Exercícios de Regra de Três

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

A regra de três é um procedimento usado para a resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.

Pelo fato de ter uma enorme aplicabilidade, é muito importante saber resolver problemas utilizando essa ferramenta.

Aproveite os exercícios comentados e questões de concursos resolvidas para verificar seus conhecimentos.

Exercício 1

Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração?

Resolução:

Devemos sempre começar identificando as grandezas e as suas relações. É muito importante identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

Neste exercício as grandezas quantidade total de ração consumida e o número de dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias maior será a quantidade total gasta.

Para melhor visualizar a relação entre as grandezas, podemos usar setas. O sentido da seta aponta para o maior valor de cada grandeza.

As grandezas cujos pares de setas apontam para o mesmo sentido, são diretamente proporcionais e as que apontam em sentidos contrários, são inversamente proporcionais.

Vamos então resolver o exercício proposto, conforme o esquema abaixo:

Exercício regra de três diretamente proporcional

Resolvendo a equação, temos:

15 x igual a 7.10 x igual a 70 sobre 15 x igual a 4 vírgula 666...

Assim, a quantidade de ração consumida por semana é de aproximadamente 4,7 kg.

Veja também: Razão e Proporção

Exercício 2

Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira anterior?

Resolução:

Neste problema, as grandezas envolvidas serão número de torneiras e tempo. Contudo, é importante observar que quanto maior o número de torneiras, menor será o tempo para encher o tanque.

Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, ao escrever a proporção, devemos inverter uma das razões, conforme mostramos no esquema abaixo:

Exercício regra de três inversamente proporcional
Resolvendo a equação:

4 x igual a 6.1 x igual a 6 sobre 4 igual a 1 vírgula 5

Assim, o tanque ficará totalmente cheio em 1,5 h.

Veja também: Regra de Três Simples e Composta

Exercício 3

Em uma empresa, 50 funcionários, produzem 200 peças, trabalhando 5 horas por dia. Se o número de funcionários cair pela metade e o número de horas de trabalho por dia passar para 8 horas, quantas peças serão produzidas?

Resolução:

As grandezas indicadas no problema são: número de funcionários, número de peças e horas trabalhadas por dia. Portanto, temos uma regra de três composta (mais de duas grandezas).

Neste tipo de cálculo, é importante analisar separadamente o que acontece com a incógnita (x), quando mudamos o valor das outras duas grandezas.

Fazendo isso, percebemos que o número de peças será menor se reduzirmos o número de funcionários, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais.

O número de peças aumenta se aumentarmos o número de horas de trabalho por dia. Portanto, também são diretamente proporcionais.

No esquema abaixo, indicamos esse fato através das setas, que apontam para o sentido crescente dos valores.

Regra de três composta

Resolvendo a regra de três, temos:

200 sobre x igual a 250 sobre 200 x igual a numerador 200.200 sobre denominador 250 fim da fração igual a 160

Assim, serão produzidas 160 peças.

Veja também: Regra de Três Composta

Exercício 4

(Epcar - 2016) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, n/2 dessas peças.

É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n/2 dessas peças em

a) 40 minutos.
b) 120 minutos.
c) 160 minutos.
d) 240 minutos.

Como o tempo total de produção é 2h e 40 min, e já sabemos que a máquina A produz sozinha em 2 horas n/2 peças, então vamos descobrir quanto só ela produz nos 40 min restantes. Para isso, vamos utilizar a regra de três.

Questão Epcar regra de três

Resolvendo a regra de três:

120 espaço x espaço igual a 40. n sobre 2 x igual a numerador 20 n sobre denominador 120 fim da fração x igual a n sobre 6

Essa é a quantidade de peças produzidas em 40 min pela máquina A, portanto em 2 h e 40 min ela sozinha produz:

n sobre 6 mais n sobre 2 igual a numerador 2 n sobre denominador 3 fim da fração

Podemos então, calcular a quantidade produzida pela máquina B em 2h e 40 min, subtraindo da quantidade produzida pelas duas máquinas (n) da quantidade produzida pela máquina A:

n menos numerador 2 n sobre denominador 3 fim da fração igual a n sobre 3

Agora, é possível calcular quanto tempo a máquina B levaria para produzir n/2 peças. Para isso, vamos fazer novamente uma regra de três:

Questão Epcar regra de três

Resolvendo a regra de três, temos:

n sobre 3. x igual a 160. n sobre 2 x igual a numerador 80. n.3 sobre denominador n fim da fração x igual a 240

Assim, a máquina B produzirá n/2 peças em 240 min.

