Exercícios de Potenciação

A potenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Aproveite os exercícios comentados, propostos e questões de concursos para testar seus conhecimentos sobre a potenciação.

Questão 1

Determine o valor de cada uma das potências abaixo.

a) 251
b) 1500
c) (7/9)-2

Resposta correta: a) 25, b) 1 e c) 81/49.

a) Quando uma potência está elevada ao expoente 1, o resultado é a própria base. Portanto, 251 = 25.

b) Quando uma potência está elevada ao expoente 0, o resultado é o número 1. Portanto, 1500 = 1.

c) Neste caso, temos uma fração elevada a um expoente negativo. Para resolvê-la devemos inverter a base e mudar o sinal do expoente.

abre parênteses 7 sobre 9 fecha parênteses à potência de menos 2 fim do exponencial igual a espaço abre parênteses 9 sobre 7 fecha parênteses ao quadrado

Agora, podemos elevar o numerador e o denominador ao expoente 2.

abre parênteses 9 sobre 7 fecha parênteses ao quadrado igual a espaço 9 ao quadrado sobre 7 ao quadrado igual a 81 sobre 49

Questão 2

Sabendo que o valor de 57 é 78 125, qual o resultado de 58?

a) 156 250
b) 390 625
c) 234 375
d) 312 500

Resposta correta: b) 390 625.

Para resolver essa questão podemos transformar 58 em uma multiplicação de potências de bases iguais, pois ax . ay = ax+y

Como sabemos o valor de 57, transformamos o número 58 da seguinte forma:

58 = 57 . 5, pois 57 . 5 = 57+1 = 58

Sendo assim, para encontrar o resultado, precisamos apenas substituir o valor de 57 e multiplicar por 5.

57 . 5 = 78 125 . 5 = 390 625

Questão 3

As potências (-2)4 e -24 são iguais ou diferentes? E qual o resultado?

Resposta correta: As potências são diferentes e apresentam como resultados 16 e -16, respectivamente.

Quando a base de uma potência é um número negativo e está elevada a um expoente par, o resultado será positivo. Entretanto, para sinalizar que a base é negativa seu valor deve estar entre parênteses.

(- 2)4 = (- 2) x (- 2) x (- 2) x (- 2) = +16

Quando não há parênteses separando a base, deve-se incluir o sinal de negativo no resultado.

- 24 = - 16

Portanto, os resultados são: (- 2)4 = 16 e - 24 = - 16.

Saiba mais sobre a Potenciação.

Questão 4

Em um sítio há 12 árvores. Cada árvore possui 12 galhos e em cada galho tem 12 maçãs. Quantas maçãs existem no sítio?

a) 144
b) 1224
c) 1564
d) 1728

Resposta correta: 1 728 maçãs.

Temos uma potência onde o número 12 é a base e o número 3 é a quantidade de vezes que a base se repete.

Vamos tomar como exemplo uma das árvores. Em cada um dos 12 galhos de uma árvore encontram-se 12 maçãs, ou seja, 12 galhos vezes 12 maças: 12 x 12 = 144.

Só que no total temos 12 árvores, ou seja, 144 x 12 nos dá o número total de maçãs. Isso pode ser expresso na forma de potência.

12 x 12 x 12 = 123 = 1 728.

Portanto, o sítio apresenta 1 728 maçãs.

Questão 5

O valor da expressão 20x3 + 2x2y5, para x = - 4 e y = 2 é:

a) 256
b) - 400
c) 400
d) - 256

Resposta correta: d) - 256.

Para resolver a expressão o primeiro passo é substituir as letras pelos valores, assim a expressão ficará:

20 . (- 4)3 + 2 . (- 4)2 . 25

Devemos ter cuidado com os sinais ao resolver a potenciação. Quando a base é negativa o resultado será positivo se o expoente for par e será negativo quando o expoente for ímpar. Assim, a expressão ficará:

20 . (- 64) + 2 . (+16) . 32

Agora que já resolvemos as potenciações, vamos resolver as demais operações, lembrando que primeiro resolvemos as multiplicações e depois a subtração.

- 1280 + 1024 = - 256

Assim, a resposta correta é a alternativa d.

Questão 6

( 36 . 3-2 ) : 34 é igual a:

a) 0
b) 1
c) 3-3
d) 3-8

Resposta correta: b) 1.

Podemos resolver a expressão numérica proposta por dois caminhos. Um deles é resolver primeiro cada uma das potências e depois resolver as demais operações. O outro caminho é usar a propriedade da multiplicação e divisão de potências de mesma base. Vamos resolver por esses dois caminhos.

