Propriedades da potenciação

Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

A potenciação corresponde à multiplicação de fatores iguais, que pode ser escrita de forma simplificada utilizando uma base e um expoente. A base é o fator que se repete e o expoente é o número de repetições.

$tabela linha com blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank linha com blank célula com espaço espaço espaço espaço negrito espaço negrito a à potência de negrito n fim da célula seta para a direita célula com reto n º espaço de espaço reptições fim da célula blank linha com célula com fator espaço repetido fim da célula seta para baixo com canto para a esquerda blank blank blank linha com blank blank blank blank blank linha com blank blank blank blank blank fim da tabela$

Para resolver problemas com potências é necessário conhecer as suas propriedades. Veja a seguir as principais propriedades utilizadas em operações com potências.

1. Multiplicação de potências de mesma base

No produto de potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes.

a^m . aⁿ = a^{m + n}

Exemplo: 2² . 2³ = 2²⁺³= 2⁵ = 32

2. Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base conservamos a base e subtraímos os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}

Exemplo: 2⁴ : 2²= 2^4-2 = 2² = 4

3. Potência de potência

Quando a base de uma potência também é uma potência devemos multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^m.n

Exemplo: (3²)⁵ = 3^2.5 = 3¹⁰ = 59 049

4. Potência de produto

Quando a base de uma potência é um produto elevamos cada fator à potência.

(a . b)^m = a^m . b^m

Exemplo: (2 . 3)² = 2² . 3² = 4 . 9 = 36

5. Potência de quociente

Quando a base de uma potência é uma divisão elevamos cada fator ao expoente.

$abre parênteses reto a sobre reto b fecha parênteses à potência de reto m igual a reto a à potência de reto m sobre reto b à potência de reto m$

Exemplo: (2/3)² = 2²/3² = 4/9

6. Potência de quociente e expoente negativo

Quando a base de uma potência é uma divisão e o expoente é negativo inverte-se a base e o sinal do expoente.

$abre parênteses reto a sobre reto b fecha parênteses à potência de menos reto n fim do exponencial igual a abre parênteses reto b sobre reto a fecha parênteses à potência de reto n$

Exemplo: (2/3)^-2 = (3/2)² = 3²/2² = 9/4

7. Potência de expoente negativo

Quando o sinal de uma potência for negativo devemos inverter a base para tornar o expoente positivo.

$reto a à potência de menos reto n fim do exponencial espaço igual a espaço 1 sobre reto a à potência de reto n vírgula espaço reto a espaço não igual espaço 0$

Exemplo: (2)^-4 = (1/2)⁴ = 1/16

8. Potência com expoente racional

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Portanto, podemos transformar um expoente fracionário em um radical.

$reto a à potência de reto m sobre reto n fim do exponencial igual a espaço reto n enésima raiz de reto a à potência de reto m fim da raiz$

Exemplo: 5^1/2 = √5

9. Potência com expoente igual a 0

Quando uma potência apresenta expoente igual a 0, o resultado será 1.

a⁰ = 1

Exemplo: 4⁰ = 1

10. Potência com expoente igual a 1

Quando uma potência apresenta expoente igual a 1, o resultado será a própria base.

a¹ = a

Exemplo: 5¹ = 5

11. Potência de base negativa e expoente ímpar

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número ímpar, então, o resultado é um número negativo.

Exemplo: (- 2)³ = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - 8

12. Potência de base negativa e expoente par

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número par, então, o resultado é um número positivo.

Exemplo: (- 3)²= (- 3) x (- 3) = + 9

Exercícios sobre propriedades da potenciação

Questão 1

Sabendo que o valor de 4⁵ é 1024, qual o resultado de 4⁶?

a) 2 988
b) 4 096
c) 3 184
d) 4 386

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Resposta correta: b) 4 096.

Observe que 4⁵ e 4⁶ possuem as mesmas bases. Portanto, a potência 4⁶ pode ser reescrita como um produto de potências de mesma base.

4⁶ = 4⁵ . 4¹

Como sabemos o valor de 4⁵ basta substituí-lo na expressão e multiplicar por 4, pois potência com expoente 1 tem como resultado a própria base.

4⁶= 4⁵ . 4¹ = 1024 . 4 = 4 096.

Questão 2

Com base nas propriedades da potenciação, qual das sentenças abaixo está correta?

a) (x . y)² = x² . y²
b) (x + y)² = x² + y²
c) (x - y)² = x² – y²
d) (x + y)⁰ = 0

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Resposta correta: a) (x . y)² = x². y².

a) Neste caso temos a potência de um produto e, por isso, os fatores são elevados ao expoente.

b) O correto seria (x + y)² = x² + 2xy + y².

c) O correto seria (x - y)² = x² - 2xy + y².

d) O resultado correto seria 1, pois toda potência elevada ao expoente zero tem como resultado 1.

Questão 3

Aplique as propriedades das potências para efetuar a simplificação da expressão a seguir.

(2⁵ . 2^-4) : 2³

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Resposta correta: 1/4.

Iniciamos a resolução da alternativa pelo que está dentro dos parênteses.

2⁵ . 2^-4 é a multiplicação de potências de bases iguais e, por isso, repetimos a base e somamos os expoentes.

2^{5 + (-4)} = 2¹

(2⁵ . 2^-4) : 2³ = 2¹ : 2³

Agora, a expressão se transformou em uma divisão de potências de mesma base. Por isso, vamos repetir a base e subtrair os expoentes.

2¹ : 2³ = 2^1-3= 2^-2

Como o resultado é uma potência de expoente negativo, devemos inverter a base e o sinal do expoente.

2^-2 = (1/2)²

Quando a potência tem como base um quociente podemos elevar cada termo ao expoente.

1²/2² = 1/4

Portanto, (2⁵ . 2^-4) : 2³ = 1/4.

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Revisão por Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.