Simplificação de radicais

A simplificação de radicais consiste na realização de operações matemáticas para escrever a raiz de maneira mais simples e equivalente ao radical.

Através disso, é possível que as expressões com esses termos sejam facilmente manipuladas.

Antes de mostrar os métodos de simplificação, relembre os termos de um radical.

tabela linha com radical blank blank blank linha com seta para baixo blank blank blank linha com célula com índice radical índice seta para a direita reto n de espaço espaço espaço espaço reto x à potência de reto y seta para a esquerda expoente fim do exponencial fim da raiz espaço espaço fim da célula célula com igual a espaço reto z fim da célula seta para a esquerda raiz linha com seta para cima blank blank blank linha com radicando blank blank blank fim da tabela

As simplificações podem ser feitas utilizando as propriedades dos radicais. Confira a seguir como cada propriedade pode te ajudar a realizar os cálculos.

1° caso: existência de um fator comum

Quando o índice do radical e o expoente do radicando apresentam um fator comum realizamos uma divisão desses dois termos pelo divisor em questão.

Como fazer: reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço índice radical reto n dividido por reto p de reto x à potência de reto m dividido por reto p fim do exponencial fim da raiz

Exemplos:

índice radical 8 de 5 à potência de 6 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 8 dividido por 2 de 5 à potência de 6 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a quarta raiz de 5 ao cubo fim da raiz índice radical 6 de 7 à potência de 10 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 6 dividido por 2 de 7 à potência de 10 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a cúbica raiz de 7 à potência de 5 fim da raiz índice radical 10 de 3 à potência de 4 fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 10 dividido por 2 de 3 à potência de 4 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a quinta raiz de 3 ao quadrado fim da raiz

2° caso: expoente igual ao índice

Quando o radicando apresenta o expoente igual ao índice do radical podemos retirar a sua base de dentro da raiz.

Como fazer: reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n reto y fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz espaço. espaço reto n enésima raiz de reto y espaço fim da raiz igual a espaço reto x espaço reto n enésima raiz de reto y

Exemplos:

cúbica raiz de 8 espaço igual a espaço cúbica raiz de 2.2.2 fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz espaço igual a espaço 2 índice radical espaço em branco de 75 espaço igual a espaço raiz quadrada de 5.5.3 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado.3 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz. índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 3 raiz quadrada de 25 reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5.5. reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado. reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz. índice radical espaço em branco de reto x ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 5 reto x

3º caso: adição de um fator externo

Quando se deseja transformar uma expressão em apenas um radical, pode-se introduzir um fator externo no radicando. Para isso, o termo adicionado deve possuir o expoente com mesmo valor do índice.

Como fazer: reto y espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de espaço em branco fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x espaço. espaço reto y à potência de reto n fim da raiz

Exemplo:

quinta raiz de reto x cúbica raiz de reto x fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de cúbica raiz de reto x. reto x ao cubo fim da raiz fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 5.3 de reto x à potência de 1 mais 4 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 15 de reto x à potência de 4 fim da raiz

4º caso: expressões com o mesmo radical

Quando uma expressão algébrica apresenta radicais semelhantes, pode-se simplificar a expressão reduzindo-a a um só termo.

Como fazer: reto a índice radical espaço em branco de reto x espaço mais espaço reto b índice radical espaço em branco de reto x espaço menos espaço reto c índice radical espaço em branco de reto x espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto a espaço mais espaço reto b espaço menos espaço reto c parêntese direito índice radical espaço em branco de reto x

Exemplo:

10 índice radical espaço em branco de 3 espaço mais espaço 5 índice radical espaço em branco de 3 espaço menos espaço 11 índice radical espaço em branco de 3 espaço mais espaço índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço parêntese esquerdo 10 espaço mais espaço 5 espaço menos 11 espaço mais 1 parêntese direito índice radical espaço em branco de 3 espaço igual a espaço 5 índice radical espaço em branco de 3

5º caso: radicais de mesmo índice em uma multiplicação

Quando dois radicais de mesmo índice são multiplicados, a simplificação pode ser feita transformando-os em um só radical e multiplicando-se os radicandos.

Como fazer: reto n enésima raiz de reto x espaço. espaço reto n enésima raiz de reto y espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x. reto y fim da raiz espaço

Exemplos:

raiz quadrada de 2 espaço. espaço raiz quadrada de 7 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 espaço. espaço 7 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 14 2 índice radical espaço em branco de 6 espaço. espaço 5 índice radical espaço em branco de 2 espaço igual a espaço 2.5 índice radical espaço em branco de 6.2 fim da raiz espaço igual a espaço estreito 10 raiz quadrada de 12 espaço igual a espaço 10 raiz quadrada de 2 ao quadrado.3 fim da raiz igual a 10.2 raiz quadrada de 3 igual a 20 raiz quadrada de 3 quinta raiz de reto a ao cubo reto b fim da raiz espaço. espaço quinta raiz de reto a ao quadrado reto b fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a ao cubo. reto b. reto a ao quadrado. reto b fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a à potência de 3 mais 2 fim do exponencial. reto b à potência de 1 mais 1 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço quinta raiz de reto a à potência de 5. reto b ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço reto a quinta raiz de reto b ao quadrado fim da raiz espaço

6º caso: radical com fração

Quando há uma fração como radicando, a expressão pode ser reescrita como o quociente das raízes.

Como fazer: raiz quadrada de reto x sobre reto y fim da raiz espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de reto x sobre denominador raiz quadrada de reto y fim da fração

Exemplos:

raiz quadrada de 6 espaço dividido por espaço raiz quadrada de 2 espaço igual a espaço raiz quadrada de 6 sobre 2 fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 3 numerador raiz quadrada de 150 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração igual a raiz quadrada de 150 sobre 3 fim da raiz igual a raiz quadrada de 50 espaço igual a espaço raiz quadrada de 5 ao quadrado.2 fim da raiz espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 2

7º caso: radical no denominador da fração

Quando o denominador de uma fração apresenta um radical, podemos eliminá-lo da seguinte forma:

Como fazer: numerador reto a sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração igual a numerador reto a sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração. numerador raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b. reto b fim da raiz fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador raiz quadrada de reto b ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador reto a raiz quadrada de reto b sobre denominador reto b fim da fração

Exemplos:

numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração. numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2.2 fim da raiz fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador raiz quadrada de 2 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 2 sobre denominador 2 fim da fração numerador 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 fim da fração igual a numerador 2 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 fim da fração. numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador raiz quadrada de 5 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5.5 fim da raiz fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3 raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 3.5 fim da fração igual a numerador 2 raiz quadrada de 5 sobre denominador 15 fim da fração

Agora, teste seus conhecimentos com questões comentadas em exercícios sobre simplificação de radicais.