1ª maneira: Vamos resolver o valor de cada potência:

3 à potência de 6 igual a 3.3.3.3.3.3 igual a 729

3 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a 1 sobre 3 ao quadrado igual a numerador 1 sobre denominador 3.3 fim da fração igual a 1 sobre 9

3 à potência de 4 igual a 3.3.3.3 igual a 81

Agora vamos substituir os valores encontrados na expressão e resolver as operações indicadas. Lembrando que devemos resolver primeiro a operação dentro dos parênteses.

parêntese esquerdo 729.1 sobre 9 parêntese direito dois pontos 81 igual a 81 dois pontos 81 igual a 1

Assim, a resposta certa é a letra b.

2ª maneira: Por aplicar a propriedade, devemos lembrar que na multiplicação de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes. Já na divisão, repete-se a base e subtrai-se os expoentes. Assim, temos:

3 à potência de 6 mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito menos 4 fim do exponencial igual a 3 à potência de 0 igual a 1

Lembrando que todo número elevado a zero é igual a 1, chegamos ao mesmo resultado encontrado anteriormente.

Note que na 2ª forma encontramos o resultado mais facilmente. Portanto, é muito importante saber as propriedades da potenciação .

Questão 7

Simplificando a expressão abaixo, encontramos:

quarta raiz de numerador 2 à potência de 65 mais 2 à potência de 67 sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz

a) 2
b) 210
c) 215
d) 216

Resposta correta:d) 216.

Devemos observar que a operação entre as potências de base 2 é a soma. Portanto, teremos que encontrar uma forma de simplificar, pois mesmo tendo as bases iguais não podemos somar.

Uma forma de simplificar é tentar ficar com o mesmo expoente nas duas potências, assim, poderemos colocar em evidência. Para isso, vamos escrever o 267 como 265. 22, substituindo na expressão temos:

quarta raiz de numerador 2 à potência de 65 mais 2 à potência de 65.2 ao quadrado sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz

Podemos colocar o 265 em evidência da seguinte forma:

2 à potência de 65 espaço mais espaço 2 à potência de 65.2 ao quadrado espaço igual a espaço 2 à potência de 65. espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 ao quadrado espaço parêntese direito espaço igual a espaço 2 à potência de 65. espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 4 parêntese direito

Isso pode ser feito, pois 265 multiplicando os termos 1 e 4 tem como resultado a expressão inicial.

Simplificando os termos comuns, temos:

quarta raiz de numerador 2 à potência de 65. parêntese esquerdo 1 mais 4 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração fim da raiz igual a quarta raiz de numerador 2 à potência de 65. diagonal para cima risco 5 sobre denominador 2. diagonal para cima risco 5 fim da fração fim da raiz igual a quarta raiz de 2 à potência de 65 sobre 2 fim da raiz

Agora podemos aplicar a propriedade da divisão de potência de mesma base, lembrando que quando não aparece o expoente, seu valor é igual a 1.

quarta raiz de 2 à potência de 64 fim da raiz igual a 2 à potência de 16

Assim, a resposta será a letra d.

Questão 8

Calcule o valor da expressão abaixo:

numerador 3 à potência de x mais 2 fim do exponencial mais 3 à potência de x mais 1 fim do exponencial sobre denominador 3 à potência de x menos 1 fim do exponencial fim da fração

Resposta correta: 36.

Para resolver essa questão, primeiramente devemos reescrever os termos.

Na multiplicação de potências de mesma base podemos repetir a base e somar os expoentes.

3x.32 = 3x + 2

3x.3= 3x + 1

Na divisão de potências de mesma base podemos repetir a base e subtrair os expoentes.

numerador 3 reto x sobre denominador 3 fim da fração = 3x - 1

Substituindo os valores na expressão, temos:

numerador 3 à potência de reto x.3 ao quadrado espaço mais espaço 3 à potência de reto x.3 à potência de espaço em branco sobre denominador começar estilo mostrar 3 à potência de reto x sobre 3 fim do estilo fim da fração

Observe que no numerador o termo 3x se repete e, por isso, podemos colocá-lo em evidência.

numerador 3 à potência de reto x espaço parêntese esquerdo 3 ao quadrado espaço mais espaço 3 parêntese direito sobre denominador começar estilo mostrar 3 à potência de reto x sobre 3 fim do estilo fim da fração

Como temos uma divisão com fração repetimos o numerador da primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda para então resolver a expressão.

riscado diagonal para cima sobre 3 à potência de reto x fim do riscado parêntese esquerdo 3 ao quadrado espaço mais espaço 3 parêntese direito espaço. espaço numerador 3 sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 3 à potência de reto x fim do riscado fim da fração espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 ao quadrado mais 3 parêntese direito.3 espaço igual a espaço parêntese esquerdo 9 mais 3 parêntese direito.3 espaço igual a espaço 12.3 espaço igual a espaço 36

Portanto, valor da expressão é 36.

