Exercícios sobre regra de três composta

A regra de três composta é utilizada para resolver problemas matemáticos que envolvem mais de duas grandezas.

Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com a resolução comentada.

Questão 1

Em uma oficina de artesanato, 4 artesãs produzem 20 bonecas de pano em 4 dias. Se 8 artesãs trabalharem por 6 dias, quantas bonecas serão produzidas?

Resposta correta: 60 bonecas de pano.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Número de artesãs Dias trabalhados Bonecas produzidas
A B C
4 4 20
8 6 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e C são diretamente proporcionais: quanto maior o número de artesãs, mais bonecas serão produzidas.
  • B e C são diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhados, um maior número de bonecas serão produzidas.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Observe que as grandezas A e B são diretamente proporcionais à grandeza C. Logo, o produtos dos valores de A e B é proporcional aos valores de C.

4 sobre 8.4 sobre 6 igual a 20 sobre reto X 16 sobre 48 igual a 20 sobre reto X 16 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 48 espaço. espaço 20 reto X espaço igual a espaço 960 sobre 16 reto X espaço igual a espaço 60

Assim, serão produzidas 60 bonecas.

Questão 2

Dona Lúcia decidiu produzir ovos de chocolate para vender na Páscoa. Ela e suas duas filhas, trabalhando 3 dias na semana, produzem 180 ovos. Se ela convidar mais duas pessoas para ajudar e trabalharem um dia a mais, quantos ovos serão produzidos?

Resposta correta: 400 ovos de chocolate.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Número de pessoas trabalhando Número de dias trabalhados Número de ovos produzidos
A B C
3 3 180
5 4 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • B e C são diretamente proporcionais: dobrando o número de dias, dobra-se a quantidade de ovos produzidos.
  • A e C são diretamente proporcionais: dobrando o número de pessoas trabalhando, dobra-se a quantidade de ovos produzidos.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Sendo a grandeza C diretamente proporcional às grandezas A e B, os valores de C são diretamente proporcionais ao produto dos valores de A e B.

3 sobre 5.3 sobre 4 igual a 180 sobre reto X 9 sobre 20 igual a 180 sobre reto X 9 reto X espaço igual a espaço 20 espaço. espaço 180 reto X espaço igual a espaço 3600 sobre 9 reto X espaço igual a espaço 400

Logo, cinco pessoas trabalhando quatro dias por semana produzirão 400 ovos de chocolate.

Veja também: Regra de três simples e composta

Questão 3

Em uma obra, 10 homens concluíram um dos trabalhos em 6 dias, fazendo 8 horas diárias. Se apenas 5 homens estiverem trabalhando, quantos dias levarão para o mesmo trabalho ser concluído com execução de 6 horas por dia?

Resposta correta: 16 dias.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Homens trabalhando Dias trabalhados Horas trabalhadas
A B C
10 6 8
5 X 6

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e B são inversamente proporcionais: quanto menos homens trabalhando, mais dias serão necessários para realizar o trabalho.
  • B e C são inversamente proporcionais: quanto menos horas trabalhando, mais dias serão necessários para realizar o trabalho.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Para os cálculos, as duas grandezas que são inversamente proporcionais tem suas razões escritas na forma inversa.

5 sobre 10.6 sobre 8 igual a 6 sobre reto X 30 sobre 80 igual a 6 sobre reto X 30 reto X espaço igual a espaço 80 espaço. espaço 6 reto X espaço igual a espaço 480 sobre 30 reto X espaço igual a espaço 16

Sendo assim, serão necessários 16 dias para executar o mesmo trabalho.

Veja também: Regra de Três Composta

Questão 4

(PUC-Campinas) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria:

a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000

Alternativa correta: c) 4000.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Máquinas Peças produzidas Dias trabalhados Horas diárias
A B C D
5 500 5 5
10 X 10 10

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e B são diretamente proporcionais: quanto mais máquinas trabalhando, um maior número de peças será produzido.
  • C e B são diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhados, um maior número de peças será produzido.
  • D e B são diretamente proporcionais: quanto mais horas as máquinas trabalharem diariamente, um maior número de peças será produzido.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Como a grandeza B é diretamente proporcional às grandezas A, C e D, os valores de C são diretamente proporcionais ao produto dos valores de A, C e D.

5 sobre 10.5 sobre 10.5 sobre 10 igual a 500 sobre reto X numerador 125 sobre denominador 1 espaço 000 fim da fração igual a 500 sobre reto X 125 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 1 espaço 000 espaço. espaço 500 reto X espaço igual a espaço numerador 500 espaço 000 sobre denominador 125 fim da fração reto X espaço igual a espaço 4 espaço 000

Assim, o número de peças produzido seria 4000.

Veja também: Razão e proporção

Questão 5

(FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150,000 impressões. Em quantos dias 3 impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100,000 impressões?

a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
e) 5

Alternativa correta: e) 5.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Número de impressoras Número de horas Número de dias Número de impressões
A B C D
1 6 30 150 000
3 8 X 100 000

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e C são inversamente proporcionais: quanto mais impressoras, em menos dias serão feitas as impressões.
  • B e C são inversamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, menor o número de dias para fazer as impressões.
  • C e D são diretamente proporcionais: quanto menos dias trabalhados, menor o número de impressões.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Para realizar o cálculo, a grandeza proporcional D tem sua razão mantida, enquanto que as grandezas inversamente proporcionais, A e B, devem ter suas razões invertidas.

3 sobre 1.8 sobre 6. numerador 150 espaço 000 sobre denominador 100 espaço 000 fim da fração igual a 30 sobre reto X numerador 3 espaço 600 espaço 000 sobre denominador 600 espaço 000 fim da fração igual a 30 sobre reto X 36 sobre 6 igual a 30 sobre reto X 36 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 30 reto X espaço igual a espaço 180 sobre 36 reto X espaço igual a espaço 5

Logo, aumentando o número de impressoras e de horas trabalhadas, em apenas 5 dias serão feitas 100 000 impressões.

Questão 6

(Enem/2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

a) 920 kg
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg

Alternativa correta: a) 920 kg.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Número de alunos Dias de campanha Horas diárias trabalhadas Alimentos arrecadados (kg)
A B C D
20 10 3 12 x 10 = 120
20 + 30 = 50 30 - 10 = 20 4 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e D são diretamente proporcionais: quanto mais alunos ajudando, maior a quantidade de alimentos arrecadados.
  • B e D são diretamente proporcionais: como ainda falta o dobro de dias de arrecadação para completar os 30 dias, maior a quantidade de alimentos arrecadados.
  • C e D são diretamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, maior a quantidade de alimentos arrecadados.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Como as grandezas A, B e C são diretamente proporcionais à quantidade de alimentos arrecadados, o valor de X pode ser encontrado multiplicando suas razões.

20 sobre 50.10 sobre 20.3 sobre 4 igual a 120 sobre reto X numerador 600 sobre denominador 4 espaço 000 fim da fração igual a 12 sobre reto X 600 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 4 espaço 000 espaço. espaço 120 reto X espaço igual a espaço numerador 480 espaço 000 sobre denominador 600 fim da fração reto X espaço igual a espaço 800

Assim, somando os 800 kg aos 120 kg arrecadados no início da campanha, temos que 920 kg de alimentos foram arrecadados ao final do prazo estipulado.

Questão 7

A quantidade de feno utilizada para alimentar 10 cavalos em um estábulo durante 30 dias é de 100 kg. Se mais 5 cavalos chegarem ao local, em quantos dias metade desse feno seria consumido?

Resposta correta: 10 dias.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Cavalos Feno (kg) Dias
A B C
10 100 30
10 + 5 = 15 100 sobre 2 igual a espaço 50 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e C são grandezas inversamente proporcionais: aumentando o número de cavalos, o feno seria consumido em menos dias.
  • B e C são grandezas diretamente proporcionais: diminuindo a quantidade de feno, ele seria consumido em menos tempo.

2º passo: Encontrar o valor de x.

Como a grandeza A é inversamente proporcional à quantidade de feno, o cálculo deve ser feito com sua razão inversa. A grandeza B, por ser diretamente proporcional, deve ter sua razão para efetuar a multiplicação.

30 sobre reto X igual a 15 sobre 10.100 sobre 50 30 sobre reto X igual a numerador 1 espaço 500 sobre denominador 500 fim da fração 1 espaço 500 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 30 espaço. espaço 500 reto X espaço igual a espaço numerador 15 espaço 000 sobre denominador 1 espaço 500 fim da fração reto X espaço igual a espaço 10

Logo, metade do feno seria consumido em 10 dias.

Questão 8

Um automóvel, em uma velocidade de 80 km/h, percorre uma distância de 160 km em 2h. Quanto tempo o mesmo automóvel levaria para percorrer 1/4 do percurso com uma velocidade 15% maior que a velocidade inicial?

Resposta correta: 0,44 h ou 26,4 minutos.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Velocidade (km/h) Distância (km) Tempo (h)
A B C
80 160 2
80 espaço. espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 0 vírgula 15 parêntese direito espaço igual a espaço 92 tabela linha com célula com 1em moldura inferior fim da célula.160 igual a linha com 4 blank blank blank fim da tabela tabela linha com 40 linha com blank fim da tabela X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e C são inversamente proporcionais: quanto maior a velocidade do automóvel, menor o tempo para realizar o percurso.
  • B e C são diretamente proporcionais: quanto menor a distância, menor o tempo para realizar o percurso.

