Exercícios de Análise Combinatória

Resposta correta: c) 3 024 senhas.

Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.

1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:

• 9 opções para o algarismo das unidades;
• 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado por:

9.8.7.6 = 3 024 senhas

2ª maneira: usando a fórmula

Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.

Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:

Resposta correta: d) 5 005 maneiras.

Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.

Como uma equipe de voleibol compete com 6 jogadores, iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.

Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes.

Para solucionar esta questão, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem e multiplicar o número de opções entre as escolhas apresentadas. Temos:

6.4 = 24 maneiras diferentes.

Portanto, com 6 camisas e 4 calças uma pessoa pode se vestir de 24 maneiras diferentes.

Resposta correta: c) 720 maneiras.

Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença.

Como o número de elementos é igual ao número de ajuntamentos, então existem 720 maneiras de 6 amigos sentarem para tirar uma foto.

Resposta correta: a) 336 formas diferentes.

Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:

Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos:

Portanto, é possível formar o pódio de 336 formas diferentes.

Resposta correta: d) 24 combos diferentes.

Usando o princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas apresentadas. Assim:

4.3.2 = 24 combos diferentes

Portanto, os clientes podem montar 24 combos diferentes.

Resposta correta: a) 4 845 comissões.

Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular:

Resposta correta: 720 anagramas.

Cada anagrama consiste na reorganização das letras que compõem uma palavra. No caso da palavra FUNÇÃO temos 6 letras que podem ter suas posições modificadas.

Para encontrar o número de anagramas basta calcular:

Resposta correta: 24 anagramas.

F — — — — O

Deixando fixas as letras F e O na palavra função, estando no início e final, respectivamente, podemos permutar as 4 letras não fixas e, portanto, calcular P₄:

Sendo assim, existem 24 anagramas da palavra FUNÇÃO iniciados com F e terminados em O.

Resposta correta: 120 anagramas.

Se as letras A e O devem aparecer juntas como ÃO, então podemos interpretá-las como se fosse uma só letra:

FUNÇ ÃO; assim, temos que calcular P₅:

Desta forma, existem 120 possibilidade de escrever a palavra com ÃO.

Resposta correta: 120 possibilidades de foto e 48 possibilidades de Carlos e Ana estarem lado a lado.

Primeira parte: número de possibilidades dos membros da família se organizarem para tirar a foto

Cada forma de dispor as 5 pessoas lado a lado corresponde a uma permutação dessas 5 pessoas, uma vez que a sequência é formada por todos os membros da família.

O número de posições possíveis é:

Portanto, há 120 possibilidades de foto com os 5 membros da família.

Segunda parte: formas possíveis de Carlos e Ana ficarem lado a lado

Para que Carlos e Ana apareçam juntos (lado a lado), podemos considerá-los como uma única pessoa que irá permutar com as outras três, num total de 24 possibilidades.

Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Carlos e Ana podem trocar de lugar entre si, de 2 maneiras distintas.

Assim, o cálculo para encontrar o resultado é: .

Sendo assim, existem 48 possibilidades de Carlos e Ana tirarem a foto lado a lado.

Resposta correta: d) 150 comissões.

Para formar a comissão deve-se escolher 4 das 6 mulheres () e 2 dos 5 homens (). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números:

Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens.