Radiciação

Rosimar Gouveia

Radiciação é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidades de vezes dá um valor que conhecemos.

Exemplo

Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?

Por tentativa podemos descobrir que:

5 x 5 x 5 = 125

Logo, o 5 é o número que estamos procurando.

Símbolo da Radiciação

Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:

simbolo de raiz

Sendo,

n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo.
X o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo.

Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa raiz é chamada de raiz quadrada.

A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de raiz cúbica.

Exemplos

3√27 (Lê-se raiz cúbica de 27)
5√32 (Lê-se raiz quinta de 32)
√400 (Lê-se raiz quadrada de 400)

Propriedades da Radiciação

As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais.

propriedades da radiciação

Radiciação e Potenciação

A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz proposta.

Exemplos

a) √81= 9, pois sabemos que 92 = 81
b) 4√10 000 = 10, pois sabemos que 104 = 10 000

Simplificação de Radicais

Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.

Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:

1º) Fatorar o número em fatores primos.
2º) Escrever o número na forma de potência.
3º) Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).

Exemplo

Calcule 5√ 243

Primeiro transformar o número 243 em fatores primos:

fatoração 243

243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

Depois colocar o resultado na raiz:

5√243 = 5√35

Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro.

5 : 5√35 : 5, note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical.

Assim,

5√243 = 3

Racionalização de Denominadores

A racionalização de denominadores consiste em transformar uma fração que apresenta um número irracional no denominador, em uma fração equivalente com denominador racional.

Exemplos

racionalização de denominadores

Operações com Radicais

Soma e Subtração

Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais.

1º caso – Radicais semelhantes

Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes.

Exemplos

a) 20 6√ 3 + 103 6√ 3 = 123 6√ 3
b) 5√13 – 43 5√13 = 13 5√13
c) 2 3√5 + 8 3√ 5 – 4 3√5 = 6 3√5

2º caso – Radicais semelhantes após simplificação

Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior.

Exemplos

a) 8 √ 6 + 9 √ 24 = 8 √ 6 + 9 √ (22. 2. 3) = 8 √ 6 + (9.2) √ 6 = 26 √ 6
b) 5 3√ 81 - 4 3√ 3 = 5 3√ (33. 3) - 4 3√ 3 = 5.3 3√ 3 - 4 3√ 3 = 15 3√ 3 – 4 3√ 3 = 11 3√ 3

3º caso – Radicais não são semelhantes

Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.

Exemplos

a) √81 + √25 = 9 + 5 = 14
b) √5 - √2 = 2,24 - 1,41 = 0,82 (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)

Multiplicação e Divisão

1º caso - Radicais com mesmo índice

Repete a raiz e multiplica ou divide os radicandos.

Exemplos

a) 3√ 7 . 3√ 4 = 3√(7 .4) = 3√28
b) 5√ 194 : 5√ 97 = 5√ (194 : 97) = 5√2

2º caso - Radicais com índices diferentes

Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois podemos multiplicar ou dividir os radicandos.

Exemplos

a) 3√ 6 . √ 3 = 3x2√ 61x2 . 2x3√ 31x3 = 6√ 36 . 6√ 27 = 6√ 972
b) 3√ 4 : 5√ 8 = 3x5√ 41x5 : 5x3√ 81x3 = 15√ (1024 : 512) = 15√ 2

Saiba também sobre

Exercícios

1) ENEM – 2010

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

159enem 2010

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a

a) 0,4 cm/kg1/3
b) 2,5 cm/kg1/3
c) 8 cm/kg1/3
d) 20 cm/kg1/3
e) 40 cm/kg1/3

Alternativa e : 40 cm/kg1/3

2) ENEM - 2013 (adaptado)

Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:


enem 2013153

Alternativa d : S = 3√K . 3√M2

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.