Raiz quadrada aproximada ou não exata

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Raiz é a operação matemática inversa da potenciação, sendo quadrada quando seu índice é 2. Uma raiz é aproximada quando não é exata, ou seja, quando não há um número que elevado ao quadrado resulte no número que está na raiz.

Para determinar uma raiz quadrada, calculamos o número que elevado ao quadrado é igual ao número que esta na raiz, por exemplo, raiz quadrada de 4 é 2, pois 2 ao quadrado é 4.

Nem todo número possui raiz exata e, nesses casos, podemos calcular uma aproximação, que sempre será um número decimal.

É o que acontece com a raiz quadrada de 17, pois não há um quadrado perfeito que resulte em 17, ou seja, não há número que elevado ao quadrado resulte em 17.

Cálculo da raiz aproximada por tentativa

Para agilizar a determinação de uma raiz quadrada aproximada, seguimos os seguintes passos:

1º passo: raiz exata mais próxima, anterior e posterior.
2º passo: tentativa com os decimais.
3º passo: subtração para saber qual é o mais próximo.

Vamos calcular a raiz quadrada de 17.

1º passo: raiz exata mais próxima, anterior e posterior.

A raiz quadrada exata anterior é a de 16 e, a posterior, é a de 25. Como a raiz quadrada de 16 é 4, e, a raiz quadrada de 25 é 5, a raiz quadrada de 17 deve ser um número entre 4 e 5.

$raiz quadrada de 16 espaço menor que espaço raiz quadrada de 17 espaço menor que espaço raiz quadrada de 25 espaço espaço espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 4 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 4 vírgula.. espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 5$

2º passo: tentativa com os decimais.

Como 17 está mais próximo de 16 do que de 25, vamos começar testando 4,1.

$abre parênteses 4 vírgula 1 fecha parênteses ao quadrado igual a 4 vírgula 1 espaço x espaço 4 vírgula 1 igual a 16 vírgula 81$

Continuamos com as tentativas, decimal por decimal, até obter os valores mais próximos a 17, antes e depois.

$abre parênteses 4 vírgula 2 fecha parênteses ao quadrado igual a 4 vírgula 2 sinal de multiplicação 4 vírgula 2 igual a 17 vírgula 64$

Assim, a raiz aproximada de 17 é um número entre 4,1 e 4,2.

3º passo: subtração para saber qual é o mais próximo.

17 - 16,81 = 0,19

17,64 - 17 = 0,64

Como 0,19 é menor que 0,64, concluímos que 4,1 é uma melhor aproximação para raiz quadrada de 17.

Para obter uma melhor aproximação, repetimos o processo, agora com os centésimos.

Cálculo da raiz aproximada com fórmula

Uma maneira de obter um valor aproximado para a raiz é utilizando a seguinte fórmula:

$raiz quadrada de reto n aproximadamente igual numerador reto n espaço mais espaço reto Q sobre denominador 2 raiz quadrada de reto Q fim da fração$

Onde:
n é o número que pretendemos obter a raiz;
Q é o quadrado perfeito mais próximo.

Exemplo
Determine $raiz quadrada de 51$ .

n = 51

Q é o quadrado perfeito mais próximo. Temos o 49, resultado de 7² e 64, resultado de 8². Como 49 está mais próximo de 51, Q = 49.

Substituindo na fórmula e calculando:

$raiz quadrada de reto n aproximadamente igual numerador reto n espaço mais espaço reto Q sobre denominador 2 raiz quadrada de reto Q fim da fração raiz quadrada de 51 aproximadamente igual numerador 51 mais 49 sobre denominador 2 raiz quadrada de 49 fim da fração raiz quadrada de 51 aproximadamente igual numerador 100 sobre denominador 2.7 fim da fração igual a 100 sobre 14 raiz quadrada de 51 aproximadamente igual 7 vírgula 14$

Aprenda mais sobre raízes:

Exercícios de raiz quadrada aproximada resolvidos

Exercício 1

Usando o método da tentativa e erro, calcule a raiz quadrada de 47.

Ver Resposta

Resposta:

1º passo: raiz exata mais próxima, anterior e posterior.

As raízes exatas mais próximas são $raiz quadrada de 36$ e $raiz quadrada de 49$ , pois 36 e 49 são os números quadrados perfeitos mais próximos.

$raiz quadrada de 36 espaço menor que espaço raiz quadrada de 17 espaço menor que espaço raiz quadrada de 49 espaço espaço espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço seta para baixo espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 6 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 6 vírgula.. espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço 7$

2º passo: tentativa com os decimais.

$6 vírgula 9 ao quadrado igual a 47 vírgula 61$

$6 vírgula 8 ao quadrado igual a 46 vírgula 24$

Assim, a raiz quadrada de 47 está entre 6,8 e 6,9.

3º passo: subtração para saber qual é o mais próximo.

$47 menos 6 vírgula 8 ao quadrado igual a 47 menos 46 vírgula 24 igual a 0 vírgula 76$

$6 vírgula 9 ao quadrado menos 47 igual a 47 vírgula 61 espaço menos espaço 47 igual a 0 vírgula 61$

Como 0,61 é menor que 0,76, então, 6,9 é a melhor aproximação para $raiz quadrada de 47$ .

Exercício 2

Usando a fórmula, determine a raiz quadrada de 83.

Ver Resposta

Resposta: Aproximadamente 9,1.

n=83 e Q=81 (quadrado perfeito mais próximo)

$raiz quadrada de reto n aproximadamente igual numerador reto n espaço mais espaço reto Q sobre denominador 2 raiz quadrada de reto Q fim da fração raiz quadrada de 83 aproximadamente igual numerador 83 espaço mais espaço 81 sobre denominador 2 raiz quadrada de 81 fim da fração raiz quadrada de 83 aproximadamente igual numerador 164 sobre denominador 2.9 fim da fração aproximadamente igual 164 sobre 18 raiz quadrada de 83 aproximadamente igual 9 vírgula 1$

Rafael C. Asth

Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.