Exercícios de Matemática 8º ano

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com os exercícios de matemática para o 8º ano resolvidos. Uma lista com exercícios de todos os conteúdos de matemática que você estuda no colégio, com respostas e explicados passo a passo.

Os exercícios de matemática são alinhados à BNCC, todos com o código das habilidades para que os professores possam utilizar em suas aulas e planejamentos.

Exercício 1 (Potência e notação científica)

Habilidade BNCC EF08MA01

A astronomia estuda distâncias tão grandes que uma unidade de comprimento bem especial é utilizada: o ano-luz. Um ano-luz é a distância percorrida pela luz durante um ano e, no vácuo, corresponde, aproximadamente, a 9 vírgula 46 espaço. espaço 10 à potência de 12 k m.

A estrela Epsilon Crucis faz parte da constelação do Cruzeiro do Sul e está a 5 vírgula 49 espaço. espaço 10 à potência de 14 k m da Terra. A distância em anos-luz, entre esta estrela e a Terra é de, aproximadamente

58 anos-luz.

5 vírgula 8 sinal de multiplicação 10 à potência de 27 anos-luz.

0 vírgula 058 anos-luz.

580 anos-luz.

Gabarito explicado

Para descobrir quantos anos-luz cabem na distância entre a Terra e a Epsilon Crucis, dividimos o comprimento maior pelo menor.

D igual a numerador 5 vírgula 49 espaço. espaço 10 à potência de 14 sobre denominador 9 vírgula 46 espaço. espaço 10 à potência de 12 fim da fração

Para realizar a divisão, dividimos os decimais do numerador e denominador e, para dividir as potências, como possuem a mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

D igual a 5 vírgula 49 espaço dividido por espaço 9 vírgula 46 espaço. espaço 10 à potência de 14 menos 12 fim do exponencialD aproximadamente igual 0 vírgula 58 espaço. espaço 10 ao quadradoD aproximadamente igual 0 vírgula 58 espaço. espaço 10 à potência de 14 menos 12 fim do exponencialD aproximadamente igual 0 vírgula 58 espaço. espaço 10 ao quadrado

Para escrever em notação científica, deixamos um algarismo apenas antes da vírgula, diferente de zero.

Ao aumentar o número, deslocando a vírgula para a direita, deve-se reduzir o expoente em uma unidade.

D igual a 5 vírgula 8 espaço. espaço 10 à potência de 1

O que equivale a 5,8 . 10 = 58.

A distância entre a Terra e a Epsilon Crucis, é de cerca de 58 anos-luz.

Veja notação científica e exercícios de notação científica.

Exercício 2 (Raiz e potência de expoente fracionário)

Habilidade BNCC EF08MA02

As seguintes potências com expoentes fracionários podem ser representadas na forma de raízes.

8 à potência de tipográfico 1 terço fim do exponencial e 4 à potência de tipográfico 3 sobre 2 fim do exponencial

Suas soluções são, respectivamente

2 e 5.

2 e 8.

4 e 6.

2 e 6.

Gabarito explicado

Para transformar uma potência com expoente fracionário em uma raiz, o denominador se transforma no índice da raiz e o numerador o expoente do radicando.

8 à potência de tipográfico 1 terço fim do exponencial igual a cúbica raiz de 8 à potência de 1 fim da raiz igual a cúbica raiz de 8 igual a espaço 28 à potência de tipográfico 1 terço fim do exponencial igual a cúbica raiz de 8 à potência de 1 fim da raiz igual a cúbica raiz de 8 igual a 2e4 à potência de tipográfico 3 sobre 2 fim do exponencial igual a quadrada raiz de 4 ao cubo fim da raiz igual a raiz quadrada de 64 igual a 8

4 à potência de tipográfico 3 sobre 2 fim do exponencial igual a quadrada raiz de 4 ao cubo fim da raiz igual a raiz quadrada de 64 igual a 8

Veja potenciação e radiciação.

Exercício 3 (Princípio multiplicativo da contagem)

Habilidade BNCC EF08MA03

Uma rede social está aumentando muito rápido o número de usuários e, recentemente, resolveu melhorar a segurança, protegendo os perfis de seus usuários. Até então, para criar uma conta era necessária uma senha com seis dígitos, utilizando os algarismos de 0 a 9 sem repetição. Agora, é preciso cadastrar no lugar do primeiro dígito, uma letra do alfabeto, incluindo y, w e k. A única restrição é que esta letra deve ser o primeiro dígito da senha.

A diferença entre o número de senhas possíveis antes da inovação de segurança e depois, é de

937 440.

21 600 000.

635 040.

21.

Gabarito explicado

Número de senhas antes da mudança.

Para escolha do primeiro dígito há 10 possibilidades, os algarismos de 0 a 9.

Para a escolha do segundo dígito há 9 possibilidades, pois um já foi escolhido para ocupar a primeira posição, e não pode ser repetido.

