a quantidade de arranjos com repetição;
n é o número total de elementos;
k é o número de elementos que consideramos

Esta situação é muito comum, veja alguns exemplos:

Exemplo 1
Um cadeado de segredo onde é preciso determinar uma senha com 4 dígitos que podem ser algarismos de 0 a 9 permite quantos agrupamentos?

Utilizando a fórmula:

$reto A com reto n vírgula reto k subscrito fim do subscrito igual a reto n à potência de reto k reto A com 10 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a 10 à potência de 4 espaço fim do exponencial igual a espaço 10 espaço 000$

Perceba que este problema pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem.

10 . 10 . 10 . 10 = 10 000

Exemplo 2
Para participar de uma rede social, um usuário deveria cadastrar uma senha com 4 letras e 5 algarismos, onde é possível que as letras e os números se repitam. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

Como há elementos de natureza diferente (letras e números), calculamos a quantidade de arranjos com repetição para cada e, após, multiplicamos os resultados.

Quantidade de arranjos com repetição formados por 4 letras escolhidas em um alfabeto com 26 letras.

$reto A com reto n vírgula reto k subscrito fim do subscrito igual a reto n à potência de reto k reto A com 26 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a 26 à potência de 4 igual a 26 espaço. espaço 26 espaço. espaço 26 espaço. espaço 26 espaço igual a 456 espaço 976$

Quantidade de arranjos com repetição formados por 5 algarismos escolhidos entre 10.

$reto A com reto n vírgula reto k subscrito fim do subscrito igual a reto n à potência de reto k reto A com 10 vírgula 5 subscrito fim do subscrito igual a 10 à potência de 5 espaço igual a espaço 10 espaço. espaço 10 espaço. espaço 10 espaço. espaço 10 espaço. espaço 10 espaço igual a 100 espaço 000$

Multiplicando os valores, temos:

456 976 . 100 000 = 45 697 600 000

Diferenças entre arranjo, combinação e permutação

Além do arranjo, a análise combinatória também utiliza outros dois mecanismos para a contagem: a combinação e a permutação.

Os problemas que envolvem a contagem de agrupamentos possuem características diferentes que devem ser consideradas ao realizarmos os cálculos. É importante diferenciar estas características e escolher a técnica correta, ou mais eficiente, para aplicar.

O arranjo e a permutação estão bem próximos e, quase sempre, as duas técnicas podem ser utilizadas. Ambas possuem uma característica: a ordem dos elementos na sequência importa, ou seja, produzem agrupamentos diferentes.

Em geral, se tomamos todos os elementos do conjunto, dizemos realizar uma permutação. Em um conjunto com n elementos, uma permutação é calculada como:

$reto P com reto n subscrito igual a reto n fatorial$

Exemplo de permutação com n elementos.

De quantas maneiras diferentes 8 elementos podem ser dispostos?

Está é uma permutação com n = 8.

$reto P com reto n subscrito igual a reto n fatorial reto P com reto n subscrito igual a 8 fatorial espaço igual a espaço 8 espaço. espaço 7 espaço. espaço 6 espaço. espaço 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço 3 espaço. espaço 2 espaço. espaço 1 espaço igual a espaço 40 espaço 320$

Veja que este cálculo também pode ser realizado pela fórmula do arranjo simples, visto que os elementos não se repetem.

$reto A com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração reto A com 8 vírgula 8 subscrito fim do subscrito igual a numerador 8 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 8 menos 8 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 8 fatorial sobre denominador 0 fatorial fim da fração igual a numerador 40 espaço 320 sobre denominador 1 fim da fração igual a 40 espaço 320$

A diferença entre o arranjo ou permutação em relação à combinação é a ordenação dos elementos. Na combinação, a ordenação dos elementos não é relevante, não produz resultados diferentes.

Uma combinação acontece quando selecionamos elementos de um conjunto formando um conjunto menor ou igual. Neste subconjunto, ordenações diferentes não produzem combinações diferentes. Por exemplo, em uma combinação, um subconjunto {A, B} é o mesmo que {B, A}.

A fórmula para calcular uma combinação é:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto C com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador reto p fatorial parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração fim do estilo$

Repare que diferente do arranjo, a combinação possui um fator k! no denominador, assim, para um mesmo n e k, o resultado da combinação é menor, pois estaremos dividindo por um número maior.

Vamos resolver um problema como um arranjo e uma combinação.

1ª situação: arranjo

Determinar de quantas formas possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, em que a ordem é importante.

Resolução

$reto A com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração reto A com 5 vírgula 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 5 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 5 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 2 fatorial fim da fração igual a numerador 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço 3 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço 3 espaço igual a espaço 60$

2ª situação: combinação

Determinar de quantos modos possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, não importando a ordem.

Resolução
Não importar a ordem significa que elementos iguais, mesmo em ordenações diferentes, formam o mesmo resultado e devem ser contadas apenas uma vez.

$reto C com reto n vírgula reto p subscrito fim do subscrito igual a numerador reto n fatorial sobre denominador reto p fatorial parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração reto C com 5 vírgula 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 3 fatorial parêntese esquerdo 5 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado espaço 2 fatorial fim da fração igual a 20 sobre 2 igual a 10$

Em geral, é a situação-problema que define quando utilizar arranjo ou combinação, por isso, nos exercícios é preciso focar na interpretação e compreender se a ordenação dos elementos produz resultados diferentes.

Ao contar de quantas maneiras podemos formar um pódio com 1º, 2º e 3 lugares, a ordenação é importante e utilizamos arranjo.

Caso estejamos contando de quantos modos podemos montar uma salada de fruta com quatro tipos diferentes entre dez opções de frutas, a ordem no qual as frutas estão no pote de salada não é relevante e utilizamos combinação.

Aprenda mais sobre:

Aproveite para praticar exercícios de análise combinatória.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.