Probabilidade

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Atualizado em

A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer.

Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a medida da chance de algo acontecer.

Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.

Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.

Experimento Aleatório

Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo.

Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso.

Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima.

Fórmula da Probabilidade

Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.

Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:

começar estilo tamanho matemático 18px reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração igual a numerador número espaço de espaço casos espaço favoráveis sobre denominador números espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração fim do estilo

Sendo:

P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.

O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.

Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.

Exemplo 1
Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?

Resolução
Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.

Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:

reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 2 sobre 6 igual a 1 terço reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito aproximadamente igual 0 vírgula 33

Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.

reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito aproximadamente igual 0 vírgula 33 sinal de multiplicação 100 aproximadamente igual 33 sinal de percentagem

Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.

Exemplo 2
O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?

Solução
Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é um experimento aleatório.

Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis.

Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos:

reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 13 sobre 52 reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 0 vírgula 25

Ou, multiplicando o resultado por 100:

reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 0 vírgula 25 sinal de multiplicação 100 igual a 25 sinal de percentagem

Ponto Amostral

Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.

Exemplo
Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.

Espaço Amostral

Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, ou , resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.

Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho.

Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.

A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto entre parênteses.

Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω)=6.

Espaço Amostral Equiprovável

Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral possui a mesma probabilidade de ocorrência.

Exemplo
Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?

Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.

Tipos de Eventos

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Evento certo

O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.

Exemplo
Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.

Evento impossível

O conjunto do evento é vazio.

Exemplo
Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.

O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.

Evento complementar

Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.

Exemplo
No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.

Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral.

Evento mutuamente exclusivo

Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia.

Exemplo
Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos

A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4}
B: ocorrer um número maior que 5, A={6}

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.

A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:

reto P parêntese esquerdo reto A espaço em moldura direita fecha moldura espaço reto B parêntese direito igual a numerador reto n parêntese esquerdo reto A intersecção reto B parêntese direito sobre denominador reto n parêntese esquerdo reto B parêntese direito fim da fração espaço ou espaço numerador reto P parêntese esquerdo reto A intersecção reto B parêntese direito sobre denominador reto P parêntese esquerdo reto B parêntese direito fim da fração

Onde o evento B não pode ser vazio.

Exemplo de caso de probabilidade condicional
Em um encontro de colaboradores de uma empresa que atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.

Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja francesa (evento B).

Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).

Saiba mais sobre probabilidade condicional.

Análise Combinatória

Em muitas situações, é possível descobrir de forma direta o número de eventos possíveis e favoráveis de um experimento aleatório.

Entretanto, em alguns problemas, será necessário calcular esses valores. Neste caso, podemos utilizar as fórmulas de permutação, arranjo e combinação conforme a situação proposta na questão.

Para saber mais sobre o tema, acesse:

Exemplo
(EsPCEx - 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é

a parêntese direito 1 quinto b parêntese direito 2 sobre 5 c parêntese direito espaço 3 sobre 4 d parêntese direito 1 quarto e parêntese direito 1 meio

Solução
Neste caso, precisamos descobrir o número de eventos possíveis, ou seja, quantos números diferentes obtemos ao mudar a ordem dos 5 algarismos dados (n=5).

Como, neste caso, a ordem dos algarismos formam números diferentes, iremos usar a fórmula de permutação. Sendo assim, temos:

Eventos possíveis: P com 5 subscrito igual a n fatorial espaço igual a 5 fatorial igual a 5.4.3.2.1 igual a 120

Portanto, com 5 algarismos podemos encontrar 120 números diferentes.

Para calcular a probabilidade, temos ainda que encontrar o número de eventos favoráveis que, neste caso, é encontrar um número divisível por 2, o que irá acontecer quando o último algarismo do número for 2 ou 4.

Considerando que para a última posição temos apenas essas duas possibilidades, então teremos que permutar as outras 4 posições que formam o número, assim:

Eventos favoráveis: 2. P com 4 subscrito espaço igual a espaço 2. espaço 4 fatorial espaço igual a espaço 2.4.3.2.1 igual a 48

A probabilidade será encontrada fazendo:

reto P parêntese esquerdo reto A parêntese direito igual a 48 sobre 120 igual a 2 sobre 5

Leia também:

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

(PUC/RJ - 2013) Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é

a) 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0

Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar.

Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero.

Alternativa: e) 0

Exercício 2

(UPE - 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é

a parêntese direito espaço 1 quinto b parêntese direito espaço 1 sobre 15 c parêntese direito espaço 1 sobre 45 d parêntese direito espaço 3 sobre 10 e parêntese direito espaço 3 sobre 7

Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja:

C com 10 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 10 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço 8 fatorial fim da fração igual a numerador 10.9. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado sobre denominador 2.1. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 90 sobre 2 igual a 45

Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas.

Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação:

C com 3 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 3 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 3 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 3. riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado espaço 1 fim da fração igual a 3

Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile.

Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula:

p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 3 sobre 45 igual a 1 sobre 15

Alternativa: b) 1 sobre 15

Mais exercícios sobre probabilidade:

Rafael Asth
Rafael Asth
Se graduou em Engenharia Mecânica pela Universidade Estadual do Rio de Janeiro e Licenciatura em Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. É pós-graduado em Ensino da Matemática e Física pela Universidade Cândido Mendes.