Regra de três composta

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Regra de três composta é um processo matemático utilizado na resolução de questões que envolvem a proporcionalidade direta ou inversa com mais de duas grandezas.

Para resolver uma questão com regra de três composta, você precisa basicamente seguir esses passos:

Verificar quais são as grandezas envolvidas;
Determinar qual o tipo de relação entre elas (direta ou inversa);
Efetuar os cálculos utilizando os dados disponibilizados.

Confira a seguir alguns exemplos que te ajudarão a entender como isso deve ser feito.

Regra de três composta com três grandezas

Se para alimentar uma família com 9 pessoas por 25 dias são necessários 5 kg de arroz, quantos kg seriam necessários para alimentar 15 pessoas durante 45 dias?

1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.

Pessoas	Dias	Arroz (kg)
9	25	5
15	45	X

2º passo: interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.

Analisando os dados da questão, vemos que:

O par pessoas e arroz são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais pessoas, maior será a quantidade de arroz necessária para alimentá-los.
O par dias e arroz são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais dias passarem, mais arroz será necessário para alimentar as pessoas.

3º passo: igualar a grandeza arroz ao produto das grandezas pessoas e dias.

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais a arroz, então a multiplicação de suas razões correspondem à razão da grandeza que se tem a incógnita X.

$5 sobre reto X igual a 9 sobre 15.25 sobre 45 5 sobre reto X igual a 225 sobre 675 225 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 5 espaço. espaço 675 reto X espaço igual a espaço numerador 3 espaço 375 sobre denominador 225 fim da fração reto X espaço igual a espaço 15$

Logo, 15 kg de arroz são necessários para alimentar 15 pessoas por 45 dias.

Veja também: Razão e proporção

Regra de três composta com quatro grandezas

Numa gráfica existem 3 impressoras que trabalham 4 dias, 5 horas diárias, e produzem 300 000 impressões. Se uma máquina precisar ser retirada para manutenção e as duas máquinas restantes trabalharem por 5 dias, fazendo 6 horas diárias, quantas impressões serão produzidas?

1º passo: agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.

Impressoras	Dias	Horas	Produção
A	B	C	D
3	4	5	300 000
2	5	6	X

2º passo: interpretar qual o tipo de proporcionalidade entre as grandezas.

Devemos relacionar a grandeza que contém a incógnita com as demais grandezas. Ao observar os dados da questão, percebemos que:

Impressoras e produção são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais impressoras trabalhando, maior a quantidade de impressões.
Dias e produção são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhando, maior a quantidade de impressões.
Horas e produção são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais horas trabalhando, maior a quantidade de impressões.

3º passo: igualar a grandeza produção ao produto das grandezas impressoras, dias e horas.

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais à produção, então a multiplicação de suas razões correspondem à razão da grandeza que se tem a incógnita X.

$numerador 300 espaço 000 sobre denominador reto X fim da fração igual a 3 sobre 2.4 sobre 5.5 sobre 6 numerador 300 espaço 000 sobre denominador reto X fim da fração igual a 60 sobre 60 60 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 60 espaço. espaço 300 espaço 000 reto X espaço igual a numerador 18 espaço 000 espaço 000 sobre denominador 60 fim da fração reto X espaço estreito igual a espaço 300 espaço 000$

Se duas máquinas trabalharem 5 horas por 6 dias o número de impressões não será afetado, continuarão produzindo 300 000.

Veja também: Regra de Três Simples e Composta.

Exercícios resolvidos sobre regra de três composta

Questão 1

(Unifor) Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

Ver Resposta

Resposta correta: 18 páginas.

O primeiro passo para responder a questão é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

Linhas	Letras	Páginas
A	B	C
45	80	6
30	40	X

A e C são inversamente proporcionais: quanto menos linhas em uma página, maior o número de páginas para ocupar todo o texto.
B e C são inversamente proporcionais: quanto menos letras em uma página, maior o número de páginas para ocupar todo o texto.

Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

$tabela linha com célula com tabela linha com 45 linha com 30 fim da tabela fim da célula fim da tabela seta para cima tabela linha com célula com tabela linha com 80 linha com 40 fim da tabela fim da célula fim da tabela seta para cima tabela linha com célula com tabela linha com 6 linha com reto X fim da tabela fim da célula fim da tabela seta para baixo$

Para encontrar o valor de X devemos inverter as razões de A e B, já que essas grandezas são inversamente proporcionais,

$6 sobre reto X igual a 30 sobre 45.40 sobre 80 seta na posição noroeste Razões espaço inversas 6 sobre reto X igual a numerador 1 espaço 200 sobre denominador 3 espaço 600 fim da fração 1 espaço 200 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 3 espaço 600 reto X espaço igual a espaço numerador 21 espaço 600 sobre denominador 1 espaço 200 fim da fração reto X espaço igual a espaço 18$

Considerando as novas condições, serão ocupadas 18 páginas.

Questão 2

(Vunesp) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será

a) 29
b) 30
b) 33
d) 28
e) 31

Ver Resposta

Alternativa correta: b) 30

O primeiro passo para responder a questão, é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

Funcionários	Horas	Dias
A	B	C
10	8	27
10 - 2 = 8	9	X

A e C são grandezas inversamente proporcionais: menos funcionários levarão mais dias para atender todas as pessoas.
B e C são grandezas inversamente proporcionais: mais horas trabalhadas por dia farão com que em menos dias todas as pessoas sejam atendidas.

Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

$10 sobre 8 seta para cima tabela linha com 8 linha com 9 fim da tabela seta para cima tabela linha com 27 linha com reto X fim da tabela seta para baixo$

Como as grandezas A e B são inversamente proporcionais, para encontrar o valor de X, devemos inverter suas razões.

$Error converting from MathML to accessible text.$

Assim, em 30 dias serão atendidos o mesmo número de pessoas.

Questão 3

(Enem) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9

Ver Resposta

Alternativa correta: c) 5

O primeiro passo para responder a questão, é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

Reservatório (m³)	Escoamento (h)	Ralos
A	B	C
900 m³	6	6
500 m³	4	X

A e C são grandezas diretamente proporcionais: se a capacidade do reservatório é menor, menos ralos poderão realizar o escoamento.
B e C são grandezas inversamente proporcionais: sendo menor o tempo para escoamento, maior deverá ser a quantidade de ralos.

Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

$900 sobre 500 seta para baixo tabela linha com 6 linha com 4 fim da tabela seta para cima tabela linha com 6 linha com reto X fim da tabela seta para baixo$

Como a grandeza A é diretamente proporcional ,sua razão é mantida. Já a grandeza B tem sua razão invertida por ser inversamente proporcional à C.

$6 sobre reto X igual a 900 sobre 500.4 sobre 6 seta na posição noroeste Razão espaço inversa 6 sobre reto X igual a numerador 3 espaço 600 sobre denominador 3 espaço 000 fim da fração 3 espaço 600 espaço. espaço reto X espaço igual a espaço 6 espaço. espaço 3 espaço 000 reto X espaço igual a espaço numerador 18 espaço 000 sobre denominador 3 espaço 600 fim da fração reto X espaço igual a espaço 5$

Assim, a quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a 5.

Continue praticando com os exercícios:

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.