Quadrado Perfeito

Rafael Asth
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física

Um quadrado perfeito ou número quadrado perfeito é um número natural que se radicado, possui como resultado outro número natural.

Ou seja, são resultados da operação de um número multiplicado por ele mesmo.

Exemplo:

  • 1 × 1 = 1
  • 2 × 2 = 4
  • 3 × 3 = 9
  • 4 × 4 = 16
    (...)

A fórmula do quadrado perfeito é representada por: n × n = a ou n2 = a. Desse modo, n é um número natural e a é um número quadrado perfeito.

O que são os números quadrados perfeitos?

A definição de um número quadrado perfeito pode ser entendida como: um número natural (inteiro positivo) cuja raiz quadrada é, também, um número natural (inteiro positivo).

Em outras palavras, é um número que, ao extrair a raiz quadrada, o resultado é exato.

Assim temos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...

√1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 =6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10...

Quadrados Perfeitos
Tabela de multiplicação e sinalização dos números quadrados perfeitos até 15

Se tomarmos a geometria como base, podemos pensar que um quadrado é a figura que possui os lados com a mesma medida.

Assim, a área do quadrado é L × L ou L2.

Todo quadrado cujos lados forem números inteiros, serão quadrados perfeitos.

Quadrados perfeitos
Exemplos de quadrados: 12 = 1 e 42 = 16

Como saber se um número é um quadrado perfeito?

Se ele possui uma raiz quadrada exata, a partir da fatoração de um número e, caso ele seja o resultado do quadrado de outros números, podemos dizer que é um quadrado perfeito.

Exemplo:
2 704 é um quadrado perfeito?

Para responder à pergunta é preciso fatorar 2 704.

Cálculo da Raiz Quadrada

Daí, temos: 2 704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 13 × 13 = 24 × 132 .

Outra forma de escrever é organizando as potências na forma de quadrados.

2 espaço 704 espaço igual a espaço 2 espaço. espaço 2 espaço. espaço 2 espaço. espaço 2 espaço. espaço 13 espaço. espaço 13 2 espaço 704 espaço igual a 2 ao quadrado espaço. espaço 2 ao quadrado espaço. espaço 13 ao quadrado 2 espaço 704 espaço igual a parêntese esquerdo 2 espaço. espaço 2 espaço. espaço 13 parêntese direito ao quadrado 2 espaço 704 espaço igual a 52 ao quadrado

2 704 é o número quadrado perfeito de 52.

Portanto, a raiz quadrada de 2 704 é 52.

Regras do quadrado perfeito

  • Um número quadrado perfeito é aquele que possui uma raiz exata.
  • Um número quadrado perfeito ímpar possui sua raiz ímpar e um par possui uma raiz par.
  • Números quadrados perfeitos nunca terminam com os algarismos 2, 3, 7 e 8.
  • Números terminados em 0 possuem quadrados terminados em 00.
  • Números terminados em 1 ou 9 possuem quadrados terminados em 1.
  • Números terminados em 2 ou 8 possuem quadrados terminados em 4.
  • Números terminados em 3 ou 7 possuem quadrados terminados em 9.
  • Números terminados em 4 ou 6 possuem quadrados terminados em 6.
  • Números terminados em 5 possuem quadrados terminados em 25

Outras relações

O quadrado de um número é igual ao produto de seus adjacentes mais um. Por exemplo: o quadrado de sete (72) é igual ao produto de seus números adjacentes (6 e 8) mais 1. Desta forma: 72 = 6 × 8 + 1 = 48 + 1 = 49.

reto x ao quadrado igual a parêntese esquerdo reto x menos 1 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo reto x mais 1 parêntese direito espaço mais espaço 1

Os quadrados perfeitos são resultados de uma sucessão matemática entre o quadrado perfeito anterior e uma progressão aritmética.

12 = 1
22 = 1 + 3 = 4
32 = 4 + 5 = 9
42 = 9 + 7 = 16
52 = 16 + 9 = 25
62 = 25 + 11 = 36
72 = 36 + 13 = 49
82 = 49 + 15 = 64
92 = 64 + 17 = 81
102 = 81 + 19 = 100...

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Rafael Asth
Rafael Asth
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.