Racionalização de Denominadores

Rosimar Gouveia

A racionalização de denominadores é um procedimento cujo objetivo é transformar uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente com denominador racional.

Utilizamos essa técnica pois o resultado da divisão por um número irracional apresenta um valor com muito pouca precisão.

Quando multiplicamos o denominador e o numerador de uma fração por um mesmo número, obtemos uma fração equivalente, ou seja, frações que representam um mesmo valor.

Sendo assim, racionalizar consiste em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. O número escolhido para isso é chamado de conjugado.

Conjugado de um número

O conjugado do número irracional é aquele que ao ser multiplicado pelo irracional dará como resultado um número racional, ou seja, um número sem a raiz.

Quando for raiz quadrada, o conjugado será igual a própria raiz, pois a multiplicação do número por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Desta forma, pode-se eliminar a raiz.

Exemplo 1

Encontre o conjugado da raiz quadrada de 2.

Solução

O conjugado da raiz quadrada de 2 é a própria raiz quadrada de 2, pois raiz quadrada de 2. raiz quadrada de 2 igual a raiz quadrada de 2.2 fim da raiz igual a índice radical 2 dois pontos 2 de 2 à potência de 2 dois pontos 2 fim do exponencial fim da raiz igual a 2

Quando a raiz apresentar índice diferente de 2, o conjugado terá o mesmo índice da raiz, só que será necessário encontrar o expoente que, somado ao expoente do número inicial, dê como resultado um valor igual ao índice da raiz.

Exemplo 2

Qual o conjugado da raiz cúbica de 2?

Solução

Para encontrar o conjugado de cúbica raiz de 2, não é possível simplesmente multiplicarmos pela raiz cúbica de 2, pois o resultado será raiz cúbica de 4 e não dará para eliminar a raiz.

Note que o expoente do 2 é 1, assim, se somarmos o 2, teremos o novo expoente igual a 3, que é igual ao índice da raiz. Dessa forma, temos:

cúbica raiz de 2. cúbica raiz de 2 ao quadrado fim da raiz igual a cúbica raiz de 2.2 ao quadrado fim da raiz igual a índice radical 3 dois pontos 3 de 2 à potência de 3 dois pontos 3 fim do exponencial fim da raiz igual a 2

Portanto, o conjugado da raiz cúbica de 2 é a raiz cúbica de 4 (22 = 4).

Algumas vezes, pode aparecer no denominador uma soma ou subtração de raízes quadradas. Neste caso, o conjugado será igual às raízes com a operação inversa.

Exemplo 3

Qual o conjugado de raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 5?

Solução

O conjugado será igual a raiz quadrada de 6 menos raiz quadrada de 5, pois ao multiplicar esses números temos como resultado um número racional, ou seja:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 5 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 menos raiz quadrada de 5 parêntese direito espaço igual a abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses mais abre parênteses raiz quadrada de 6 fecha parênteses. abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses menos abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a 6 menos 5 igual a 1  fim do estilo

Para saber mais, veja também:

Racionalizando um fração

Para racionalizar uma fração, devemos seguir os seguintes passos:

  • Encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador.
  • Multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração.
  • Simplificar a fração equivalente encontrada.

Exemplos

1) A área do triângulo representado abaixo é igual a 15 cm2. Considerando que sua base é igual a 2 raiz quadrada de 5 c m, encontre o valor da sua altura.

Racionalização exemplo

Solução

A área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e dividindo por 2, assim, temos:

A com incremento subscrito espaço igual a numerador b. h sobre denominador 2 fim da fração 15 igual a numerador espaço diagonal para cima risco 2 raiz quadrada de 5. espaço h sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 espaço fim do riscado fim da fração h igual a numerador 15 sobre denominador raiz quadrada de 5 fim da fração

Como o valor encontrado para a altura tem uma raiz no denominador, vamos racionalizar essa fração. Para isso, devemos encontrar o conjugado da raiz. Como a raiz é quadrada, o conjugado será a própria raiz.

Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por esse valor:

numerador 15 sobre denominador raiz quadrada de 5 fim da fração. numerador raiz quadrada de 5 sobre denominador raiz quadrada de 5 fim da fração igual a numerador 15 raiz quadrada de 5 sobre denominador raiz quadrada de 5 ao quadrado fim da raiz fim da fração igual a numerador 15 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração

Para finalizar, podemos simplificar a fração dividindo em cima e embaixo por 5. Note que não podemos simplificar o 5 do radical. Assim:

h igual a numerador 15 raiz quadrada de 5 sobre denominador 5 fim da fração igual a 3 raiz quadrada de 5 espaço c m

2) Racionalize a fração numerador 1 sobre denominador cúbica raiz de 4 fim da fração

Solução

Vamos começar encontrando o conjugado da raiz cúbica de 4. Já sabemos que esse número deve ser tal que ao ser multiplicado pela raiz, dará como resultado um número racional.

Então, temos que pensar que se conseguirmos escrever o radicando como uma potência de expoente igual a 3, podemos eliminar a raiz.

O número 4 pode ser escrito como 22, então, se multiplicarmos por 2, o expoente passará para 3. Assim, se multiplicarmos a raiz cúbica de 4 pela raiz cúbica de 2, teremos como resultado um número racional.

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por essa raiz, temos:

numerador 1 sobre denominador cúbica raiz de 4 fim da fração. numerador cúbica raiz de 2 sobre denominador cúbica raiz de 2 fim da fração igual a numerador cúbica raiz de 2 sobre denominador cúbica raiz de 2 ao quadrado.2 fim da raiz fim da fração igual a numerador cúbica raiz de 2 sobre denominador cúbica raiz de 2 ao cubo fim da raiz fim da fração igual a numerador cúbica raiz de 2 sobre denominador 2 fim da fração

Exercícios Resolvidos

1) IFCE - 2017

Aproximando os valores de raiz quadrada de 5 espaço e espaço raiz quadrada de 3 até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 3 fim da fraçãoaté a segunda casa decimal, obtemos

a) 1,98.
b) 0,96.
c) 3,96.
d) 0,48.
e) 0,25.

Alternativa: e) 0,25

2) EPCAR - 2015

O valor da soma S igual a raiz quadrada de 4 mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 mais 1 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 3 fim da fração mais... mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 196 mais raiz quadrada de 195 fim da fração

é um número

a) natural menor que 10
b) natural maior que 10
c) racional não inteiro.
d) irracional.

Alternativa: b) natural maior que 10

Veja a resolução comentada destas e de outras questões em Radiciação - Exercícios.

Rosimar Gouveia
Rosimar Gouveia
Bacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.