Questão 9

Verifique se as sentença são falsas ou verdadeiras:

a) (x . y)4 = x4 . y4
b) (x + y)4 = x4 + y4
c) (x - y)4 = x4 - y4
d) (x + y)0 = 1

a) Verdadeira. Nessa potência, cuja base é uma multiplicação, os fatores podem ser elevados separadamente ao expoente antes de serem multiplicados.

b) Falsa. A expressão é um binômio de newton do tipo (a + b)n. Nesse caso, temos um binômio de grau 4, cujo resultado é:

parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço reto y parêntese direito à potência de 4 espaço igual a reto x à potência de 4 fim do exponencial espaço mais espaço 4 reto x ao cubo reto y espaço mais espaço 6 reto x ao quadrado reto y ao quadrado espaço mais espaço 4 xy ao cubo espaço mais espaço reto y à potência de 4

c) Falsa. A expressão é um binômio de Newton do tipo (a - b)n. A resposta correta é um polinômio:

parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço reto y parêntese direito à potência de 4 espaço igual a reto x à potência de 4 espaço menos espaço 4 reto x ao cubo reto y espaço mais espaço 6 reto x ao quadrado reto y ao quadrado espaço menos espaço 4 xy ao cubo espaço mais espaço reto y à potência de 4

d) Verdadeira. Trata-se de uma potência com expoente 0 e, portanto, seu resultado deve ser 1.

Questão 10

O valor de (0,3)-1 + (- 27)0,333... é:

Resposta correta: 1/3.

Para resolver a questão, primeiramente devemos reescrever os números 0,3 e 0,333... como frações.

0 vírgula 3 espaço igual a espaço 3 sobre 10

Observe que, neste caso, apenas escrevemos o número no numerador e ao denominador acrescentamos a quantidade de zeros que corresponde ao número de casas decimais após a vírgula, que é apenas uma.

0,333... é uma dízima periódica e precisamos encontrar sua fração geratriz.

Para isso, escrevemos o número que se repete na dízima periódica no numerador e dividimos por 9.

0 vírgula 333... espaço igual a espaço 3 sobre 9

Agora, podemos substituir os valores na expressão.

parêntese esquerdo 3 sobre 10 parêntese direito à potência de menos 1 fim do exponencial mais parêntese esquerdo menos 3 ao cubo parêntese direito à potência de 3 sobre 9 fim do exponencial

O primeiro termo da expressão tem um expoente negativo. Para torná-lo positivo devemos inverter a base da potência.

numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 3 sobre 10 fim do estilo fim da fração mais parêntese esquerdo menos 3 ao cubo parêntese direito à potência de 3 sobre 9 fim do exponencial

O segundo termo apresenta uma fração como expoente. Podemos então transformá-lo em uma raiz.

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A divisão com fração é resolvida repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso da segunda.

1 espaço. espaço 10 sobre 3 mais índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 ao cubo parêntese direito ao cubo fim da raiz espaço igual a espaço 10 sobre 3 espaço mais índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 ao cubo parêntese direito ao cubo fim da raiz

Dentro da raiz temos a potência de uma potência. Para resolvê-la devemos manter a base e multiplicar os expoentes.

10 sobre 3 espaço mais índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 ao cubo parêntese direito ao cubo fim da raiz espaço igual a 10 sobre 3 espaço mais espaço índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito à potência de 3.3 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço 10 sobre 3 mais índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito à potência de 9 fim da raiz

Como o expoente dentro da raiz tem o mesmo valor do índice do radical, podemos eliminar a raiz e resolver a expressão.

10 sobre 3 mais índice radical 9 de parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito à potência de 9 fim da raiz espaço igual a espaço 10 sobre 3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito espaço igual a espaço numerador 10 mais parêntese esquerdo menos 9 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração espaço igual a espaço 1 terço

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Questão 11

(UFRGS - 2015) O algarismo das unidades de 999 – 444 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Alternativa correta: c) 3.

Observe a seguir os resultados quando elevamos as bases da expressão da primeira até a quinta potência.