Seguindo este raciocínio até o sexto dígito e multiplicando as possibilidades para cada escolha, temos:

10 espaço. espaço 9 espaço. espaço 8 espaço. espaço 7 espaço. espaço 6 espaço. espaço 5 espaço igual a espaço 151 espaço 20010 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 151 200 senhas possíveis.10 espaço. espaço 9 espaço. espaço 8 espaço. espaço 7 espaço. espaço 6 espaço. espaço 5 espaço igual a espaço 151 espaço 200

Número de senhas após a mudança.

Para escolha do primeiro dígito há 26 possibilidades, as letras.

Para escolha do segundo dígito há 10 possibilidades, um algarismo entre 0 e 9.

Para escolha do terceiro dígito há 9 possibilidades, pois um já foi escolhido.

Seguindo o raciocínio até ocupar o sexto dígito, temos:

26 espaço. espaço 10 espaço. espaço 9 espaço. espaço 8 espaço. espaço 7 espaço. espaço 6 espaço igual a espaço 786 espaço 24026 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 786 240 senhas possíveis.

Diferença

786 240 - 151 200 = 635 040

Veja princípio fundamental da contagem.

Exercício 4 (Porcentagem)

Habilidade BNCC EF08MA04

Em uma loja um aparelho de som que custava R$ 800,00 teve um desconto de 17% para pagamento à vista. O cliente que decidir comprar o equipamento nestas condições pagará

R$136,00.

R$783,00.

R$690,00.

R$664,00.

Gabarito explicado

Há dois modos de realizar o cálculo.

1º modo: calcular o desconto e subtrair do total.

17 sinal de percentagem espaço d e espaço 800 igual a17 sobre 100 d e espaço 800 igual anumerador 17 espaço sinal de multiplicação espaço 800 sobre denominador 100 fim da fração igual a13617 sinal de percentagem espaço de espaço 800 igual a17 sobre 100 espaço sinal de multiplicação espaço 800 igual anumerador 17 espaço sinal de multiplicação espaço 800 sobre denominador 100 fim da fração igual anumerador 13 espaço 600 sobre denominador 100 fim da fração igual a136

Descontando do valor total:

800 - 136 = 664

2º modo: multiplicar pelo decimal que representa a sobra percentual, depois do desconto.

Como o desconto é de 17% e o preço inicial representa 100%, temos:

100% - 17% = 83%

83% em decimal é 0,83.

Multiplicando pelo valor total:

800 espaço sinal de multiplicação espaço 0 vírgula 83 espaço igual a espaço 6640,83 x 800 = 664

Assim, um cliente que decidir pagar à vista, pagará a quantia de R$664,00.

Veja mais sobre:

Exercício 5 (Dízima periódica e fração geratriz)

Habilidade BNCC EF08MA05

Alguns números possuem infinitas casas decimais que se repetem, são as dízimas periódicas. Uma dízima periódica pode ser gerada por uma divisão entre números inteiros. Em outras palavras, uma dízima pode ser representada na forma de sua fração geratriz.

Diante disto, o resultado da multiplicação entre 1,3333... e 1,1666..., na forma de sua fração geratriz irredutível é

9/4.

4/3.

14/9.

28/18.

Gabarito explicado

Para 1,3333...

Usando o método da equação, o objetivo é deixar apenas a dízima após a vírgula, utilizando multiplicações.

x igual a 1 vírgula 3333 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito10 x igual a 13 vírgula 3333 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direitox igual a 1 vírgula 3333... espaço e q u a ç ã o espaço I10 x igual a 13 vírgula 3333... espaço e q u a ç ã o espaço I Ix igual a 1 vírgula 3333... espaço e q u a ç ã o espaço I10 x espaço igual a espaço 13 vírgula 333... espaço e q u a ç ã o espaço I I

Subtraindo a equação I da II:

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 10 x igual a 13 vírgula 3333 end row row menos x igual a nada 1 vírgula 3333 end row horizontal line row 9 x igual a 12 nada nada nada nada nada end row end stackError converting from MathML to accessible text.stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 10 x igual a 13 vírgula 3333 end row row menos x igual a nada 1 vírgula 3333 end row horizontal line row nada 9 x igual a 12 nada nada nada nada nada end row end stack

Isolando o x

x igual a 12 sobre 9x igual a 12 sobre 9x igual a 12 sobre 9

Simplificando

x igual a 4 sobre 3x igual a 4 sobre 3

Para 1,1666...

x igual a 1 vírgula 16666... espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito10 x igual a 11 vírgula 6666... espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito100 x igual a 116 vírgula 6666... espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I I parêntese direitox igual a 1 vírgula 1666 espaço e q u a ç ã o espaço I10 x igual a 11 vírgula 666 espaço e q u a ç ã o espaço I I

Precisamos de mais uma equação em que reste apenas a dízima após a vírgula, para isso, multiplicamos a equação I por 100.

100 x igual a 116 vírgula 666 espaço e q u a ç ã o espaço I I I

Subtraindo a equação II da III

stack attributes charalign center stackalign right end attributes row 100 x igual a 116 vírgula 6666 end row row menos 10 x igual a nada 11 vírgula 6666 end row horizontal line row 90 x igual a 105 nada nada nada nada nada end row end stackstack attributes charalign center stackalign right end attributes row 100 x igual a 116 vírgula 666 end row row mais 10 x igual a nada 11 vírgula 666 end row horizontal line row 90 x igual a 105 nada nada nada nada end row end stack

Isolando o x

x igual a 105 sobre 90x igual a 105 sobre 90

Simplificando por 5 e depois por 3:

x igual a 21 sobre 18 igual a 7 sobre 6x igual a 105 sobre 90 igual a 21 sobre 18 igual a 7 sobre 6

Multiplicando os resultados.

4 sobre 3 sinal de multiplicação 7 sobre 6 igual a 28 sobre 184 sobre 3 sinal de multiplicação 7 sobre 6 igual a 28 sobre 18

Escrevendo na forma irredutível.

28 sobre 18 igual a 14 sobre 9

28 sobre 18 igual a 14 sobre 9

Veja sobre:

Exercício 6 (Valor numérico de expressões algébricas)

Habilidade BNCC EF08MA06

Uma expressão algébrica é uma sequência de operações que envolvem letras e números. Uma vez que, a cada incógnita (letra) um valor numérico é associado, é possível descobrir o valor numérico da expressão.

A expressão algébrica menos 3 a espaço mais espaço 4 b ao quadrado mais espaço numerador 6 a b sobre denominador 2 b ao quadrado fim da fração menos 5 a ao cubo , com a = 2 e b = 3, possui valor numérico igual a

8.

12.

-8.

72.

Gabarito explicado

1º passo: substituir as letras pelos seus valores numéricos.

menos 3.2 espaço mais espaço 4.3 ao quadrado mais espaço numerador 6.2.3 sobre denominador 2.3 ao quadrado fim da fração menos 5.2 ao cubomenos 3 a espaço mais espaço 4 b ao quadrado mais espaço numerador 6 a b sobre denominador 2 b ao quadrado fim da fração menos 5 a ao cubo igual amenos 3.2 espaço mais espaço 4.3 ao quadrado mais numerador 6.2.3 sobre denominador 2.3 ao quadrado fim da fração menos 5.2 ao cubo igual a

2º passo: resolver as potências.

menos 3.2 espaço mais espaço 4.9 mais espaço numerador 6.2.3 sobre denominador 2.9 fim da fração menos 5.8menos 3.2 espaço mais espaço 4.3 ao quadrado mais numerador 6.2.3 sobre denominador 2.3 ao quadrado fim da fração menos 5.2 ao cubo igual amenos 3.2 espaço mais espaço 4.9 espaço mais espaço numerador 6.2.3 sobre denominador 2.9 fim da fração menos 5.8 igual a

3º passo: resolver as multiplicações e divisões.

menos 6 espaço mais espaço 36 mais espaço 36 sobre 18 menos 40 igual amenos 6 espaço mais espaço 36 mais espaço 2 menos 40 igual amenos 3.2 espaço mais espaço 4.9 espaço mais espaço numerador 6.2.3 sobre denominador 2.9 fim da fração menos 5.8 igual amenos 6 espaço mais espaço 36 espaço mais espaço 36 sobre 18 menos 40 igual amenos 6 espaço mais espaço 36 espaço mais espaço 2 menos 40 igual a

4º passo: resolver adições e subtrações.

menos 6 espaço mais espaço 36 mais espaço 2 menos 40 igual a30 espaço mais espaço 2 menos 40 igual a32 menos 40 igual amenos 8menos 6 espaço mais espaço 36 espaço mais espaço 2 menos 40 igual a30 mais 2 menos 40 igual a32 menos 40 igual amenos 8

O valor numérico associado a expressão é -8.

Exercício 7 (Equação linear de 1º grau e sua representação no plano cartesiano)

Habilidade BNCC EF08MA07

A representação no plano cartesiano da equação 3x + 2y = 8 é

Imagem associada a questão..

Imagem associada a questão..

Imagem associada a questão..

Imagem associada a questão..

Gabarito explicado

Para representar a equação no plano cartesiano, devemos obter pelo menos dois pares ordenados.

Sabemos que a equação é linear, pois os expoentes das incógnitas são iguais a 1. Lembre-se que o expoente igual a 1 pode ficar omitido.

Arbitrando valores para x, encontramos valores respectivos para o y.

x3x + 2y = 8y
03.0 espaço mais espaço 2 y espaço igual a espaço 82 y igual a 8y igual a 8 sobre 2 igual a 44
23.2 espaço mais espaço 2 y espaço igual a espaço 86 espaço mais espaço 2 y espaço igual a espaço 82 y espaço igual a espaço 8 espaço menos espaço 62 y espaço igual a espaço 2y igual a 2 sobre 2 igual a 11

Escolhendo os valores 0 e 2 para x, obtemos os respectivos valores 4 e 1 para y. Os pares ordenados encontrados são (0, 4) e (2, 1).

Localizando estes pontos no plano e traçando uma reta entre eles, temos:

Imagem associada a resolução da questão.

