Exercícios de Análise Combinatória


A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições.

Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação.

Exercícios comentados

1) Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?

Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.

1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.

Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:

  • 9 opções para o algarismo das unidades;
  • 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
  • 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
  • 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.

Assim, o número de senhas será dado por:

9.8.7.6 = 3 024 senhas

2ª maneira: usando a fórmula

Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.

Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:

A com 9 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a numerador 9 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 9 menos 4 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 9 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a numerador 9.8.7.6.5 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a 9.8.7.5 igual a 3 espaço 024 espaço s e n h a s

2) Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneira ele poderá escalar seu time?

Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.

Iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.

C com 15 vírgula 6 subscrito fim do subscrito igual a numerador 15 fatorial sobre denominador 6 fatorial espaço parêntese esquerdo 15 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 15 fatorial sobre denominador 6 fatorial espaço 9 fatorial fim da fração igual a numerador 15.14.13.12.11.10.9 fatorial sobre denominador 6.5.4.3.2.1.9 fatorial fim da fração igual a 5 espaço 005 espaço m a n e i r a s

Exercícios Resolvidos

1) De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças ?

Usando o princípio fundamental da contagem, temos: 6.4 = 24 maneiras diferentes.

2) De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?

Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença.
P com 6 subscrito igual a 6 fatorial espaço igual a 6.5.4.3.2.1 igual a 720 espaço m a n e i r a s

3) Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?

Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:

A com 8 vírgula 3 subscrito fim do subscrito igual a numerador 8 fatorial sobre denominador parêntese esquerdo 8 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 8 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a numerador 8.7.6.5 fatorial sobre denominador 5 fatorial fim da fração igual a 336 espaço f o r m a s espaço d i f e r e n t e s

4) Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?

Usando o princípio fundamental da contagem, temos:

4.3.2 = 24 combos diferentes

5) Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?

Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular:

C com 20 vírgula 4 subscrito fim do subscrito igual a numerador 20 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço parêntese esquerdo 20 menos 4 parêntese direito fatorial fim da fração igual a numerador 20 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço 16 fatorial fim da fração igual a numerador 20.19.18.17.16 fatorial sobre denominador 4 fatorial espaço 16 fatorial fim da fração igual a 4 espaço 845 espaço c o m i s s õ e s

Questões do ENEM

1) Enem - 2016

O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?
a parêntese direito espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço x espaço 8 fatorial fim da fração menos numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço x espaço 2 fatorial fim da fração b parêntese direito espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 8 fatorial fim da fração menos numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial fim da fração c parêntese direito espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço x espaço 8 fatorial fim da fração menos espaço 2 d parêntese direito espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 4 fatorial fim da fração mais 4 espaço x espaço 4 e parêntese direito espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 4 fatorial fim da fração mais 6 espaço x espaço 4

Alternativa a: numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço x espaço 8 fatorial fim da fração menos numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço x espaço 2 fatorial fim da fração

2) Enem - 2016

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

a parêntese direito espaço 10 ao quadrado. espaço 26 ao quadrado b parêntese direito espaço 10 ao quadrado. espaço 52 ao quadrado c parêntese direito espaço 10 ao quadrado. espaço 52 ao quadrado. numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial fim da fração d parêntese direito espaço 10 ao quadrado. espaço 26 ao quadrado. numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço 2 fatorial fim da fração e parêntese direito espaço 10 ao quadrado. espaço 52 ao quadrado. espaço numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço 2 fatorial fim da fração

Alternativa e: 10 ao quadrado. espaço 52 ao quadrado. numerador 4 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço 2 fatorial fim da fração

3) Enem - 2012

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Alternativa a: 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

4) Enem - 2017

Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

OpçãoFormato
ILDDDDD
IIDDDDDD
IIILLDDDD
IVDDDDD
VLLLDD

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.

Alternativa e:V

Para saber mais, leia também: