Como calcular uma raiz cúbica

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Na matemática, raiz é a operação inversa da potência. Uma raiz é cúbica quanto seu índice é três. Existem raízes quadradas, cúbicas e de infinitos índices, sempre números naturais.

Os elementos são: o índice, número que fica em cima do radical, o radicando, que fica no radical e, a raiz, resultado da operação.

Raiz cúbica

Para calcular a raiz cúbica, determinamos o número que multiplicado por ele próprio três vezes, resulta no radical. Ou seja, o número que elevado ao cubo seja igual ao radical.

Por exemplo, raiz cúbica de 216 é 6, pois 6 elevado ao cubo resulta em 216.

$cúbica raiz de 216 igual a 6$ , pois, $6 ao cubo igual a 6 espaço reto x espaço 6 espaço reto x espaço 6 espaço igual a 216$ .

Dizemos que raiz cúbica de 216 é uma raiz exata, visto que há um número que elevado ao cubo seja exatamente igual a 216.

Já raiz cúbica de 12, $abre parênteses cúbica raiz de 12 fecha parênteses$ não é exata, pois não há número que multiplicado por ele próprio três vezes resulte em 12. Haverá um resultado aproximado.

Para determinar uma raiz cúbica exata, fazemos a operação inversa, ou seja, a potenciação. Devemos determinar um número que, elevado ao cubo, seja igual ao radicando.

$marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 8 negrito igual a negrito 2 vírgula espaço pois vírgula espaço 2 ao cubo igual a 2 sinal de multiplicação 2 sinal de multiplicação 2 igual a 8 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 27 negrito igual a negrito 3 vírgula espaço pois vírgula espaço 3 ao cubo igual a 3 sinal de multiplicação 3 sinal de multiplicação 3 igual a 27 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 64 negrito igual a negrito 4 vírgula espaço pois vírgula espaço 4 ao cubo igual a 4 sinal de multiplicação 4 sinal de multiplicação 4 igual a 64 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 125 negrito igual a negrito 5 vírgula espaço pois vírgula espaço 5 ao cubo igual a espaço 5 sinal de multiplicação 5 sinal de multiplicação 5 igual a 125 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 216 negrito igual a negrito 6 vírgula espaço pois vírgula espaço 6 ao cubo igual a 6 sinal de multiplicação 6 sinal de multiplicação 6 igual a 216 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 343 negrito igual a negrito 7 vírgula espaço pois vírgula espaço 7 ao cubo igual a 7 sinal de multiplicação 7 sinal de multiplicação 4 igual a 343 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 512 negrito igual a negrito 8 vírgula espaço pois vírgula espaço 8 ao cubo igual a espaço 8 sinal de multiplicação 8 sinal de multiplicação 8 igual a 512 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 729 negrito igual a negrito 9 vírgula espaço pois vírgula espaço 9 ao cubo igual a 9 sinal de multiplicação 9 sinal de multiplicação 9 igual a 729 marca espaço índice radical negrito 3 de negrito 1000 negrito igual a negrito 10 vírgula espaço pois vírgula espaço 10 ao cubo igual a 10 sinal de multiplicação 10 sinal de multiplicação 10 igual a 1 espaço 000$

Exemplo
Determinar a raiz cúbica de 1 331.

$cúbica raiz de 1 espaço 331 fim da raiz igual a 11$

O número que elevado ao cubo é 1 331 é o número 11. Como $11 ao cubo igual a 1 espaço 331$ , a raiz cúbica de 1 331, é 11.

Como nem sempre é fácil obter a raiz, podemos utilizar a fatoração para nos ajudar nesta tarefa.

Cálculo da raiz cúbica por fatoração

A fatoração é uma técnica para auxiliar a determinar uma raiz. Ao obter os fatores primos, os escrevemos como uma potência de expoente igual ou múltiplo do índice da raiz.

Assim, dividimos o expoente pelo índice e elevamos ao expoente que sobrar.

Exemplo
Determinar $cúbica raiz de 512$ .

Os fatores primos de 512 são $2 à potência de 9$ . Dividindo o expoente pelo índice da raiz:

$2 à potência de 9 sobre 3 fim do exponencial igual a 2 à potência de 9 dividido por 3 fim do exponencial igual a 2 ao cubo igual a 8$

Assim, a raiz cúbica de 512 é 8.

Exemplo
Determinar a raiz cúbica de 1 728.

Para saber se 1 728 possui raiz exata, o fatoramos. Seus fatores primos são:

1 728 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3

Estes fatores podem ser reescritos como:

(2 . 2 . 3) . (2 . 2 . 3) . (2 . 2 . 3) = 12 . 12 . 12 ou 12³

Assim, $cúbica raiz de 1 espaço 728 fim da raiz espaço igual a espaço 12$ , pois $12 ao cubo igual a 1 espaço 728$

Fatorar um número é determinar os fatores primos que, multiplicados, resultem no próprio número. O método da fatoração é simples:

Escreva o número pretendido fatorar e desenhe uma linha vertical à sua direita;
Do lado direito, escreva o menor divisor primo do número a ser fatorado;
Escreva o resultado da divisão abaixo do número fatorado, à esquerda.

Agora repita o processo até restar o número 1 do lado esquerdo. Os fatores primos do lado direito, ao serem multiplicados, resultam no número inicial.

Existem raízes cúbicas não exatas, pois, não possuem nenhum número que elevado ao cubo resulte no radicando. Nestes casos, podemos calcular um valor aproximado.

Se precisar relembrar, leia decomposição em fatores primos.

Raiz cúbica aproximada

A raiz cúbica aproximada é o número que elevado ao cubo mais se aproxima do radicando. Esse número é sempre decimal, ou seja, possui vírgula. Quanto mais casas decimais, melhor é a aproximação.

Para determinar uma raiz cúbica aproximada podemos usar o método da tentativa e erro ou uma calculadora.

Raiz cúbica aproximada por tentativa e erro

A raiz cúbica de um número que não possui raiz exata está sempre entre dois números que possuem. Por exemplo, como a raiz cúbica de oito é 2 e, a raiz cúbica de 27 é 3, a raiz de qualquer número entre 8 e 27 é um número entre 2 e 3.

$cúbica raiz de 8 espaço menor que cúbica raiz de reto n espaço menor que cúbica raiz de 27 espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta para baixo espaço negrito 2 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 2 vírgula... espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço negrito 3$

Assim, a raiz de um número n qualquer entre 8 e 27, será um decimal: 2, ... .

Vamos determinar a raiz cúbica de 12. Como 12 está mais perto de 8 do que 27, testemos um decimal mais próximo a oito.

Testando 2,2

$abre parênteses 2 vírgula 2 fecha parênteses ao cubo igual a 2 vírgula 2 espaço x espaço 2 vírgula 2 espaço x espaço 2 vírgula 2 igual a 10 vírgula 648$

Como ainda é menor que 12, testamos 2,3.

$abre parênteses 2 vírgula 3 fecha parênteses ao cubo igual a 2 vírgula 3 espaço x espaço 2 vírgula 3 espaço x espaço 2 vírgula 3 igual a 12 vírgula 167$

Como 12 está entre 12,167 e 10,648, (10,648 < 12 < 12,167) a raiz cúbica pode ser aproximada para 2,2 ou 2,3, onde optaremos por qual fornecer o resultado mais próximo.

Para saber qual produz o resultado mais próximo, efetuamos uma subtração.

2,2 x 2,2 x 2,2 = 10,648

12 - 10,648 = 1,352

2,3 x 2,3 x 2,3 = 12,167

12,167 - 12 = 0,167

Como 0,167 é menor que 1,352, os fatores 2,3 elevados ao cubo produzem um resultado mais próximo de 12 do que 2,2.

Assim, pode-se dizer que 2,3 é aproximadamente a raiz cúbica de 12, considerando a primeira casa decimal.

$cúbica raiz de 12 aproximadamente igual 2 vírgula 3$

Este processo pode ser repetido, agora para aproximar a casa dos centésimos.

Raiz cúbica com ajuda de uma calculadora

Existem muitos modelos de calculadoras disponíveis no mercado e, até mesmo, aplicativos para celulares, tablets e computadores pessoais capazes de fazer cálculos diversos.

Caso sua calculadora ou aplicativo não fornecer a opção de calcular diretamente a raiz cúbica, ou qualquer outra, usamos um artifício da matemática: elevamos o radicando a um expoente fracionário de denominador iguai ao índice da raiz.

Para calcular a raiz cúbica de 12, fazemos 12 elevado a 1/3.

$cúbica raiz de 12 igual a 12 à potência de 1 terço fim do exponencial$

Nas calculadoras é comum o símbolo $começar estilo tamanho matemático 20px x à potência de y fim do estilo$ . Se possuir, faça o seguinte:

Digite o número do radicando.
12
Clique no símbolo $começar estilo tamanho matemático 20px x à potência de y fim do estilo$ .
Entre parenteses, digite a fração com numerador 1 e denominador igual ao índice da raiz.
(1/3)
Aperte a tecla de igual.

Resumindo, na calculadora digite os números e símbolos nesta ordem:

$tamanho 22px 12 tamanho 22px seta para a direita tamanho 22px x à potência de tamanho 22px y tamanho 22px seta para a direita tamanho 22px parêntese esquerdo tamanho 22px 1 tamanho 22px dividido por tamanho 22px 3 tamanho 22px parêntese direito tamanho 22px seta para a direita tamanho 22px igual a$

Caso não houver o símbolo $começar estilo tamanho matemático 20px x à potência de y fim do estilo$ , geralmente o seguinte comando é utilizado:

base^expoente (número da base -> acento circunflexo -> expoente)

$começar estilo tamanho matemático 20px 12 espaço espaço em branco com conjunção lógica sobrescrito parêntese esquerdo 1 dividido por 3 parêntese direito igual a fim do estilo$

Raiz cúbica de números negativos

Diferentes das raízes quadradas, as cúbicas possuem solução no conjunto dos números inteiros. Isto acontece por haver números negativos que elevados ao cubo produzam resultado negativo.

Raiz cúbica de menos um, por exemplo.

$cúbica raiz de menos 1 fim da raiz$

Devemos pensar em um número que elevado ao cubo resulte em -1. Isto é possível, pois $menos 1 ao cubo igual a menos 1$ .

$menos 1 espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a 1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a menos 1$

Aprenda mais sobre raízes:

Exercícios de raízes cúbicas resolvidos

Exercício 1

Com ajuda da fatoração, determine a raiz cúbica de 4 096 $abre parênteses cúbica raiz de 4 espaço 096 fim da raiz fecha parênteses$ .

Ver Resposta

Resposta: 16

Resolução:

Fatorando 4 096.

$4 espaço 096 espaço igual a espaço 2 à potência de 12$

Assim, a raiz fica:

$cúbica raiz de 4 espaço 096 fim da raiz espaço igual a espaço cúbica raiz de 2 à potência de 12 fim da raiz$

Dividindo o expoente pelo índice:

$2 à potência de 12 sobre 3 fim do exponencial igual a 2 à potência de 4$

Dois elevado à quatro é:

2 x 2 x 2 x 2 = 16

Exercício 2

Determine a raiz cúbica de três $abre parênteses cúbica raiz de 3 fecha parênteses$ por aproximação até a segunda casa decimal, após, confira em uma calculadora.

Ver Resposta

Resposta: 1,44

Resolução:

As raízes cúbicas exatas mais próximas são as de 1 e 8.

$cúbica raiz de 1 espaço menor que cúbica raiz de 3 espaço menor que cúbica raiz de 8 espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta para baixo espaço negrito 1 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 1 vírgula... espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço negrito 2$

Como três está mais próximo de um, vamos testar a partir de 1,1.

$abre parênteses 1 vírgula 1 fecha parênteses ao cubo igual a 1 vírgula 1 espaço x espaço 1 vírgula 1 espaço x espaço 1 vírgula 1 espaço igual a espaço 1 vírgula 331 abre parênteses 1 vírgula 2 fecha parênteses ao cubo igual a 1 vírgula 2 espaço x espaço 1 vírgula 2 espaço x espaço 1 vírgula 2 espaço igual a espaço 1 vírgula 728 abre parênteses 1 vírgula 3 fecha parênteses ao cubo igual a 1 vírgula 3 espaço x espaço 1 vírgula 3 espaço x espaço 1 vírgula 3 espaço igual a espaço 2 vírgula 197 abre parênteses 1 vírgula 4 fecha parênteses ao cubo igual a 1 vírgula 4 espaço x espaço 1 vírgula 4 espaço x espaço 1 vírgula 4 espaço igual a espaço 2 vírgula 744 abre parênteses 1 vírgula 5 fecha parênteses ao cubo igual a 1 vírgula 5 espaço x espaço 1 vírgula 4 espaço x espaço 1 vírgula 4 espaço igual a 3 vírgula 375$

Vemos que a raiz cúbica de três está entre 1,4 e 1,5. Vamos utilizar a melhor aproximação.

3 - 2,744 = 0,296

3,375 - 3 = 0,375

Como 2,744 está mais próximo de três, 1,4 é uma melhor aproximação. Vamos continuar para a casa centesimal mais próxima.

$1 vírgula 41 ao cubo igual a 1 vírgula 41 espaço x espaço 1 vírgula 41 espaço x espaço 1 vírgula 41 aproximadamente igual 2 vírgula 80 1 vírgula 42 ao cubo igual a 1 vírgula 42 espaço x espaço 1 vírgula 42 espaço x espaço 1 vírgula 42 aproximadamente igual 2 vírgula 86 1 vírgula 43 ao cubo igual a 1 vírgula 43 espaço x espaço 1 vírgula 43 espaço x espaço 1 vírgula 43 aproximadamente igual 2 vírgula 92 1 vírgula 44 ao cubo igual a 1 vírgula 44 espaço x espaço 1 vírgula 44 espaço x espaço 1 vírgula 44 aproximadamente igual 2 vírgula 98 1 vírgula 45 ao cubo igual a 1 vírgula 45 espaço x espaço 1 vírgula 45 espaço x espaço 1 vírgula 45 aproximadamente igual 3 vírgula 04$

A aproximação fica entre 1,44 e 1,45. Fazendo a subtração:

3 - 2,98 = 0,02

3,04 - 3 = 0,04

Como 2,98 foi uma melhor aproximação, 1,44 é a aproximação de raiz de três até a casa dos centésimos.

Exercício 3

Qual a raiz cúbica de - 2 197.

Ver Resposta

Resposta: -13

Resolução:

Devemos determinar um número que elevado ao cubo resulte em - 2 197. Este número precisa ser negativo.

Como $13 ao cubo igual a 2 espaço 197$ , temos que -13 é a solução de $cúbica raiz de menos 2 espaço 197 fim da raiz$ , pois:

-13 . (-13) . (-13) = - 2 197

Pratique mais exercícios sobre raízes;

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.