Veja também:

Exercício 8 (Sistema de equações polinomiais de 1º grau)

Habilidade BNCC EF08MA08

Maurício comprou 4 blusas e 2 calças gastando 220 reais. Seu irmão Joaquim gostou dos preços e comprou 3 blusas e 4 calças, gastando 290 reais. No dia seguinte, ao chegar à escola seus amigos lhes perguntaram quanto pagaram por cada blusa e cada calça. Os valores unitários das blusas e das calças são, respectivamente

R$35,00 e R$50,00.

R$40,00 e R$30,00.

R$30,00 e R$50,00.

R$25,00 e R$35,00.

Gabarito explicado

Equação da compra de Maurício.

4 blusas + 2 calças = 220

4b + 2c = 220

Equação da compra de Joaquim.

3 blusas e 4 calças = 290

3b + 4c = 290

Como temos duas equações e duas incógnitas (preço da blusa e da calça) montamos um sistema.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 4 b mais 2 c igual a 220 espaço e q u a ç ã o espaço I fim da célula linha com célula com 3 b mais 4 c igual a 290 espaço e q u a ç ã o espaço I I fim da célula fim da tabela fechaabre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 4 b espaço mais espaço 2 c espaço igual a espaço 220 espaço e q u a ç ã o espaço I fim da célula linha com célula com 3 b espaço mais espaço 4 c espaço igual a espaço 290 espaço e q u a ç ã o espaço I I fim da célula fim da tabela fecha

Para resolver o sistema existem alguns métodos, um deles o da adição.

Para isto, multiplicamos a equação I por -2.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com negrito menos negrito 2 negrito.4 b mais negrito menos negrito 2 negrito.2 c igual a negrito menos negrito 2 negrito.220 espaço e q u a ç ã o espaço I fim da célula linha com célula com 3 b mais 4 c igual a 290 espaço e q u a ç ã o espaço I I fim da célula fim da tabela fechaabre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 8 b menos 4 c igual a menos 440 espaço e q u a ç ã o espaço I fim da célula linha com célula com 3 b mais 4 c igual a 290 espaço e q u a ç ã o espaço I I fim da célula fim da tabela fechaabre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com parêntese esquerdo 4 b espaço mais espaço 2 c espaço igual a espaço 220 parêntese direito espaço espaço espaço x parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço menos 8 b espaço menos espaço 4 c espaço igual a espaço menos 440 fim da célula linha com célula com 3 b espaço mais espaço 4 c espaço igual a espaço 290 fim da célula fim da tabela fecha

O segundo passo é somar as equações I e II.

começar estilo tamanho matemático 16px negrito mais abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos 8 b menos 4 c igual a menos 440 espaço e q u a ç ã o espaço I fim da célula linha com célula com 3 b mais 4 c igual a 290 espaço e q u a ç ã o espaço I I fim da célula fim da tabela fechastack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 8 b menos 4 c igual a menos 440 end row row mais 3 b mais 4 c igual a nada 290 end row horizontal line row menos 5 b mais 0 c igual a menos 150 end row end stackfim do estilostack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 8 b nada menos nada 4 c nada igual a menos 440 end row row 3 b nada mais nada 4 c nada igual a nada 290 end row horizontal line row menos 5 b nada mais nada 0 c nada igual a menos 150 end row end stack

Assim, o resultado da soma é:

menos 5 b igual a menos 150-5b = -150

Isolando b, temos:

b igual a numerador menos 150 sobre denominador menos 5 fim da fração igual a 30b igual a numerador menos 150 sobre denominador menos 5 fim da fração igual a 30

Uma vez que temos o valor de b, o substituímos em outra equação, como a equação II.

3 b mais 4 c igual a 2903.30 mais 4 c igual a 29090 mais 4 c igual a 2904 c igual a 290 menos 904 c igual a 200c igual a 200 sobre 4 igual a 503 b espaço mais espaço 4 c espaço igual a espaço 2903.30 espaço mais espaço 4 c espaço igual a espaço 29090 espaço mais espaço 4 c espaço igual a espaço 2904 c espaço igual a espaço 290 espaço menos espaço 904 c espaço igual a 200c igual a 200 sobre 4 igual a 50

Desta forma, o preço de cada blusa é de R$30,00 e, cada calça R$50,00.

abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 4 b mais 2 c igual a 220 fim da célula linha com célula com 3 b mais 4 c igual a 290 fim da célula fim da tabela fecha

Veja Sistemas de Equações do 1º Grau - Exercícios.

Exercício 9 (Equação polinomial de 2º grau)

Habilidade BNCC EF08MA09

No projeto de uma casa, um mosaico será construído no chão de uma sala com peças de cerâmicas quadrangulares de medida lateral igual a x cm. Se a área ocupada por este mosaico é de 0,36 m² e serão utilizadas 9 peças, a medida x de cada peça de revestimento, em centímetros, é igual a

60 cm.

40 cm.

36 cm.

20 cm.

Gabarito explicado

Como as peças são quadradas a área de cada uma é igual a x . x = x².

Sendo 9 peças temos 9x² de área total, iguais a 0,36 m².