2º passo: Encontrar o valor de x.

A grandeza B é diretamente proporcional à grandeza C e, por isso, sua razão é mantida. Como A é inversamente proporcional, sua razão deve ser invertida.

2 sobre reto X igual a 160 sobre 40.92 sobre 80 2 sobre reto X igual a numerador 14 espaço 720 sobre denominador 3 espaço 200 fim da fração 14 espaço 720 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 3 espaço 200 reto X espaço igual a espaço numerador 6400 sobre denominador 14 espaço 720 fim da fração reto X espaço aproximadamente igual espaço 0 vírgula 44

Assim, 1/4 do percurso seria realizado em 0,44 h ou 26,4 min.

Veja também: Como calcular porcentagem?

Questão 9

(Enem/2017) Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas iguais, que trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse período, as máquinas são desligadas por 30 minutos para manutenção. Se alguma máquina precisar de mais manutenção, ficará parada até a próxima manutenção.

Certo dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um total de 9 000 itens. O trabalho começou a ser feito às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6 000 itens, mas na manutenção observou-se que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço foi finalizado, as três máquinas que continuaram operando passaram por uma nova manutenção, chamada manutenção de esgotamento.

Em que horário começou a manutenção de esgotamento?

a) 16 h 45 min
b) 18 h 30 min
c) 19 h 50 min
d) 21 h 15 min
e) 22 h 30 min

Alternativa correta: b) 18 h 30 min.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Máquinas Produção Horas
A B C
4 6000 6
3 9000 - 6000 = 3000 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e C são inversamente proporcionais: quanto mais máquinas, menos horas serão necessárias para completar a produção.
  • B e C são diretamente proporcionais: quanto mais peças forem necessárias, mais horas levarão para serem produzidas.

2º passo: Encontrar o valor de x.

A grandeza B é diretamente proporcional à grandeza C e, por isso, sua razão é mantida. Como A é inversamente proporcional, sua razão deve ser invertida.

6 sobre reto X igual a 3 sobre 4. numerador 6 espaço 000 sobre denominador 3 espaço 000 fim da fração 6 sobre reto X igual a numerador 18 espaço 000 sobre denominador 12 espaço 000 fim da fração 18 espaço 000 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 12 espaço 000 reto X espaço igual a espaço numerador 72 espaço 000 sobre denominador 18 espaço 000 fim da fração reto X espaço igual a espaço 4

3º passo: Interpretação dos dados.

O trabalho começou a ser feito às 8 horas. Como as máquinas trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas, quer dizer que o término da jornada ocorreu às 14h (8h + 6h), quando iniciou-se a parada de manutenção (30 min).

As três máquinas que continuaram funcionando retornaram ao trabalho às 14h30 para mais 4h de trabalho, de acordo com o que foi calculado na regra de três, para produzir mais 3000 peças. A manutenção de esgotamento ocorreu após o término desse período às 18h30 (14h30 + 4 h).

Questão 10

(Vunesp) Numa editora, 8 digitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um determinado livro em 15 dias. Então, 2 desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas 5 horas por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o deslocamento dos 2 digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda:

a) 18 dias
b) 16 dias
c) 15 dias
d) 14 dias
e) 12 dias

Alternativa correta: b) 16 dias.

1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.

Digitadores Horas Digitação Dias
A B C D
8 6 3 sobre 5 15
8 - 2 = 6 5 2 sobre 5 X

Através da tabela, podemos notar que:

  • A e D são inversamente proporcionais: quanto mais digitadores, menos dias serão necessários para digitar o livro.
  • B e D são inversamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, menos dias serão necessários para digitar o livro.
  • C e D são diretamente proporcionais: quanto menos páginas faltarem para digitar, menos dias serão necessários para terminar a digitação.

2º passo: Encontrar o valor de x.

A grandeza C é diretamente proporcional à grandeza D e, por isso, sua razão é mantida. Como A e B são inversamente proporcionais, suas razões devem ser invertidas.

15 sobre reto X igual a 6 sobre 8.5 sobre 6. numerador começar estilo mostrar tipográfico 3 sobre 5 fim do estilo sobre denominador começar estilo mostrar tipográfico 2 sobre 5 fim do estilo fim da fração 15 sobre X igual a numerador 18 sobre denominador espaço tipográfico 96 sobre 5 fim da fração 18 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 15 espaço. espaço tipográfico 96 sobre 5 18. espaço reto X espaço igual a espaço 1440 sobre 5 reto X espaço igual a espaço 288 sobre 18 reto X espaço igual a espaço 16

Logo, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda 16 dias.

Para mais questões, veja também Exercícios de regra de três.