Exercícios de Radiciação

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.

Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.

Questão 1

Fatore o radicando de raiz quadrada de 144 e encontre o resultado da raiz.

Resposta correta: 12.

1º passo: fatorar o número 144

tabela linha com célula com tabela linha com 144 linha com 72 linha com 36 linha com 18 linha com 9 linha com 3 linha com 1 fim da tabela fim da célula fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com 3 linha com blank fim da tabela

2º passo: escrever 144 na forma de potência

144 espaço igual a espaço 2.2.2.2.3.3 espaço igual a espaço 2 à potência de 4.3 ao quadrado

Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24

Portanto, 144 espaço igual a espaço 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado

3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada

raiz quadrada de 144 espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado fim da raiz

Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz igual a reto x podemos eliminar a raiz e resolver a operação.

raiz quadrada de 144 igual a raiz quadrada de 2 ao quadrado.2 ao quadrado.3 ao quadrado fim da raiz igual a 2.2.3 igual a 12

Questão 2

Qual o valor de x na igualdade índice radical 16 de 2 à potência de 8 fim da raiz espaço igual a espaço reto x enésima raiz de 2 à potência de 4 fim da raiz?

a) 4
b) 6
c) 8
d) 12

Resposta correta: c) 8.

Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz igual a índice radical reto n dividido por reto p de reto x à potência de reto m dividido por reto p fim do exponencial fim da raiz.

Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:

índice radical 16 de 2 à potência de 8 fim da raiz igual a índice radical 16 dividido por 2 de 2 à potência de 8 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 8 de 2 à potência de 4 fim da raiz

Logo, x = 16 : 2 = 8.

Questão 3

Simplifique o radical índice radical espaço em branco de 2 ao cubo.5 à potência de 4 fim da raiz.

Resposta correta: 50 índice radical espaço em branco de 2.

Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.

Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.

2 ao cubo espaço igual a espaço 2 à potência de 2 mais 1 fim do exponencial igual a espaço 2 ao quadrado. espaço 2 5 à potência de 4 espaço igual a espaço 5 à potência de 2 mais 2 fim do exponencial espaço igual a 5 ao quadrado espaço. espaço 5 ao quadrado

Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:

raiz quadrada de 2 ao quadrado.2.5 ao quadrado.5 ao quadrado fim da raiz

Como reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n fim da raiz espaço igual a espaço reto x, simplificamos a expressão.

raiz quadrada de 2 ao quadrado.2.5 ao quadrado.5 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 2.5.5 índice radical espaço em branco de 2 espaço igual a espaço 50 raiz quadrada de 2

Questão 4

Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:

a) 8 à potência de tipográfico 2 sobre 3 fim do exponencial

b) raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz

c) cúbica raiz de menos 8 fim da raiz

d) menos quarta raiz de 81

Resposta correta:

a) 8 à potência de tipográfico 2 sobre 3 fim do exponencial pode ser escrito como cúbica raiz de 8 ao quadrado fim da raiz

Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.

cúbica raiz de 8 ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço parêntese esquerdo cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 2 ao quadrado igual a 4

b) raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço 4

raiz quadrada de parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito ao quadrado fim da raiz espaço igual a espaço raiz quadrada de 16 espaço igual a espaço 4 vírgula espaço pois espaço 4 ao quadrado espaço igual a espaço 4.4 espaço igual a espaço 16

c) cúbica raiz de menos 8 fim da raiz espaço igual a espaço menos 2

cúbica raiz de menos 8 fim da raiz espaço igual a espaço menos 2 vírgula espaço pois espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito ao cubo espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço menos 8

d) menos quarta raiz de 81 espaço igual a espaço menos 3

menos quarta raiz de 81 espaço igual a espaço menos 3 vírgula espaço pois espaço 3 à potência de 4 espaço igual a espaço 3.3.3.3 espaço igual a espaço 81

Questão 5

Reescreva os radicais raiz quadrada de 3; cúbica raiz de 5 e quarta raiz de 2 de forma que os três apresentem o mesmo índice.

Resposta correta: índice radical 12 de 3 à potência de 6 fim da raiz ponto e vírgula espaço índice radical 12 de 5 à potência de 4 fim da raiz espaço reto e espaço índice radical 12 de 2 ao cubo fim da raiz.

Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.

tabela linha com 12 4 3 linha com 6 2 3 linha com 3 1 3 linha com 1 1 1 fim da tabela em moldura direita fecha moldura tabela linha com 2 linha com 2 linha com 3 linha com blank fim da tabela

MMC = 2.2.3 = 12

Portanto, o índice dos radicais deve ser 12.

Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz igual a índice radical reto n. reto p de reto x à potência de reto m. reto p fim do exponencial fim da raiz.

Para mudar o índice do radical raiz quadrada de 3devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12

índice radical 2.6 de 3 à potência de 1.6 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 12 de 3 à potência de 6 fim da raiz

Para mudar o índice do radical cúbica raiz de 5 devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12

índice radical 3.4 de 5 à potência de 1.4 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 12 de 5 à potência de 4 fim da raiz

Para mudar o índice do radical quarta raiz de 2devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12

índice radical 4.3 de 2 à potência de 1.3 fim do exponencial fim da raiz igual a índice radical 12 de 3

Questão 6

Qual o resultado da expressão 8 raiz quadrada de reto a espaço – espaço 9 raiz quadrada de reto a espaço mais espaço 10 raiz quadrada de reto a?

a) índice radical espaço em branco de reto a

b) 8 índice radical espaço em branco de reto a

c) 10 índice radical espaço em branco de reto a

d) 9 índice radical espaço em branco de reto a

Resposta correta: d) 9 índice radical espaço em branco de reto a.

Pela propriedade dos radicais reto a raiz quadrada de reto x espaço mais espaço reto b raiz quadrada de reto x espaço menos espaço reto c raiz quadrada de reto x espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto a mais reto b menos reto c parêntese direito raiz quadrada de reto x, podemos resolver a expressão da seguinte forma:

8 raiz quadrada de reto a espaço – espaço 9 raiz quadrada de reto a espaço mais espaço 10 raiz quadrada de reto a espaço igual a espaço parêntese esquerdo 8 menos 9 mais 10 parêntese direito raiz quadrada de reto a espaço igual a espaço 9 raiz quadrada de reto a

Questão 7

Racionalize o denominador da expressão numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de a ao cubo fim da raiz fim da fração.

Resposta correta: numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração.

Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: reto n enésima raiz de reto x à potência de reto m fim da raiz espaço igual a espaço reto n enésima raiz de reto x à potência de reto n menos reto m fim do exponencial fim da raiz.

Sendo assim, para racionalizar o denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz o primeiro passo é calcular o fator.

índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz igual a índice radical 7 de reto a à potência de 7 menos 3 fim do exponencial fim da raiz espaço igual a espaço índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz

Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.

numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz fim da fração. numerador índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo fim da raiz. índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a ao cubo. reto a à potência de 4 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 3 mais 4 fim do exponencial fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador índice radical 7 de reto a à potência de 7 fim da raiz fim da fração igual a numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração

Portanto, racionalizando a expressão numerador 5 sobre denominador índice radical 7 de a ao cubo fim da raiz fim da fração temos como resultado numerador 5 índice radical 7 de reto a à potência de 4 fim da raiz sobre denominador reto a fim da fração.

Questão 8

Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a 36 pi cm³.

Resposta: o diâmetro será de 6 cm.

O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:

reto V igual a 4 sobre 3 πR ao cubo

Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R.

R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:

R ao cubo igual a numerador 3 V sobre denominador 4 pi fim da fração

Substituindo o valor de V, temos:

R ao cubo igual a numerador 3.36 pi sobre denominador 4 pi fim da fração R ao cubo igual a numerador 3.36 diagonal para cima risco pi sobre denominador 4 diagonal para cima risco pi fim da fração R ao cubo igual a numerador 3.36 sobre denominador 4 fim da fração R ao cubo igual a 108 sobre 4 R ao cubo igual a 27

Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.

cúbica raiz de R ao cubo fim da raiz igual a cúbica raiz de 27 índice radical diagonal para cima risco 3 de R à potência de diagonal para cima risco 3 fim do exponencial fim da raiz igual a cúbica raiz de 27 R igual a 3 espaço c m

Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm.

Questão 9

Sendo a igual a quarta raiz de 5 e b igual a quarta raiz de 3125 determine o valor de 4 reto a espaço menos espaço 2 reto b.

Resposta: menos 6 quarta raiz de 5

Substituindo os valores de a e b na equação, temos:

4 quarta raiz de 5 espaço menos espaço 2 quarta raiz de 3 espaço 125 fim da raiz

Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.

Imagem associada a resolução da questão.

Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como 5 à potência de 4. espaço 5 ao invés de 5 à potência de 5. Isto irá ajudar a simplificação.

Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:

4 quarta raiz de 5 menos 2 quarta raiz de 5 à potência de 4 espaço. espaço 5 fim da raiz

Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,

4 quarta raiz de 5 menos 2 quarta raiz de 5 à potência de 4 fim da raiz. espaço quarta raiz de 5

Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,

4 quarta raiz de 5 menos 2 índice radical diagonal para cima risco 4 de 5 à potência de diagonal para cima risco 4 fim do exponencial fim da raiz. espaço quarta raiz de 5 4 quarta raiz de 5 menos 2 espaço.5 espaço. espaço quarta raiz de 5 4 quarta raiz de 5 menos 10 espaço quarta raiz de 5 menos 6 quarta raiz de 5

Questão 10

Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.

numerador quarta raiz de 2 espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Resposta: numerador índice radical 8 de 972 espaço sobre denominador 3 fim da fração

No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.

n enésima raiz de a igual a índice radical n. m de a à potência de m fim da raiz espaço

Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz.

Aplicando na expressão da questão:

numerador índice radical 4 espaço. espaço 2 de 2 ao quadrado fim da raiz espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 2 ao quadrado fim da raiz espaço. espaço índice radical 8 de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,

numerador índice radical 8 de 2 ao quadrado. espaço 3 fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 4. espaço 3 fim da raiz sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 sobre denominador raiz quadrada de 3 fim da fração

Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 3 espaço. espaço raiz quadrada de 3 fim da fração igual a numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador raiz quadrada de 9 fim da fração igual a numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço raiz quadrada de 3 sobre denominador 3 fim da fração

Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 2.4 de 3 à potência de 4 fim da raiz sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 3 à potência de 4 fim da raiz sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 81 sobre denominador 3 fim da fração

Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,

numerador índice radical 8 de 12 espaço. espaço índice radical 8 de 81 sobre denominador 3 fim da fração numerador índice radical 8 de 972 espaço sobre denominador 3 fim da fração

Questões comentadas e resolvidas de vestibulares

Questão 11

(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:

I. menos 5 à potência de 2 espaço fim do exponencial menos espaço raiz quadrada de 16 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito espaço dividido por espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço menos 17

II. 35 espaço dividido por espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 81 espaço menos 23 espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço sinal de multiplicação espaço 2 espaço igual a espaço 10

III. Efetuando-se parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço raiz quadrada de 5 parêntese direito parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço raiz quadrada de 5 parêntese direito , obtém-se um número múltiplo de 2.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.

Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.

Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.

I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.

Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.

Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.

menos 5 ao quadrado menos raiz quadrada de 16. abre parênteses menos 10 fecha parênteses dividido por abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a menos 25 menos 4. parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito dividido por 5 igual a menos 25 mais 40 dividido por 5 igual a menos 25 mais 8 igual a menos 17

Portanto, a afirmação é verdadeira.

II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.

35 dividido por abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 81 menos 2 ao cubo mais 1 fecha parênteses sinal de multiplicação 2 igual a 35 dividido por abre parênteses 3 mais 9 menos 8 mais 1 fecha parênteses x 2 igual a 35 dividido por 5 sinal de multiplicação 2 igual a 7 sinal de multiplicação 2 igual a 14

Neste caso, a afirmação é falsa.

III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

Assim, temos:

abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 5 fecha parênteses. abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 5 fecha parênteses igual a 3 ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a 9 menos 5 igual a 4

Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.

Questão 12

(CEFET/MG - 2018) Se reto x mais reto y mais reto z igual a quarta raiz de 9 espaço reto e espaço reto x mais reto y menos reto z igual a raiz quadrada de 3, então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é

a) 3 raiz quadrada de 3
b) raiz quadrada de 3
c) 3
d) 0

Alternativa correta: c) 3.

Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:

quarta raiz de 9 igual a índice radical 4 dividido por 2 de 3 à potência de 2 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz igual a quadrada raiz de 3

Considerando as equações, temos:

reto x mais reto y mais reto z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3 menos reto z reto x mais reto y menos reto z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3 mais reto z

Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:

raiz quadrada de 3 menos reto z igual a raiz quadrada de 3 mais reto z

Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:

reto z mais reto z igual a raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 3 2 reto z igual a 0 reto z igual a 0

Substituindo esse valor na primeira equação:

reto x mais reto y mais 0 igual a raiz quadrada de 3 reto x mais reto y igual a raiz quadrada de 3

Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Assim, temos:

parêntese esquerdo x mais y parêntese direito ao quadrado menos z ao quadrado igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado menos 0 igual a 3

Questão 13

(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se A igual a raiz quadrada de raiz quadrada de 6 menos 2 fim da raiz. raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 6 fim da raiz, então o valor de A2 é:

a) 1
b) 2
c) 6
d) 36

Alternativa correta: b) 2

Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:

A igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 menos 2 parêntese direito. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz

Agora, vamos elevar o A ao quadrado:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz fecha parênteses ao quadrado

Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses

Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:

A ao quadrado igual a 2 raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 6.6 fim da raiz menos 4 menos 2 raiz quadrada de 6 A ao quadrado igual a riscado diagonal para cima sobre 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado mais 6 menos 4 riscado diagonal para cima sobre menos 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado A ao quadrado igual a 2

Questão 14

(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração y sobre 4 é proporcional à fração numerador 3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração, é correto afirmar que y é igual a:

a) 1 - 2raiz quadrada de 3
b) 6 + 3raiz quadrada de 3
c) 2 - raiz quadrada de 3
d) 4 + 3raiz quadrada de 3
e) 3 + raiz quadrada de 3

Alternativa correta: e) y igual a 3 mais raiz quadrada de 3

Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:

y sobre 4 igual a numerador 3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração

Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:

y igual a numerador 4.3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração y igual a numerador 12 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração

Simplificando todos os termos por 2, temos:

y igual a numerador 6 sobre denominador 3 menos raiz quadrada de 3 fim da fração

Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 3 fecha parênteses:

y igual a numerador 6 sobre denominador abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 3 fecha parênteses fim da fração. numerador abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses fim da fração

y igual a numerador 6 abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador 9 mais 3 raiz quadrada de 3 menos 3 raiz quadrada de 3 menos 3 fim da fração y igual a numerador diagonal para cima risco 6 abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador diagonal para cima risco 6 fim da fração y igual a 3 mais raiz quadrada de 3

Questão 15

(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?

raiz quadrada de numerador abre parênteses 1 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 2 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 3 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 4 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 5 menos m fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz

a) 1,1
b) 1,2
c) 1,3
d) 1,4

Alternativa correta: d) 1,4

Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:

m igual a numerador 1 mais 2 mais 3 mais 4 mais 5 sobre denominador 5 fim da fração igual a 15 sobre 5 igual a 3

Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:

raiz quadrada de numerador abre parênteses 1 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 2 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 3 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 4 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 5 menos 3 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita raiz quadrada de numerador abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado mais 0 ao quadrado mais abre parênteses mais 1 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses mais 2 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita raiz quadrada de numerador 4 mais 1 mais 1 mais 4 sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz igual a raiz quadrada de 10 sobre 5 fim da raiz igual a raiz quadrada de 2 aproximadamente igual 1 vírgula 4

Questão 16

(IFCE - 2017) Aproximando os valores de raiz quadrada de 5 espaço e espaço raiz quadrada de 3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 3 fim da fração até a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98.
b) 0,96.
c) 3,96.
d) 0,48.
e) 0,25.

Alternativa correta: e) 0,25

Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim:

numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração

Resolvendo a multiplicação:

numerador raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 sobre denominador 5 menos 3 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 5 começar estilo mostrar menos fim do estilo começar estilo mostrar raiz quadrada de 3 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração

Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:

numerador 2 vírgula 23 menos 1 vírgula 73 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 0 vírgula 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 0 vírgula 25

Questão 17

(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

a) 2700
b) 2800
c) 2900
d) 3000

Alternativa correta: a) 2700

Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:

0 vírgula 75 igual a 75 sobre 100 igual a 3 sobre 4

Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:

raiz quadrada de 3 sobre 4. x fim da raiz igual a 45

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:

abre parênteses raiz quadrada de 3 sobre 4. x fim da raiz fecha parênteses ao quadrado igual a 45 ao quadrado 3 sobre 4. x igual a 2025 x igual a numerador 2025.4 sobre denominador 3 fim da fração x igual a 8100 sobre 3 igual a 2700

Questão 18

(EPCAR - 2015) O valor da soma S igual a raiz quadrada de 4 mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 mais 1 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 3 fim da fração mais... mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 196 mais raiz quadrada de 195 fim da fração é um número

a) natural menor que 10
b) natural maior que 10
c) racional não inteiro
d) irracional.

Alternativa correta: b) natural maior que 10.

Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo:

começar estilo tamanho matemático 12px S igual a raiz quadrada de 4 mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 mais 1 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 menos 1 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 menos 1 parêntese direito fim da fração mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 parêntese direito fim da fração mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração mais... mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 mais raiz quadrada de 195 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 parêntese direito fim da fração fim do estilo

Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

S igual a 2 mais numerador raiz quadrada de 2 menos 1 sobre denominador 2 menos 1 fim da fração mais numerador raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 menos 2 fim da fração mais numerador raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 menos 3 fim da fração mais... mais numerador raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 sobre denominador 196 menos 195 fim da fração S igual a 2 mais riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 2 fim do riscado menos 1 mais riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 2 fim do riscado mais riscado diagonal para cima sobre riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 4 fim do riscado fim do riscado menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado mais... mais raiz quadrada de 196 menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 195 fim do riscado

S = 2 - 1 + 14 = 15

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Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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