9 à potência de 1 igual a espaço 9 9 ao quadrado igual a espaço 81 9 ao cubo igual a espaço 279 9 à potência de 4 igual a espaço 6 espaço 591 9 à potência de 5 igual a espaço 59 espaço 049 4 à potência de 1 igual a espaço 4 4 ao quadrado igual a espaço 16 4 ao cubo igual a espaço 64 4 à potência de 4 igual a espaço 256 9 à potência de 5 igual a espaço 1 espaço 024

Nota-se que há o seguinte padrão:

O número 9 quando elevado a um expoente ímpar apresenta o número 9 na casa das unidades e quando elevado a um expoente par apresenta o número 1 na casa das unidades.

O número 4 quando elevado a um expoente ímpar apresenta o número 4 na casa das unidades e quando elevado a um expoente par apresenta o número 6 na casa das unidades.

Portanto, no algarismo das unidades ao efetuar a expressão 999 – 444 encontraremos o número 3, pois 9 - 6 = 3.

Veja também um resumo sobrePotenciação e radiciação.

Questão 12

(UFRGS - 2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como

a) 109
b) 1010
c) 1011
d) 1012
e) 1013

Alternativa correta: c) 1011

Um bilhão é a mesma coisa que mil milhões, ou seja, 1000 x 1 000 000 = 1 000 000 000.

100 bilhões é igual a 100 x 1 000 000 000 = 100 000 000 000.

Números grandes como o dessa questão podem ser escritos em notação científica, cuja escrita segue o padrão N . 10n, onde N é um número menor que 10 e maior ou igual a 1. Já o expoente da base 10 é o número de casas decimais que a vírgula "andou" para obtermos o valor de N.

tabela linha com 1 vírgula 0 0 0 0 linha com blank seta para cima blank blank blank blank fim da tabela tabela linha com 0 0 0 0 0 0 linha com blank blank blank blank blank blank fim da tabela tabela linha com 0 linha com blank fim da tabela

Observe que para chegar até ao número 11 foi preciso "andar" 11 casas decimais. Portanto, temos a potência 1011 como resultado.

Saiba mais sobre Notação Científica.

Questão 13

(Enem - 2012) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

Questão do Enem do Asteroide

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a

a) 3,25 .102 km
b) 3,25 .103 km
c) 3,25 . 104 km
d) 3,25 . 105 km
e) 3,25 . 106 km

Alternativa correta: d) 3,25 . 105 km

Na figura, está indicada a a menor distância que ele passou da superfície terrestre, que é 325 mil km, ou seja, 325 000 km.

Esse número deve ser escrito em notação científica. Para isso, devemos "andar" com a vírgula até encontrar um número menor que 10 e maior ou igual a 1. O número de casas decimais que a vírgula "andou" corresponde ao expoente da base 10 na fórmula N . 10n.

tabela linha com 3 vírgula 2 5 0 0 linha com blank seta para cima blank blank blank blank fim da tabela tabela linha com 0 linha com blank fim da tabela

Chegamos ao número 3,25 e, para isso, a vírgula "andou" 5 casas decimais. Portanto, em notação científica, a proximidade do asteroide em relação à Terra é 3,25. 105 km.

Para mais questões sobre esse tema, veja Notação Científica - Exercícios.

Questão 14

(EPCAR - 2011) Simplificando-se a expressão

reto S igual a numerador parêntese esquerdo reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 2 à potência de 2 ao quadrado fim do exponencial fim do exponencial. abre colchetes tabela linha com célula com parêntese esquerdo menos reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 3 à potência de 2 ao quadrado fim do exponencial fim do exponencial fim da célula linha com blank fim da tabela fecha colchetes à potência de menos 1 fim do exponencial sobre denominador reto x à potência de 2 ao cubo fim do exponencial. abre colchetes tabela linha com célula com parêntese esquerdo menos reto x ao cubo parêntese direito à potência de 3 ao quadrado fim do exponencial fim da célula linha com blank fim da tabela fecha colchetes à potência de 2 ao cubo fim do exponencial fim da fração onde espaço reto x não igual 0 vírgula espaço reto x não igual 1 espaço reto e espaço reto x não igual menos 1 vírgula espaço obtém menos se

a) - x -94
b) x94
c) x -94
d) - x94

Alternativa correta: a) -x -94

Primeiramente, reescrevemos os expoentes que estão na forma de potência.

