Potência com expoente fracionário: como resolver, exemplos e exercício

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Uma potência com expoente fracionário ou, potência fracionária, é a que possui uma fração como expoente e um número real como base.

A potência $reto b à potência de 3 sobre 2 fim do exponencial$ com base b e expoente 3/2 é fracionária, pois seu expoente é uma fração. De forma geral, podemos representar $reto b à potência de reto n sobre reto d fim do exponencial$ , onde o expoente é um número racional, de numerador n e denominador d.

Como resolver uma potência fracionária

Para resolver uma potência com expoente fracionário, utilizamos a operação inversa, a radiciação. Isto significa transformar a potência fracionária em uma raiz.

A potência $reto b à potência de reto n sobre reto d fim do exponencial$ na forma de raiz fica: $reto d enésima raiz de reto b à potência de reto n fim da raiz$ .

Para transformar uma potência com expoente fracionário em raiz, seguimos os passos:

A base da potência se transforma na base do radicando (o número na raiz);
O numerador da fração se transforma no expoente do radicando;
O denominador se transforma no índice da raiz.

Exemplos de potências fracionárias transformadas em raízes:

$marca espaço 5 à potência de 3 sobre 2 fim do exponencial igual a quadrada raiz de 5 ao cubo fim da raiz marca espaço 9 à potência de 5 sobre 6 fim do exponencial igual a índice radical 6 de 9 à potência de 5 fim da raiz marca espaço 7 à potência de 8 sobre 3 fim do exponencial igual a cúbica raiz de 7 à potência de 8 fim da raiz$

Cálculo das potências com expoentes fracionários

Uma vez que a potência tenha sido transformada em raiz, devemos resolvê-la.

Exemplos:

$marca espaço 4 à potência de 4 sobre 2 fim do exponencial igual a quadrada raiz de 4 à potência de 4 fim da raiz igual a quadrada raiz de 256 igual a 16 marca espaço 8 à potência de 1 terço fim do exponencial igual a cúbica raiz de 8 à potência de 1 fim da raiz igual a cúbica raiz de 8 igual a 2$

Exercício de potências com expoente fracionário

Resolva as potências com expoente fracionário.

a) $16 à potência de 2 sobre 4 fim do exponencial$

b) $49 à potência de 3 sobre 2 fim do exponencial$

c) $25 à potência de 2 sobre 3 fim do exponencial$

d) $abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 4 sobre 3 fim do exponencial$

Ver Resposta

a) O 4 no denominador se transforma no índice da raiz, e o numerador da fração, o 2, no expoente do radicando.

$16 à potência de 2 sobre 4 fim do exponencial espaço igual a espaço quarta raiz de 16 ao quadrado fim da raiz$

Elevando 16 ao quadrado,

$quarta raiz de 16 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço quarta raiz de 256$

Fatorando o 256,

$256 espaço igual a espaço 2 à potência de 8 igual a 2 à potência de 4. espaço 2 à potência de 4$

Na raiz,

$quarta raiz de 256 igual a quarta raiz de 2 à potência de 4. espaço 2 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a espaço quarta raiz de 2 à potência de 4 fim da raiz. espaço quarta raiz de 2 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a espaço 2 à potência de 4 sobre 4 fim do exponencial. espaço 2 à potência de 4 sobre 4 fim do exponencial igual a 2 à potência de 1. espaço 2 à potência de 1 igual a 4$

Outra forma de começar o exercício é simplificando, quando possível, a fração do expoente.

$16 à potência de 2 sobre 4 fim do exponencial igual a 16 à potência de 1 meio fim do exponencial$

Transformando em raiz,

$16 à potência de 1 meio fim do exponencial igual a espaço quadrada raiz de 16 espaço igual a espaço 4$

b) Transformando a potência em fração:

$49 à potência de 3 sobre 2 fim do exponencial igual a quadrada raiz de 49 ao cubo fim da raiz$

Utilizando a propriedade de potências de mesma base, podemos fazer:

$quadrada raiz de 49 ao cubo fim da raiz igual a quadrada raiz de 49 ao quadrado. espaço 49 à potência de 1 fim da raiz$

Separando os radicais,

$quadrada raiz de 49 ao quadrado fim da raiz. espaço quadrada raiz de 49 à potência de 1 fim da raiz igual a 49 à potência de 2 sobre 2 fim do exponencial. espaço quadrada raiz de 49 espaço igual a 49 espaço. espaço 7 igual a 343$

c) Transformando em potência:

$25 à potência de 2 sobre 3 fim do exponencial igual a cúbica raiz de 25 ao quadrado fim da raiz espaço igual a cúbica raiz de 625$

Fatorando o 625,

$625 espaço igual a espaço 5 à potência de 4$

Substituindo na raiz,

$cúbica raiz de 625 igual a cúbica raiz de 5 à potência de 4 fim da raiz igual a cúbica raiz de 5 ao cubo fim da raiz. espaço cúbica raiz de 5 à potência de 1 fim da raiz espaço igual a 5 à potência de 3 sobre 3 fim do exponencial. espaço cúbica raiz de 5 à potência de 1 fim da raiz igual a 5 à potência de 1 espaço. espaço espaço cúbica raiz de 5 espaço igual a 5 cúbica raiz de 5$

d) Transformando a potência em raiz:

$abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 4 sobre 3 fim do exponencial igual a cúbica raiz de abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 4 fim da raiz$

Podemos utilizar a propriedade de potências de mesma base, desta forma:

$abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 4 sobre 3 fim do exponencial igual a cúbica raiz de abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 4 fim da raiz igual a cúbica raiz de abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses ao cubo. espaço abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 1 fim da raiz igual a$

Desmembrando o radical,

$cúbica raiz de abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses ao cubo fim da raiz espaço. espaço cúbica raiz de abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 1 fim da raiz igual a abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 3 sobre 3 fim do exponencial. espaço cúbica raiz de 8 sobre 27 fim da raiz igual a abre parênteses 8 sobre 27 fecha parênteses à potência de 1 espaço. espaço numerador cúbica raiz de 8 sobre denominador cúbica raiz de 27 fim da fração igual a 8 sobre 27 espaço. espaço 2 sobre 3 igual a 16 sobre 81$

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Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.