Proporção

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Proporção é uma igualdade entre razões. Duas razões são proporcionais quando o resultado da divisão entre o numerador e o denominador da primeira razão é igual ao resultado da divisão da segunda.

$começar estilo tamanho matemático 22px a sobre b espaço igual a numerador espaço c sobre denominador d fim da fração fim do estilo$

Onde a, b, c e d são números diferentes de zero e, nesta ordem, formam uma proporção.

Lemos uma proporção das seguintes maneiras:

a está para b na mesma razão que c está para d;
a está para b assim como c está para d;
a e b são proporcionais a c e d.

Na proporção:

$tamanho 22px a sobre tamanho 22px b tamanho 22px espaço tamanho 22px igual a numerador tamanho 22px espaço tamanho 22px c sobre denominador tamanho 22px d fim da fração$

$bold italic a espaço e espaço bold italic d espaço s ã o espaço o s espaço e x t r e m o s vírgula espaço bold italic b espaço e negrito espaço bold italic c espaço s ã o espaço o s espaço m e i o s.$

Exemplo

$4 sobre 2 igual a 12 sobre 6$

A igualdade é verdadeira, pois 4 / 2 = 2, assim como, 12 / 6 = 2.

Propriedades das proporções

As propriedades são ferramentas matemáticas que facilitam a resolução de problemas. Usando as propriedades das proporções, podemos criar outras proporções, mais úteis para resolvermos problemas.

Propriedade fundamental das proporções

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Sendo a seguinte igualdade entre razões, uma proporção,

$tamanho 22px a sobre tamanho 22px b tamanho 22px espaço tamanho 22px igual a numerador tamanho 22px espaço tamanho 22px c sobre denominador tamanho 22px d fim da fração$

Então, é verdade que:

$começar estilo tamanho matemático 20px espaço a. d espaço igual a espaço c. b fim do estilo$

É comum chamar esta propriedade de multiplicação cruzada. Esta propriedade é utilizada no procedimento chamado regra de três.

Exemplo

$8 sobre 32 igual a 4 sobre 16 P o i s vírgula 8 espaço sinal de multiplicação espaço 16 espaço igual a espaço 4 espaço sinal de multiplicação espaço 32 espaço espaço espaço espaço espaço espaço 128 espaço igual a espaço 128$

Outras propriedades

Algumas propriedades não recebem nomes especiais, embora sejam importantes nos cálculos.

Propriedade 1

A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.

Sendo verdadeira a proporção

$começar estilo tamanho matemático 16px a sobre b espaço igual a numerador espaço c sobre denominador d fim da fração fim do estilo$

Então vale que:

$numerador a espaço mais espaço b sobre denominador b fim da fração espaço igual a numerador espaço c espaço mais espaço d sobre denominador d fim da fração espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço o u numerador a espaço menos espaço b sobre denominador b fim da fração espaço igual a numerador espaço c espaço menos espaço d sobre denominador d fim da fração$

Na primeira razão, somamos ou subtraímos o denominador b, e, na segunda razão, somamos ou subtraímos o denominador d.

Exemplo

$2 sobre 5 igual a 6 sobre 15 0 vírgula 4 espaço igual a espaço 0 vírgula 4$

Então vale que:

$numerador 2 espaço mais espaço 5 sobre denominador 5 fim da fração igual a numerador 6 espaço mais espaço 15 sobre denominador 15 fim da fração espaço espaço 7 sobre 5 igual a 21 sobre 15 1 vírgula 4 espaço igual a espaço 1 vírgula 4$

Propriedade 2

A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou segunda razão.

Sendo verdadeira a proporção:

$a sobre b igual a c sobre d$

Então vale que:

$numerador a mais c sobre denominador b mais d fim da fração igual a a sobre b espaço o u espaço numerador a mais c sobre denominador b mais d fim da fração igual a c sobre d espaço A s s i m espaço c o m o dois pontos numerador a menos c sobre denominador b menos d fim da fração igual a a sobre b espaço o u espaço numerador a menos c sobre denominador b menos d fim da fração igual a c sobre d$

Exemplo

Sendo verdadeira a proporção:

$10 sobre 5 igual a 8 sobre 4$

Então vale que:

$numerador 10 mais 8 sobre denominador 5 mais 4 fim da fração igual a 10 sobre 5 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 18 sobre 9 igual a 10 sobre 5 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 espaço igual a espaço 2 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço o u numerador 10 mais 8 sobre denominador 5 mais 4 fim da fração igual a 8 sobre 4 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 18 sobre 9 igual a 8 sobre 4 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 igual a 2$

Exercícios

Exercício 1

Um mapa apresenta a escala 1:3500 (1 para 3500) centímetros. Foi realizada uma medida no mapa de 8 centímetros. Esta medida no mapa representa quantos centímetros reais?

Ver Resposta

A escala pode ser escrita como a razão $1 sobre 3500$ .

Nesta razão, o numerador representa os centímetros no mapa, enquanto o denominador, os centímetros reais.

Podemos, nesta ordem, escrever uma razão para o valor desconhecido.

$8 sobre x$

Os centímetros medidos no mapa ficam no numerador, enquanto os centímetro reais, que pretendemos determinar, ficam no denominador.

Escrevendo uma proporção entre estas duas razões, temos:

$1 sobre 3500 igual a 8 sobre x$

Para determinar o valor desconhecido, utilizamos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual o produto dos meios.

$x.1 igual a 8.3500 x espaço igual a espaço 28 espaço 000 espaço$

Portanto, 8cm no mapa, equivalem a 28 000cm reais.

Exercício 2

Catarina vai fazer um bolo para sua família e, para isso, separou uma receita que prescreve as seguintes quantidades:

4 ovos;
2 xícaras de açúcar;
300 gramas de farinha de trigo.

Como ela possui 7 ovos e gostaria de usá-los de uma vez, aumentando a quantidade de ovos na receita, é preciso aumentar proporcionalmente, as quantidades dos outros ingredientes. Sendo assim, em seu preparo, qual a quantidade dos outros ingredientes ela deverá utilizar?

Ver Resposta

Vamos determinar as novas quantidades proporcionais de cada ingrediente.

Açúcar

Na receita original, para cada 4 ovos, utilizam-se 2 xícaras de açúcar.

$4 sobre 2$

No novo preparo, Catarina irá utilizar 7 ovos e, embora ainda não sabemos a quantidade de xícaras de açúcar, por enquanto, iremos chamar de x.

$7 sobre x$

Como estas razões precisam ser proporcionais, iremos igualá-las.

$4 sobre 2 igual a 7 sobre x$

Para determinar o valor de x, utilizamos a propriedade fundamental das proporções, que diz que o produto dos extremos é igual o produto dos meios.

$4. x espaço igual a espaço 7.2 4 x espaço igual a espaço 14$

Isolando o x do lado esquerdo da igualdade:

$x igual a 14 sobre 4 igual a 3 vírgula 5$

Desta forma, Catarina irá utilizar três xícaras e meia de açúcar no novo preparo.

Seguindo o mesmo raciocínio para a quantidade de trigo, temos:

$4 sobre 300 igual a 7 sobre x 4 x espaço igual a espaço 7.300 4 x espaço igual a espaço 2100 x espaço igual a espaço 2100 sobre 4 x espaço igual a espaço 525$

Sendo assim, Catarina deverá utilizar 525 gramas de farinha de trigo no novo preparo de seu bolo.

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

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