Transformando para centímetros quadrados, temos 3600 cm². Assim,

9 x ao quadrado igual a 36009 x ao quadrado igual a 3600x ao quadrado igual a 3600 sobre 9x ao quadrado igual a 400x igual a raiz quadrada de 400x igual a 209 x ao quadrado igual a 3600x ao quadrado igual a 3600 sobre 9x ao quadrado igual a 3600 sobre 9x ao quadrado igual a 400x igual a raiz quadrada de 400x igual a 20 espaço o u espaço x igual a menos 20

Assim, cada peça possui 20 cm de lateral.

Exercício 10 (Sequência não recursiva)

Habilidade BNCC EF08MA10

Uma sequência é não recursiva quando seus elementos não dependem do valor do termo anterior, mas sim de sua posição na sequência. Considere n como a posição de um termo qualquer na sequência.

Exemplo: a com 1 subscrito é o primeiro termo, a com 2 subscrito é o segundo, a com 3 subscrito é o terceiro e a com n subscrito é um termo genérico qualquer.

Em uma sequência formada por a com n subscrito igual a 3 n ao quadrado espaço mais espaço 1, os termos 7, 8 e 9 são, respectivamente:

148, 193 e 244.

43, 49 e 55.

115, 201e 256.

22, 25 e 28.

Gabarito explicado

Para a7

a com 7 subscrito igual a 3.7 ao quadrado mais 1a com 7 subscrito igual a 3.49 mais 1a com 7 subscrito igual a 147 mais 1a com 7 subscrito igual a 148

Para a8

a com 8 subscrito igual a 3 n ao quadrado mais 1a com 8 subscrito igual a 3.8 ao quadrado mais 1a com 8 subscrito igual a 3.64 mais 1a com 8 subscrito igual a 192 mais 1a com 8 subscrito igual a 193

Para a9

a com 9 subscrito igual a 3 n ao quadrado mais 1a com 9 subscrito igual a 3.9 ao quadrado mais 1a com 9 subscrito igual a 3.81 mais 1a com 9 subscrito igual a 243 mais 1a com 9 subscrito igual a 244

Assim, os termos 7, 8 e 9 são: 148, 193 e 244.

Exercício 11 (Sequência recursiva)

Habilidade BNCC EF08MA11

Sendo n o índice que indica a ordem dos elementos em uma sequência, analise o algoritmo que define a sequência:

  1. Início da sequência;
  2. Seus termos valem 1 se n é 1 ou 2;
  3. Se n é maior que 2 o termo é a soma entre seu anterior e o anterior do anterior.
  4. A sequência termina em n=6.

A opção que representa graficamente a sequência é

Imagem associada a questão.

Imagem associada a questão.

Imagem associada a questão.

Imagem associada a resolução da questão.

Gabarito explicado

Para n=1, a1 = 1

Para n=2, a2 = 1

Para n=3, a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2 (Aqui n é maior que 2 e é a soma dos dois anteriores).

Para n=4, a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 (Anterior e anterior do anterior).

Para n=5, a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5

Para n=6, a6 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8

Numericamente a sequência é:

(1, 1, 2, 3, 5, 8)

Graficamente, temos:

Imagem associada a questão.

Exercício 12 (Variação de duas grandezas: diretamente, inversamente, ou não proporcionais)

Habilidade BNCC EF08MA12

As seguintes relações:

  • A quantidade de tecido para produzir camisas e o número de camisas produzidas.
  • O tempo para um trem se deslocar entre duas cidades e a velocidade deste trem.
  • A área de um quadrado e o comprimento de seus lados.

Representam grandezas, respectivamente:

Diretamente, inversamente e não proporcionais.

Diretamente, Diretamente e inversamente proporcionais.

Inversamente, diretamente e não proporcionais.

Inversamente, não proporcionais e diretamente proporcionais.

Gabarito explicado

A quantidade de tecido para produzir camisas e o número de camisas produzidas.

Mais tecido, mais camisas.

Menos tecido, menos camisas.

Esta é uma relação diretamente proporcional.

O tempo para um trem se deslocar entre duas cidades e a velocidade deste trem.

Maior velocidade, menor tempo de viagem.

Menor velocidade, maior tempo de viagem.

Esta relação é inversamente proporcional.

A área de um quadrado e o comprimento de seus lados.

A área de um quadrado aumenta com o expoente 2 (elevado ao quadrado) do comprimento do lado.

A área de um quadrado é: l x l = l² , sendo l a medida do lado.

A representação de uma função l² é uma parábola, portanto, não é proporcional.

Veja grandezas proporcionais.

Exercício 13 (Cálculo com grandezas diretas ou inversas)

Habilidade BNCC EF08MA13

Em uma receita de bolo estão indicadas as seguintes quantidades dos ingredientes:

  • 9 xícaras de farinha de trigo;
  • 3 ovos;
  • 600 ml leite;
  • 6 colheres de sopa de açúcar;
  • 3 colheres de chá de fermento.

A senhora Eleonora ao fazer um bolo no domingo à tarde, verificou ter pouco trigo, apenas 3 xícaras e, para adaptar a receita irá utilizar

1 ovo, 200 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 1 colher de chá de fermento.

1 ovo, 300 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 3 colher de chá de fermento.

