Exercícios de permutação (resolvidos e explicados)

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

As permutações fazem parte dos problemas de contagem. Utilizamos as permutações para conhecer a quantidade de ordenações dos elementos de um conjunto. Pratique seus conhecimentos sobre permutação e tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos.

Exercício 1

Dois amigos estavam brincando de lançar dados de seis faces. Sabe-se que saíram os números 4, 1, 2 e 5, não necessariamente nesta ordem. Quantas sequências de resultados poderiam ter acontecido?

Resposta: 24

Algumas ordenações de resultados poderiam ser:

1, 2, 4 e 5 ou
5, 4, 5 e 1 ou
4, 5, 1 e 2

Para determinar o número total de ordenações possíveis, calculamos uma permutação com quatro elementos distintos.

reto P com 4 subscrito igual a 4 fatorial igual a 4.3.2.1 igual a 24

Exercício 2

Um grupo de seis amigos foi assistir um filme no cinema e compraram seus ingressos para uma mesma fileira de cadeiras. Considerando haver um casal e que eles se sentaram em cadeiras vizinhas, de quantas formas esses amigos puderam se ajustar na fileira de cadeiras?

Resposta: 240

Como todos os elementos do conjunto "amigos" são considerados no cálculo, trata-se de um problema de permutação.

Para o cálculo do número total possível de permutações, consideramos 5 elementos, pois o casal deve estar sempre junto.

P com 5 subscrito igual a 5 fatorial espaço igual a espaço 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço 3 espaço. espaço 2 espaço. espaço 1 espaço igual a espaço 120

Ainda, destas 120 possibilidades, devemos multiplicar por dois, pois o casal pode trocar de lugar entre si.

Assim, a quantidade de maneiras possíveis dos amigos se organizarem na fileira de cadeiras é:

120 . 2 = 240

Exercício 3

Uma turma de 7 alunos está brincando no pátio aproveitando a hora do intervalo. Ao ouvir o sinal que informa o retorno para as salas de aula, os alunos se encaminham para formar uma fila. De quantas maneiras distintas os alunos podem formar a sequência da fila?

Resposta: 5040

O número total de modos possíveis para organizar a fila é uma permutação de 7 elementos distintos.

P com 7 subscrito igual a 7.6.5.4.3.2.1 espaço igual a espaço 5040

Exercício 4

Um fotógrafo está ajustando sua câmera para fotografar 5 crianças dispostas em um banco. Neste grupo há 3 meninas e 2 meninos. Uma possível arrumação das crianças para a foto seria:

menina vírgula espaço menino vírgula espaço menina vírgula espaço menino vírgula espaço menina

Considerando as posições nas quais as crianças podem se sentar no banco, de quantas formas o fotógrafo pode organizar os meninos e as meninas, obtendo fotos diferentes?

Resposta: 10

Este é um caso de permutação com elementos repetidos. Devemos dividir o número total de permutações pelo produto entre as permutações dos elementos que se repetem.

reto P com 5 subscrito com 3 vírgula 2 sobrescrito fim do sobrescrito igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço. espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador 5.4. riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado espaço. espaço 2.1 fim da fração igual a 20 sobre 2 igual a 10

Exercício 5

Quantos anagramas podem ser feitos com as letras da palavra PREFEITURA?

Resposta: 907 200

A palavra PREFEITURA possui 10 letras, sendo que algumas se repetem. A letra E aparece duas vezes, assim como o R.

Calculamos a divisão entre a permutação de 10 elementos e dividimos pelo produto das permutações de elementos repetidos.

reto P com 10 subscrito com 2 vírgula 2 sobrescrito fim do sobrescrito igual a numerador 10 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço 2 fatorial fim da fração igual a numerador riscado diagonal para baixo sobre 10 à potência de 5 fim do riscado.9.8.7.6.5.4.3. riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 fatorial fim do riscado espaço. espaço diagonal para cima risco 2.1 fim da fração igual a 907 espaço 200

Exercício 6

(UEMG 2019) Do conjunto de todas as permutações das letras da palavra PONTA, retira-se uma, ao acaso. Qual é a probabilidade de se retirar uma palavra que começa e termina com vogal?

a) 1/20

b) 1/10

c) 1/6

d) 1/5

Gabarito explicado

Passo 1: número de todas as permutações com as letras da palavra PONTA.

Como são cinco letras distintas, temos:

reto P com 5 subscrito igual a 5 fatorial espaço igual a espaço 5.4.3.2.1 espaço igual a espaço 120

Passo 2: número de permutações que começam e terminam com vogal.

Para a primeira letra há duas opções de vogais, já para última, só restará 1.

Para as consoantes há 3! possibilidades.

2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12

Passo 3: determinar a razão de probabilidade.

reto P igual a 12 sobre 120 igual a 1 sobre 10

Exercício 7

(EsPCex 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é

a) 1/5

b) 2/5

c) 3/4

d) 1/4

e) 1/2

Gabarito explicado

Passo 1: permutações totais.

Como são cinco elementos distintos, temos que o número de permutações de 5 elementos é igual a 5 fatorial.

5 fatorial igual a 5.4.3.2.1 igual a 120

Passo 2: permutações de números divisíveis por dois com os cinco algarismos.

Para ser divisível por 2 a condição é de que seja par. Assim, há duas opções para o último algarismo, o 2 e o 4.

Para as outras posições há 4! possibilidades.

4 fatorial.2 igual a 4.3.2.1.2 igual a 48

Passo 3: cálculo da probabilidade.

reto P igual a 48 sobre 120 igual a 2 sobre 5

Exercício 8

(EsFCEx 2022) Seja P o conjunto de permutações da sequência 1, 3, 6, 9, 12 para as quais o primeiro termo é diferente de 1. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de que o segundo termo seja 3 é igual a p/q, com p, q ∈ IN* e mdc(p, q) = 1. Sendo assim, q – p é igual a

a) 13.

b) 15.

c) 12.

d) 14.

e) 11.

Gabarito explicado

Passo 1: determinar a quantidade de casos totais possíveis no espaço amostral.

Da direita para esquerda, o primeiro número não pode ser um, assim, há 4 possibilidades para ocupar a primeira posição.

Para ocupar as outras posições há 4! possibilidades.

As permutações ficam:

1.4! = 4.4.3.2.1 = 96

Passo 2: determinar as possibilidades de ocorrência do evento o segundo ser três, sendo o primeiro diferente de um.

As permutações ficam:

3.1.3.2.1 = 18

Passo 3: razão da probabilidade.

A razão da probabilidade fica:

reto P igual a 18 sobre 96

Sendo p = 18 e q = 96.

No entanto, ainda há a condição de que o máximo divisor comum entre p e q seja 1, o que não ocorre com 18 e 96.

Devemos simplificar e testar frações equivalentes a 18/96.

Passo 4: simplificação da fração de probabilidade e determinação de p e q.

reto P igual a 18 sobre 96 igual a 9 sobre 48 igual a 3 sobre 16

Como o mdc (3, 16) = 1, p = 3 e q = 16.

Passo 5: conclusão.

q - p = 16 - 3 = 13

Aprenda mais sobre permutação.

Para mais exercícios, veja:

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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