Alternativa d: 240 min

Veja também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Exercício 5

(Cefet - MG - 2015) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de funcionários que a empresa vai precisar para produzir 200 peças, em 20 dias úteis, é igual a

a) 18
b) 20
c) 22
d) 24

Esse problema envolve regra de três composta, pois temos três grandezas: número de funcionários, número de peças e número de dias.

Questão Cefet-MG regra de três

Observando as setas, identificamos que o número de peças e o número de funcionários são grandezas
diretamente proporcionais. Já dias e número de funcionários são inversamente proporcionais.
Assim, para resolver a regra de três, temos que inverter o número de dias.

x sobre 10 igual a 200 sobre 150.30 sobre 20 x igual a 6000 sobre 3000.10 x igual a 60000 sobre 3000 igual a 20

Logo, serão necessários 20 funcionários.

Alternativa b: 20

Veja também: Exercícios sobre Regra de Três Composta

Exercício 6

(Enem - 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada.O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9

Essa questão é de regra de três composta, sendo as grandezas envolvidas a capacidade do reservatório, o número de ralos e o número de dias.

Questão Enem 2013 Regra de três

Pelas posição das setas, observamos que a capacidade e o número de ralos são diretamente proporcionais. Já o número de dias e o número de ralos são inversamente proporcionais, vamos inverter então o número de dias:

x sobre 6 igual a 500 sobre 900.6 sobre 4 x sobre 6 igual a 3000 sobre 3600 x igual a 3000 sobre 3600.6 x igual a 5

Assim, serão necessários 5 ralos.

Alternativa c: 5

Exercício 7

(UERJ - 2014) Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil.

Questão Uerj 2014 regra de três

O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes.
Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a:

a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515

Para resolver a questão, iremos considerar as grandezas número de médicos do SUS e número de habitantes da região Norte. Portanto, devemos retirar essa informação no gráfico apresentado.
Fazendo a regra de três com os valores indicados, temos:

Questão Uerj regra de três

Resolvendo a regra de três, temos:

0 vírgula 66 x igual a 1000 x igual a numerador 1000 sobre denominador 0 vírgula 66 fim da fração igual a 1 espaço 515 vírgula 1515...

Logo, o SUS disponibiliza aproximadamente, 1 médico para cada 1515 habitantes na região Norte.

Alternativa d: 1515

Veja também: Exercícios sobre Regra de Três Simples

Exercício 8

(Enem - 2017) Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.

O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre

a) 19 h 30 min e 20 h 10 min
b) 19 h 20 min e 19 h 30 min
c) 19 h 10 min e 19 h 20 min
d) 19 h e 19 h 10 min
e) 18 h 40 min e 19 h

As informações nos indicam que em 45 min de chuva, a altura de água da piscina passou para 20 cm. Depois desse tempo, foi aberto o registro do ralo, entretanto continuou chovendo durante 40 min.

Vamos então, calcular a altura de água que foi adicionada na piscina neste intervalo de tempo, através da seguinte regra de três:
Questão enem regra de três 2017

Calculando essa regra de três, temos:

45 x igual a 40.20 x igual a 800 sobre 45 igual a 160 sobre 9

Agora, vamos calcular a quantidade de água que escoou, já que o ralo foi aberto. Essa quantidade será igual a soma de água que foi adicionada, menos a quantidade que ainda existe na piscina, ou seja:

h espaço igual a 20 mais 160 sobre 9 menos 15 espaço h igual a numerador 180 mais 160 menos 135 sobre denominador 9 fim da fração h igual a 205 sobre 9

Portanto, escoou 205/9 cm de água desde que o ralo foi aberto (40 min). Agora, vamos calcular quanto tempo será necessário para escoar a quantidade que ficou na piscina, após ter parado de chover.

Para isso, vamos usar mais uma regra de três:

Questão enem regra de três

Calculando, temos:

205 sobre 9 x igual a 40.15 205 espaço x igual a 40.15.9 205 espaço x igual a 5400 x igual a 5400 sobre 205 x igual a 26 vírgula 3414...

Assim, a piscina ficará vazia em aproximadamente 26 min. Somando esse valor ao instante que se encerra a chuva, ela irá se esvaziar aproximadamente às 19 h 6 min.

Alternativa d: 19 h e 19 h 10 min

Para saber mais, leia também:

Rafael C. Asth
Revisão por Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Rosimar Gouveia
Edição por Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.