1 ovo, 200 ml de leite, 2 colheres de sopa de açúcar e 3 colher de chá de fermento.

1 ovo, 600 ml de leite, 4 colheres de sopa de açúcar e 1 colher de chá de fermento.

Gabarito explicado

A relação entre as grandezas é diretamente proporcional, visto que ao diminuir uma, as outras devem diminuir proporcionalmente.

Usando uma regra de três:

Ovos

9 xícaras de farinha de trigo estão para 3 ovos, assim como, 3 xícaras de farinha de trigo estão para x.

9 sobre 3 igual a 3 sobre x9 sobre 3 igual a 3 sobre x

Pela propriedade fundamental das proporções, multiplicamos os extremos pelos meios:

9 espaço. espaço x espaço igual a espaço 3 espaço. espaço 39 x igual a 9x igual a 3 sobre 3 igual a 19. x igual a 3.39 x igual a 9x igual a 9 sobre 9 igual a 1

Assim, utilizando 3 xícaras de farinha de trigo, deverá ser usado um ovo.

Para os demais ingredientes:

Leite

9 sobre 600 igual a 3 sobre x9 x igual a 1800x igual a 1800 sobre 9 igual a 200 espaço m l9 sobre 600 igual a 3 sobre x9 x igual a 3.6009 x igual a 1800x igual a 1800 sobre 9 igual a 200

Açúcar

9 sobre 6 igual a 3 sobre xespaço 9 espaço. espaço x espaço igual a 3 espaço. espaço 69 x igual a 18x igual a 18 sobre 9 igual a 2 espaço c o l h e r e s9 sobre 6 igual a 3 sobre x9 x igual a 3.69 x igual a 18x igual a 18 sobre 9 igual a 2

Fermento

9 sobre 3 igual a 3 sobre x9 espaço. espaço x espaço igual a espaço 3 espaço. espaço 39 x igual a 9x igual a 9 sobre 9 igual a 1 espaço c o l h e r9 sobre 3 igual a 3 sobre x9 x igual a 3.39 x igual a 9x igual a 9 sobre 9 igual a 1

Veja proporções.

Exercício 14 (Congruência de triângulos)

Habilidade BNCC EF08MA14

Dentre os triângulos abaixo identifique os pares de semelhantes e os casos de semelhança.

Triangulos

A e C. Caso AA

C e B. Caso LAL

D e C. Caso LLL

A e D. Caso AA

Gabarito explicado

O par de triângulos C e B são semelhantes pelo caso LAL (lado-ângulo-lado)

Lado 6

Ângulo d

Lado 8

Veja congruência de triângulos.

Exercício 15 (Construções geométricas de ângulos e polígonos regulares)

Habilidades BNCC EF08MA15, EF08MA16 e EF08MA17

A partir de um ponto O é traçado um segmento de reta até um ponto M que faz um ângulo de 90º com outro segmento. O segmento OM além de ser uma mediatriz, também é bissetriz de um ângulo de 60º em O.

Imagem associada à questão.

A partir do segmento OM, girando 60º no sentido horário, outra mediatriz/bissetriz é traçada, iniciando no ponto O e indo até um ponto N, por onde também passa outro segmento perpendicular. Desse modo, os segmentos perpendiculares a OM e ON respectivamente, se tocam em um mesmo ponto.

Imagem associada à questão.

A retas mediatrizes/bissetrizes possuem o mesmo comprimento entre si, assim como os segmentos perpendiculares.

Este processo continua até que um polígono é formado. Este polígono é um

pentágono.

hexágono.

heptágono.

quadrilátero.

Gabarito explicado

A partir do segmento OM, um segmento ON é traçado 60º no sentido horário. Como um ponteiro de um relógio, outros segmentos são adicionados.

60º de OM para ON;

60º de ON para o próximo; (60º + 60º = 120º);

Assim por diante, de modo que:

60º + 60º + 60º + 60º + 60º + 60º = 360º

Conclui-se que são traçadas seis retas mediatrizes. Como a cada mediatriz um segmento perpendicular é traçado e, estes se tocam, temos uma figura com seis lados, um hexágono.

Exercício 17 (Transformações geométricas: reflexão, translação e rotação)

Habilidade EF08MA18

No plano cartesiano é representado o seguinte polígono:

Imagem associada a questão.

Após passar pelas transformações geométricas:

  • 1 reflexão em relação ao eixo x;
  • 1 uma translação de -4 unidades no eixo x;
  • 1 reflexão em relação ao eixo x;
  • 1 rotação de 90º no sentido horário ao redor de seu vértice V.

O polígono está representado pela opção:

1

1

1

1

Gabarito explicado

1 reflexão em relação ao eixo x;

Imagem associada à questão.

1 uma translação de -4 unidades no eixo x;

Imagem associada à questão.

1 reflexão em relação ao eixo x;

Imagem associada à questão.

1 rotação

Exercício 18 (Área de polígonos e círculo)

Habilidade EF08MA19

Em uma praça será construída uma grande rosa-dos-ventos no chão e, estará inscrita em um círculo.

Para desenhá-la, um triângulo isósceles foi inscrito na circunferência como na imagem abaixo.

Imagem associada à questão.

A mediatriz M deste triângulo em relação ao segmento OL (oeste-leste) possui 2 metros.

Uma cópia do triângulo NOL sofrerá uma reflexão em relação às direções leste e oeste, formando o triângulo OLS, de modo a produzir a região da praça onde ficará a rosa-dos-ventos. O piso desta região será pintado de azul, enquanto a área que completa o círculo, de vermelho.

Considere pi = 3.

A medida da superfície pintada de vermelho é

16 m².

4 m².

8 m²

2 m².

Gabarito explicado

A figura completa é:

Imagem associada à questão.

A área interior é formada por dois triângulos isósceles, portanto, é um quadrado. A área de um quadrado é calculada por:

A com q subscrito igual a L sinal de multiplicação L igual a L ao quadradoL espaço. espaço L espaço igual a espaço L ao quadrado

A área do círculo é calculada por:

A com c subscrito igual a pi. r ao quadradoπr ao quadrado

Percebemos que o raio r do círculo é a própria mediatriz M (segmento que intercepta outro segmento ao meio, fazendo 90º).

A área pretendida é a área do círculo menos a do quadrado, de forma que:

reto A com vermelha subscrito igual a πr ao quadrado espaço menos espaço reto L ao quadradoA com a z u l subscrito fim do subscrito igual a A com c subscrito menos A com q subscritoA com a z u l subscrito fim do subscrito igual a pi r ao quadrado menos L ²

Como o raio é igual à mediatriz, r = M.

A com a z u l subscrito fim do subscrito igual a pi M ao quadrado menos L ²reto A com vermelha subscrito igual a πM ao quadrado espaço menos espaço reto L ao quadrado

Temos o comprimento da mediatriz, precisamos do lado do quadrado.

Pelo teorema de Pitágoras:

L ao quadrado igual a M ao quadrado mais M ao quadradoL ao quadrado igual a 2 M ao quadradoreto L ao quadrado igual a reto M ao quadrado mais reto M ao quadradoreto L ao quadrado igual a 2 reto M ao quadrado

Assim, podemos substituir na equação anterior:

A com a z u l subscrito fim do subscrito igual a pi M ao quadrado menos L ao quadradoA com a z u l subscrito fim do subscrito igual a pi M ao quadrado menos 2 M ao quadradoreto A com vermelha subscrito igual a πM ao quadrado espaço menos espaço 2 reto M ao quadrado

Colocando M² em evidência:

A com a z u l subscrito fim do subscrito igual a M ao quadrado parêntese esquerdo pi menos 2 parêntese direitoreto A com vermelha subscrito igual a reto M ao quadrado parêntese esquerdo reto pi menos 2 parêntese direito

Substituindo os valores de M e pi.

A com a z u l subscrito fim do subscrito igual a M ao quadrado parêntese esquerdo pi menos 2 parêntese direitoA com a z u l subscrito fim do subscrito igual a 2 ao quadrado parêntese esquerdo 3 menos 2 parêntese direitoA com a z u l subscrito fim do subscrito igual a 4 parêntese esquerdo 1 parêntese direito igual a 4 espaço m ao quadradoreto A com vermelha subscrito igual a 2 ao quadrado parêntese esquerdo 3 menos 2 parêntese direitoreto A com vermelha subscrito igual a 4.1 igual a 4

Conclusão

A área vermelha no círculo possui 4m².

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Exercício 19 (Volume de bloco retangular e medidas de capacidade)

Habilidades BNCC EF08MA20 e EF08MA21

Uma cisterna na forma de um prisma quadrangular, com medidas de 9 m de comprimento, 5 m de largura e 2 m de altura, foi construída para captar a água da chuva recolhida pelos telhados de um condomínio. Esta cisterna poderá armazenar, em sua capacidade máxima

90 l.

16 000 l.

90 000 l.

16 l.

Gabarito explicado

Objetivo

Determinar a quantidade de água em litros que a cisterna pode armazenar.

1º passo: determinar o volume em metros cúbicos.

Como as medidas já estão em metros, basta multiplicar os valores das três dimensões.

9 espaço reto m espaço sinal de multiplicação espaço 5 espaço reto m espaço sinal de multiplicação 2 espaço reto m espaço igual a espaço 90 espaço reto m ao cubo9 espaço m espaço. espaço 5 espaço m espaço. espaço 2 espaço m espaço igual a espaço 90 espaço m ao cubo

A cisterna possui 90 metros cúbicos de volume.

2 º passo: determinar quantos litros cabem neste volume.

1 m³ armazena 1000 litros. Assim, 90 m³ = 90 . 1000 = 90 000 l

90 espaço sinal de multiplicação espaço 1000 espaço igual a espaço 90 espaço 000 espaço l

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Exercício 20 (Princípio multiplicativo e soma das probabilidades de um espaço amostral)

Habilidades BNCC EF08MA22

Considere o experimento lançar um dado duas vezes consecutivas e somar os resultados obtidos no 1º e no 2º lançamento. A probabilidade de sair uma soma maior que oito e a probabilidade do evento complementar são, respectivamente,

80,2% e 19,8%.