2 ao cubo espaço igual a espaço 8 3 ao quadrado espaço igual a espaço 9 2 à potência de 2 ao quadrado fim do exponencial espaço igual a espaço 2 à potência de 2.2 fim do exponencial espaço igual a espaço 2 à potência de 4 espaço igual a 16 3 à potência de 2 ao quadrado fim do exponencial espaço igual a espaço 3 à potência de 2.2 fim do exponencial espaço igual a espaço 3 à potência de 4 espaço igual a 81

Substituindo os valores na expressão, temos:

reto S igual a numerador parêntese esquerdo reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 16. espaço abre colchetes parêntese esquerdo menos reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 81 fecha colchetes à potência de menos 1 fim do exponencial sobre denominador reto x à potência de 8. abre colchetes parêntese esquerdo menos reto x ao cubo parêntese direito à potência de 9 fecha colchetes à potência de 8 fim da fração

Como temos potências elevadas a outros expoentes, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

parêntese esquerdo reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 16 espaço igual a espaço reto x à potência de menos 2.16 fim do exponencial igual a espaço reto x à potência de menos 32 fim do exponencial abre colchetes parêntese esquerdo menos reto x à potência de menos 2 fim do exponencial parêntese direito à potência de 81 fecha colchetes à potência de menos 1 fim do exponencial igual a espaço menos reto x à potência de parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito.81. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim do exponencial igual a menos espaço reto x à potência de 162 abre colchetes parêntese esquerdo menos reto x ao cubo parêntese direito à potência de 9 fecha colchetes à potência de 8 espaço igual a espaço menos reto x à potência de 3.9.8 fim do exponencial igual a espaço menos reto x à potência de 216

Podemos então inserir na expressão os valores calculados.

reto S espaço igual a numerador reto x à potência de menos 32 fim do exponencial. espaço parêntese esquerdo menos reto x à potência de 162 parêntese direito sobre denominador reto x à potência de 8 espaço. parêntese esquerdo menos reto x à potência de 216 parêntese direito fim da fração igual a menos numerador reto x à potência de menos 32 fim do exponencial. espaço reto x à potência de 162 sobre denominador reto x à potência de 8 espaço. espaço reto x à potência de 216 fim da fração

Tanto no numerador quanto no denominador há a multiplicação de potências de bases iguais. Para resolvê-las devemos repetir a base e somar os expoentes.

reto S espaço igual a menos numerador reto x à potência de menos 32 fim do exponencial. espaço reto x à potência de 162 sobre denominador reto x à potência de 8 espaço. espaço reto x à potência de 216 fim da fração igual a menos numerador reto x à potência de menos 32 mais 162 fim do exponencial sobre denominador reto x à potência de 8 mais 216 fim do exponencial espaço fim da fração igual a menos reto x à potência de 130 sobre reto x à potência de 224

Agora, como devemos a divisão de potências de mesma base, podemos repetir a base e subtrair os expoentes.

reto S espaço igual a menos reto x à potência de 130 sobre reto x à potência de 224 igual a menos espaço reto x à potência de 130 menos 224 fim do exponencial igual a menos espaço reto x à potência de menos 94 fim do exponencial

Portanto, a alternativa correta é a letra a, cujo resultado é -x -94.

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Questão 15

(Enem - 2016) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.

Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é

a) 3 × 345
b) (3 + 3 + 3) × 345
c) 33 × 345
d) 3 × 4 × 345
e) 34 × 345

Alternativa correta: c) 33 × 345

Nessa questão temos um caso de progressão geométrica, pois um número multiplicado por uma razão (q) estabelecida corresponderá ao próximo número da sequência, conforme a fórmula: reto a com reto n subscrito espaço igual a espaço reto a com 1 subscrito espaço. espaço reto q à potência de parêntese esquerdo reto n menos 1 parêntese direito fim do exponencial.

Onde:

an: último dia do evento, ou seja, dia 4.
a1: número de participantes no primeiro dia do evento, que é 345.
q(n-1): razão, cujo expoente é formado pelo número que queremos obter menos 1.

reto a com 4 subscrito espaço igual a espaço reto a com 1 subscrito espaço. espaço reto q à potência de parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito fim do exponencial

De acordo com as experiências anteriores, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado, ou seja, q = 3.

Substituindo os valores na fórmula do termo geral, temos:

reto a com 4 subscrito espaço igual a espaço 345 espaço. espaço 3 à potência de parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito fim do exponencial reto a com 4 subscrito espaço igual a espaço 345 espaço. espaço 3 ao cubo reto a com 4 subscrito espaço igual a 345 espaço. espaço 27 reto a com 4 subscrito espaço igual a 9 espaço 315

Sendo assim, são esperadas 9 315 pessoas para o último dia do evento e representação possível do número esperado de participantes para o último dia é 33 × 345.

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