Probabilidade

Rosimar Gouveia

A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer.

Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente.

Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.

Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos todos meninos.

probabilidade

Experimento Aleatório

Um experimento aleatório é aquele que não é possível prever qual resultado será encontrado antes de realizá-lo.

Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso.

Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima.

Fórmula da Probabilidade

Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.

Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:

bold italic p negrito parêntese esquerdo bold italic A negrito parêntese direito negrito igual a numerador negrito n negrito parêntese esquerdo negrito A negrito parêntese direito sobre denominador negrito n negrito parêntese esquerdo negrito ómega maiúsculo negrito parêntese direito fim da fração

Sendo:

p(A): probabilidade da ocorrência de um evento A
n(A): número de casos que nos interessam (evento A)
n(Ω): número total de casos possíveis

Exemplos

1) Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?

dados

Solução

Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.

Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou o número 2. Assim, temos:

p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração P igual a 2 sobre 6 igual a 1 terço P aproximadamente igual 0 vírgula 33 aproximadamente igual 33 sinal de percentagem

2) O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 cartas de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?

Cartas de baralho

Solução

Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é um experimento aleatório.

Neste caso, o número de cartas corresponde ao número de casos possíveis e temos 13 cartas de paus que representam o número de eventos favoráveis.

Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos:

p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 13 sobre 52 p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 0 vírgula 25 igual a 25 sinal de percentagem

Espaço Amostral

Representado pela letra Ω, o espaço amostral corresponde ao conjunto de resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.

Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho.

Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.

Tipos de Eventos

O evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Quando um evento é exatamente igual ao espaço amostral ele, é chamado de evento certo. Ao contrário, quando o evento é vazio, ele é chamado de evento impossível.

Exemplo

Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.

O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.

Análise Combinatória

Em muitas situações, é possível descobrir de forma direta o número de eventos possíveis e favoráveis de um experimento aleatório.

Entretanto, em alguns problemas, será necessário calcular esses valores. Neste caso, podemos utilizar as fórmulas de permutação, arranjo e combinação de acordo com a situação proposta na questão.

Para saber mais sobre o tema, acesse:

Exemplo

(EsPCEx - 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é

a parêntese direito 1 quinto b parêntese direito 2 sobre 5 c parêntese direito espaço 3 sobre 4 d parêntese direito 1 quarto e parêntese direito 1 meio

Solução

Neste caso, precisamos descobrir o número de eventos possíveis, ou seja, quantos números diferentes obtemos ao mudar a ordem dos 5 algarismos dados (n=5).

Como, neste caso, a ordem dos algarismos formam números diferentes, iremos usar a fórmula de permutação. Sendo assim, temos:

Eventos possíveis: P com 5 subscrito igual a n fatorial espaço igual a 5 fatorial igual a 5.4.3.2.1 igual a 120

Portanto, com 5 algarismos podemos encontrar 120 números diferentes.

Para calcular a probabilidade, temos ainda que encontrar o número de eventos favoráveis que, neste caso, é encontrar um número divisível por 2, o que irá acontecer quando o último algarismo do número for 2 ou 4.

Considerando que para a última posição temos apenas essas duas possibilidades, então teremos que permutar as outras 4 posições que formam o número, assim:

Eventos favoráveis: 2. P com 4 subscrito espaço igual a espaço 2. espaço 4 fatorial espaço igual a espaço 2.4.3.2.1 igual a 48

A probabilidade será encontrada fazendo-se:

p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 48 sobre 120 igual a 2 sobre 5

Leia também:

Exercício Resolvido

1) PUC/RJ - 2013

Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é

a) 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0

Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar.

Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero.

Alternativa: e) 0

2) UPE - 2013

Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é

a parêntese direito espaço 1 quinto b parêntese direito espaço 1 sobre 15 c parêntese direito espaço 1 sobre 45 d parêntese direito espaço 3 sobre 10 e parêntese direito espaço 3 sobre 7

Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja:

C com 10 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 10 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço 8 fatorial fim da fração igual a numerador 10.9. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado sobre denominador 2.1. riscado diagonal para cima sobre 8 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 90 sobre 2 igual a 45

Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas.

Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação:

C com 3 vírgula 2 subscrito fim do subscrito igual a numerador 3 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço parêntese esquerdo 3 menos 2 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 3. riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado espaço 1 fim da fração igual a 3

Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile.

Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula:

p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador n parêntese esquerdo A parêntese direito sobre denominador n parêntese esquerdo ómega maiúsculo parêntese direito fim da fração p parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 3 sobre 45 igual a 1 sobre 15

Alternativa: b) 1 sobre 15

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Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.