27,7% e 72,3%.

17,5% e 82,5%.

33% e 66%.

Gabarito explicado

1º passo: calcular a probabilidade da soma ser maior que oito.

Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis no espaço amostral.

Sendo o experimento aleatório lançar um dado duas vezes consecutivas e anotar os resultados, o número de elementos no espaço amostral é 6 . 6 = 36 (possibilidades do primeiro dado e possibilidades do segundo).

Dentre os 36 casos possíveis, 10 resultam em soma maior que oito.

Imagem associada à resolução da questão.

Este é o número de casos favoráveis ao evento A, sair soma maior que oito. Assim, a probabilidade da soma dos resultados dos dois lançamentos ser maior que 8 é:

P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a 10 sobre 36 aproximadamente igual 0 vírgula 2777... aproximadamente igual 27 vírgula 7 sinal de percentagemP igual a 10 sobre 36 aproximadamente igual 0 vírgula 277 aproximadamente igual 27 vírgula 7 sinal de percentagemP igual a 10 sobre 36 aproximadamente igual 0 vírgula 277 aproximadamente igual 27 vírgula 7 sinal de percentagem

2º passo: calcular a probabilidade do evento complementar.

Probabilidade é um número entre 0 e 1, ou 0% e 100%. O evento complementar é o quanto falta para completar 1 ou, 100%.

No caso desta situação-problema só há duas possibilidades, ou a soma é maior que oito (27,7%), ou a soma é menor que oito. Neste caso, o evento complementar é a soma ser menor que oito.

100 sinal de percentagem espaço menos espaço 27 vírgula 7 sinal de percentagem espaço aproximadamente igual espaço 72 vírgula 3 sinal de percentagem100 sinal de percentagem espaço menos espaço 27 vírgula 7 sinal de percentagem espaço aproximadamente igual espaço 72 vírgula 3 sinal de percentagem

Assim, a probabilidade da soma ser menor que oito é de 72,3%.

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Exercício 21 (Tipos de gráficos e organização de dados)

Habilidades BNCC EF08MA23 e EF08MA24

O gráfico a seguir representa as alturas dos alunos do ensino fundamental de um colégio em centímetros. No eixo horizontal estão os intervalos das alturas em centímetros. Acima se encontram as quantidades de alunos com altura naquele intervalo.

Gráfico

O tipo de gráfico e a variável estatística são, respectivamente:

de barras e variável quantitativa discreta.

histograma e variável quantitativa contínua.

de linhas e variável qualitativas nominais.

de setores e variável qualitativas ordinais.

Gabarito explicado

O histograma é uma representação gráfica onde as frequências são dispostas em colunas.

As variáveis quantitativas são numeráveis. Sendo contínuas, pertencem a um conjunto infinito de valores sem interrupção entre eles.

As medidas de comprimento são contínuas, pois mesmo entre os centímetros existem infinitos valores fracionados como: milímetros, micrômetros, nanômetros ...

Exercício 22 (Média, moda e mediana)

Habilidade BNCC EF08MA25

Em uma escola, estes alunos de diferentes turmas foram selecionados para um recital de poesia:

  • Alexandre: 8 anos
  • Fabrício: 10 anos
  • Carla: 12 anos
  • Patrick: 15 anos
  • João: 13 anos
  • Eleonora: 12 anos
  • Nicole: 10 anos
  • Maria: 9 anos

Considerando suas idades, determine a média, a moda e a mediana.

Média = 11,125

Moda: 10 e 12

Mediana = 11

Média = 11,125

Moda: 9 e 10

Mediana = 10

Média = 9,25

Moda: 10

Mediana = 11

Média = 11,125

Moda: 10 e 12

Mediana = 11,125

Gabarito explicado

Média

M igual a numerador 8 espaço mais espaço 10 espaço mais espaço 12 espaço mais espaço 15 espaço mais espaço 13 espaço mais espaço 12 espaço mais espaço 10 espaço mais espaço 9 sobre denominador 8 fim da fração igual a 89 sobre 8 igual a 11 vírgula 125M igual a numerador 8 espaço mais espaço 10 espaço mais espaço 12 espaço mais espaço 15 espaço mais espaço 13 espaço mais espaço 12 espaço mais espaço 10 espaço mais espaço 9 sobre denominador 8 fim da fração igual a 89 sobre 8 igual a 11 vírgula 125

Moda

A moda ou, as modas, são os elementos que mais se repetem. Neste caso, os elementos 10 e 12 se repetem igualmente duas vezes cada. Portanto, as modas são 10 e 12.

Mediana

Para determinar a mediana das idades devemos escrever o rol de dados, a ordenação crescente ou decrescente.

8, 9, 10, 10, 12, 12, 13, 15

Como a quantidade de dados é par, a mediana é a média aritmética dos dados centrais.

M com e subscrito igual a numerador 10 espaço mais espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 22 sobre 2 igual a 11M com e subscrito igual a numerador 10 espaço mais espaço 12 sobre denominador 2 fim da fração igual a 22 sobre 2 igual a 11

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.