Probabilidade

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios. Através dela, é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer.

Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo.

Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança à ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Assim, a probabilidade é a medida da chance de algo acontecer.

O cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.

Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima.

O cálculo da probabilidade é uma divisão entre a quantidade de casos favoráveis à ocorrência do evento e o total de casos possíveis.

No exemplo do dado, se queremos conhecer a probabilidade da face 2 estar voltada para cima, este é o único caso favorável. O número total de casos possíveis é seis, por ser a quantidade de faces no dado.

A probabilidade de sair a face 2 é:

1 / 6 = 0,16666 …

Em porcentagem, são aproximadamente 16,6%.

Para facilitar o cálculo da probabilidade, podemos recorrer a uma fórmula que nos auxilia a organizar as informações.

Fórmula da Probabilidade

Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.

Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:

$começar estilo tamanho matemático 18px reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração igual a numerador número espaço de espaço casos espaço favoráveis sobre denominador número espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração fim do estilo$

Sendo:

P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.

O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.

Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.

Exemplo 1
Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?

Resolução
Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.

Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:

$reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 2 sobre 6 igual a 1 terço reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito aproximadamente igual 0 vírgula 33$

Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.

$reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito aproximadamente igual 0 vírgula 33 sinal de multiplicação 100 aproximadamente igual 33 sinal de percentagem$

Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.

Exemplo 2
O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?

Solução
Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é um experimento aleatório.

Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis.

Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos:

$reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 13 sobre 52 reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 0 vírgula 25$

Ou, multiplicando o resultado por 100:

$reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 0 vírgula 25 sinal de multiplicação 100 igual a 25 sinal de percentagem$

Espaço Amostral

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.

Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho.

Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto entre parênteses. Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω)=6.

O espaço amostral é composto de cada resultado possível. Ao lançar uma moeda o espaço amostral será:

Ω = {cara, coroa}

Sua cardinalidade, o número de elementos, é igual a 2.

n(Ω) = e

Em muitas situações é importante descrever os elementos do espaço amostral, como nos exemplos da moeda e do dado. Cada um destes resultados é um ponto amostral do conjunto universo.

Se cada um dos pontos amostrais, ou, resultados possíveis, possuírem a mesma probabilidade de ocorrer, dizemos que este espaço amostral é equiprovável.

Como exemplo, tomemos uma urna com 4 esferas de mesmo tamanho e de cores: amarela, azul, preta e branca. Ao sortear uma ao acaso, qual a probabilidade de sortear a bola de uma cor qualquer?

Sendo um experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas, sendo o espaço amostral equiprovável.

Uma vez definidos o que é experimento aleatório e espaço amostral, para calcular uma probabilidade, é preciso fazer uma pergunta. Esta pergunta define o conceito de evento

Eventos na probabilidade

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Voltemos ao exemplo do lançamento de um dado de seis faces. Podemos definir o seguinte evento:

Qual a probabilidade de sair um número par?

O conjunto evento seria: A={2,4,6} de cardinalidade n(A)=3

Para um mesmo experimento podemos definir muitos eventos e calcular a probabilidade que ocorram. Há alguns tipos especiais de eventos.

Evento certo

O conjunto do evento é igual ao espaço amostral, ou seja, possuem os mesmos elementos.

Exemplo
Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher. Como a probabilidade é de 100%, o evento é certo.

Evento impossível

O conjunto do evento é vazio.

Exemplo
Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.

O evento "tirar um número maior que 30" é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.

Evento complementar

Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.

Exemplo
No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.

Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral.

Evento mutuamente exclusivo

Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia.

Exemplo
Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos

A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4}
B: ocorrer um número maior que 5, A={6}

Leia também:

Vídeo sobre Probabilidade

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Exercícios de probabilidade resolvidos

Exercício 1

(PUC/RJ - 2013) Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é

a) 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0

Ver Resposta

Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar.

Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero.

Alternativa: e) 0

Exercício 2

(UPE - 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é

$a parêntese direito espaço 1 quinto b parêntese direito espaço 1 sobre 15 c parêntese direito espaço 1 sobre 45 d parêntese direito espaço 3 sobre 10 e parêntese direito espaço 3 sobre 7$

Ver Resposta

Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja:

$C com 10 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 10 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço 8 fatorial fim da fração igual a numerador 10.9. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado sobre denominador 2.1. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 90 sobre 2 igual a 45$

Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas.

Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação:

$C com 3 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 3 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 3 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 3. riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado espaço 1 fim da fração igual a 3$

Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile.

Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula:

$p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 3 sobre 45 igual a 1 sobre 15$

Alternativa: b) $1 sobre 15$

Mais exercícios sobre probabilidade:

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.

A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:

$reto P parêntese esquerdo reto A espaço em moldura direita fecha moldura espaço reto B parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A intersecção reto B parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto B parêntese direito fim da fração espaço ou espaço numerador reto P parêntese esquerdo reto A intersecção reto B parêntese direito sobre denominador reto P parêntese esquerdo reto B parêntese direito fim da fração$

Onde o evento B não pode ser vazio.

Exemplo de caso de probabilidade condicional
Em um encontro de colaboradores de uma empresa que atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.

Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja francesa (evento B).

Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).

Saiba mais sobre probabilidade condicional.

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.