Exercícios de Radiciação

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.

Questão 1

Fatore o radicando de raiz quadrada de 144 e encontre o resultado da raiz.

Resposta correta: 12.

1º passo: fatorar o número 144

tabela linha com célula com tabela linha com 144 linha com 72 linha com 36 linha com 18 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela fim da célula fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela

2º passo: escrever 144 na forma de potência

144 espaço igual a espaço 2.2.2.2.3.3 espaço igual a espaço 2 à potência de 4.3 ao quadrado

Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24

Portanto, 144 espaço igual a espaço 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado

3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada

raiz quadrada de 144 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado fim da raiz

Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz igual a reto x podemos eliminar a raiz e resolver a operação.

raiz quadrada de 144 igual a raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado fim da raiz igual a 2.2.3 igual a 12

Questão 2

Qual o valor de x na igualdade índice radical 16 de 2 à potência de 8 fim da raiz espaço igual a espaço reto x enésima raiz de 2 à potência de 4 fim da raiz?

a) 4
b) 6
c) 8
d) 12

Resposta correta: c) 8.

Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz igual a índice radical reto n dividido por reto p de reto x à potência de reto m dividido por reto p fim do exponencial fim da raiz.

Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:

índice radical 16 de 2 à potência de 8 fim da raiz igual a índice radical 16 dividido por 2 de 2 à potência de 8 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 8 de 2 à potência de 4 fim da raiz

Logo, x = 16 : 2 = 8.

Questão 3

Simplifique o radical índice radical espaço em branco de 2 ao cubo.5 à potência de 4 fim da raiz.

Resposta correta: 50 índice radical espaço em branco de 2.

Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.

Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.

2 ao cubo espaço igual a espaço 2 à potência de 2 mais 1 fim do exponencial igual a espaço 2 ao quadrado. espaço 2 5 à potência de 4 espaço igual a espaço 5 à potência de 2 mais 2 fim do exponencial espaço igual a 5 ao quadrado espaço. espaço 5 ao quadrado

Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:

raiz quadrada de 2 ao quadrado.2.5 ao quadrado.5 ao quadrado fim da raiz

Como reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz espaço igual a espaço reto x, simplificamos a expressão.

raiz quadrada de 2 ao quadrado.2.5 ao quadrado.5 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 2.5.5 índice radical espaço em branco de 2 espaço igual a espaço 50 raiz quadrada de 2

Questão 4

Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:

a) 8 à potência de tipográfico 2 sobre 3 fim do exponencial

b) raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz

c) cúbica raiz de menos 8 fim da raiz

d) menos quarta raiz de 81

Resposta correta:

a) 8 à potência de tipográfico 2 sobre 3 fim do exponencial pode ser escrito como cúbica raiz de 8 ao quadrado fim da raiz

Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.

cúbica raiz de 8 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço parêntese esquerdo cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 2 ao quadrado igual a 4

b) raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 4

raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 16 espaço igual a espaço 4 vírgula espaço pois espaço 4 ao quadrado espaço igual a espaço 4.4 espaço igual a espaço 16

c) cúbica raiz de menos 8 fim da raiz espaço igual a espaço menos 2

cúbica raiz de menos 8 fim da raiz espaço igual a espaço menos 2 vírgula espaço pois espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao cubo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço menos 8

d) menos quarta raiz de 81 espaço igual a espaço menos 3

menos quarta raiz de 81 espaço igual a espaço menos 3 vírgula espaço pois espaço 3 à potência de 4 espaço igual a espaço 3.3.3.3 espaço igual a espaço 81

Questão 5

Reescreva os radicais raiz quadrada de 3; cúbica raiz de 5 e quarta raiz de 2 de forma que os três apresentem o mesmo índice.

Resposta correta: índice radical 12 de 3 à potência de 6 fim da raiz ponto e vírgula espaço índice radical 12 de 5 à potência de 4 fim da raiz espaço reto e espaço índice radical 12 de 2 ao cubo fim da raiz.

Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.

tabela linha com 12 4 3 linha com 6 2 3 linha com 3 1 3 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com blank fim da tabela

MMC = 2.2.3 = 12

Portanto, o índice dos radicais deve ser 12.

Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz igual a índice radical reto n. reto p de reto x à potência de reto m. reto p fim do exponencial fim da raiz.

Para mudar o índice do radical raiz quadrada de 3devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12

índice radical 2.6 de 3 à potência de 1.6 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 12 de 3 à potência de 6 fim da raiz

Para mudar o índice do radical cúbica raiz de 5 devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12

índice radical 3.4 de 5 à potência de 1.4 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 12 de 5 à potência de 4 fim da raiz

Para mudar o índice do radical quarta raiz de 2devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12

índice radical 4.3 de 2 à potência de 1.3 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 12 de 3

Questão 6

Qual o resultado da expressão 8 raiz quadrada de reto a espaço – espaço 9 raiz quadrada de reto a espaço mais espaço 10 raiz quadrada de reto a?

a) índice radical espaço em branco de reto a

b) 8 índice radical espaço em branco de reto a

c) 10 índice radical espaço em branco de reto a

d) 9 índice radical espaço em branco de reto a

Resposta correta: d) 9 índice radical espaço em branco de reto a.

Pela propriedade dos radicais reto a raiz quadrada de reto x espaço mais espaço reto b raiz quadrada de reto x espaço menos espaço reto c raiz quadrada de reto x espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto a mais reto b menos reto c parêntese direito raiz quadrada de reto x, podemos resolver a expressão da seguinte forma:

8 raiz quadrada de reto a espaço – espaço 9 raiz quadrada de reto a espaço mais espaço 10 raiz quadrada de reto a espaço igual a espaço parêntese esquerdo 8 menos 9 mais 10 parêntese direito raiz quadrada de reto a espaço igual a espaço 9 raiz quadrada de reto a

Questão 7

Racionalize o denominador da expressão numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de a ao cubo fim da raiz fim da fração.

Resposta correta: numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração.

Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n menos reto m fim do exponencial fim da raiz.

Sendo assim, para racionalizar o denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz o primeiro passo é calcular o fator.

índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz igual a índice radical 7 de reto a à potência de 7 menos 3 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz

Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.

numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz fim da fração. numerador índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz. índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo. reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 3 mais 4 fim do exponencial fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 7 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração

Portanto, racionalizando a expressão numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de a ao cubo fim da raiz fim da fração temos como resultado numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração.

Questão 8

Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a 36 pi cm³.

Resposta: o diâmetro será de 6 cm.

O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:

reto V igual a 4 sobre 3 πR ao cubo

Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R.

R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:

R ao cubo igual a numerador 3 V sobre denominador 4 pi fim da fração

Substituindo o valor de V, temos:

R ao cubo igual a numerador 3.36 pi sobre denominador 4 pi fim da fração R ao cubo igual a numerador 3.36 diagonal para cima risco pi sobre denominador 4 diagonal para cima risco pi fim da fração R ao cubo igual a numerador 3.36 sobre denominador 4 fim da fração R ao cubo igual a 108 sobre 4 R ao cubo igual a 27

Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.

cúbica raiz de R ao cubo fim da raiz igual a cúbica raiz de 27 índice radical diagonal para cima risco 3 de R à potência de diagonal para cima risco 3 fim do exponencial fim da raiz igual a cúbica raiz de 27 R igual a 3 espaço c m

Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm.

Questão 9

Sendo a igual a quarta raiz de 5 e b igual a quarta raiz de 3125 determine o valor de 4 reto a espaço menos espaço 2 reto b.

Resposta: menos 6 quarta raiz de 5

Substituindo os valores de a e b na equação, temos:

4 quarta raiz de 5 espaço menos espaço 2 quarta raiz de 3 espaço 125 fim da raiz

Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.

Imagem associada a resolução da questão.

Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como 5 à potência de 4. espaço 5 ao invés de 5 à potência de 5. Isto irá ajudar a simplificação.

Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:

4 quarta raiz de 5 menos 2 quarta raiz de 5 à potência de 4 espaço. espaço 5 fim da raiz

Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,

4 quarta raiz de 5 menos 2 quarta raiz de 5 à potência de 4 fim da raiz. espaço quarta raiz de 5

Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,

4 quarta raiz de 5 menos 2 índice radical diagonal para cima risco 4 de 5 à potência de diagonal para cima risco 4 fim do exponencial fim da raiz. espaço quarta raiz de 5 4 quarta raiz de 5 menos 2 espaço.5 espaço. espaço quarta raiz de 5 4 quarta raiz de 5 menos 10 espaço quarta raiz de 5 menos 6 quarta raiz de 5

Questão 10

Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.

numerador quarta raiz de 2 espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Resposta: numerador índice radical 8 de 972 espaço sobre denominador 3 fim da fração

No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.

n enésima raiz de a igual a índice radical n. m de a à potência de m fim da raiz espaço

Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz.

Aplicando na expressão da questão:

numerador índice radical 4 espaço. espaço 2 de 2 ao quadrado fim da raiz espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 2 ao quadrado fim da raiz espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,

numerador índice radical 8 de 2 ao quadrado. espaço 3 fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 4. espaço 3 fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 9 fim da fração igual a numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 2.4 de 3 à potência de 4 fim da raiz sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 3 à potência de 4 fim da raiz sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 81 sobre denominador 3 fim da fração

Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 81 sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 972 espaço sobre denominador 3 fim da fração

Questão 11

(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:

I. menos 5 à potência de 2 espaço fim do exponencial menos espaço raiz quadrada de 16 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito espaço dividido por espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço menos 17

II. 35 espaço dividido por espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 81 espaço menos 23 espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 10

III. Efetuando-se parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 parêntese direito parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 5 parêntese direito , obtém-se um número múltiplo de 2.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.

Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.

Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.

I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.

Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.

Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.

menos 5 ao quadrado menos raiz quadrada de 16. abre parênteses menos 10 fecha parênteses dividido por abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a menos 25 menos 4. parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito dividido por 5 igual a menos 25 mais 40 dividido por 5 igual a menos 25 mais 8 igual a menos 17

Portanto, a afirmação é verdadeira.

II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.

35 dividido por abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 81 menos 2 ao cubo mais 1 fecha parênteses sinal de multiplicação 2 igual a 35 dividido por abre parênteses 3 mais 9 menos 8 mais 1 fecha parênteses x 2 igual a 35 dividido por 5 sinal de multiplicação 2 igual a 7 sinal de multiplicação 2 igual a 14

Neste caso, a afirmação é falsa.

III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

Assim, temos:

abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 5 fecha parênteses. abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 5 fecha parênteses igual a 3 ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a 9 menos 5 igual a 4

Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.

Questão 12

(CEFET/MG - 2018) Se reto x mais reto y mais reto z igual a quarta raiz de 9 espaço reto e espaço reto x mais reto y menos reto z igual a raiz quadrada de 3, então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é

a) 3 raiz quadrada de 3
b) raiz quadrada de 3
c) 3
d) 0

Alternativa correta: c) 3.

Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:

quarta raiz de 9 igual a índice radical 4 dividido por 2 de 3 à potência de 2 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz igual a quadrada raiz de 3

Considerando as equações, temos:

reto x mais reto y mais reto z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3 menos reto z reto x mais reto y menos reto z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3 mais reto z

Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:

raiz quadrada de 3 menos reto z igual a raiz quadrada de 3 mais reto z

Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:

reto z mais reto z igual a raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 3 2 reto z igual a 0 reto z igual a 0

Substituindo esse valor na primeira equação:

reto x mais reto y mais 0 igual a raiz quadrada de 3 reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3

Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Assim, temos:

parêntese esquerdo x mais y parêntese direito ao quadrado menos z ao quadrado igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado menos 0 igual a 3

Questão 13

(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se A igual a raiz quadrada de raiz quadrada de 6 menos 2 fim da raiz. raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 6 fim da raiz, então o valor de A2 é:

a) 1
b) 2
c) 6
d) 36

Alternativa correta: b) 2

Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:

A igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 menos 2 parêntese direito. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz

Agora, vamos elevar o A ao quadrado:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz fecha parênteses ao quadrado

Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses

Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:

A ao quadrado igual a 2 raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 6.6 fim da raiz menos 4 menos 2 raiz quadrada de 6 A ao quadrado igual a riscado diagonal para cima sobre 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado mais 6 menos 4 riscado diagonal para cima sobre menos 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado A ao quadrado igual a 2

Questão 14

(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração y sobre 4 é proporcional à fração numerador 3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.