Exercícios sobre princípio fundamental da contagem

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física

Estude com a lista de exercícios sobre o princípio fundamental da contagem com gabarito.

O princípio fundamental da contagem é uma ferramenta matemática na área da análise combinatória. Para compreender e ir bem nas avaliações é importante praticar. Aproveite e tire suas dúvidas com as respostas comentadas.

Questão 1

Uma pizzaria oferece as seguintes opções de sabores de pizza: frango, calabresa, presunto e vegetariana. Além disso, a pizzaria oferece três tamanhos de pizza: pequeno, médio e grande. Quantas composições diferentes de pizza podemos criar?

Resposta: 12 composições.

Para cada sabor há três opções de tamanho. Podemos usar o princípio fundamental da contagem para resolver o problema.

Temos duas escolhas independentes: a escolha do sabor , com quatro possibilidades, e a escolha do tamanho, com três opções.

Assim, o número total de combinações de pizza possíveis é:

4 (opções de sabor) x 3 (opções de tamanho) = 12

Portanto, há 12 combinações diferentes de pizza que podem ser feitas na pizzaria.

Questão 2

Considere que uma pessoa possui 3 camisas de cores diferentes (vermelha, azul e branca), 2 calças de modelos diferentes (jeans e social) e 2 sapatos de tipos diferentes (tênis e sapato social). De quantas modos diferentes essa pessoa pode se vestir?

Resposta: 12 combinações

As escolhas da camisa, da calça e do sapato são independentes. Isto significa que a escolha da cor da camisa não é um fator limitador para a escolha da calça e do sapato.

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos

3 camisas x 2 calças x 2 sapatos = 12 combinações

Questão 3

Uma loja de doces oferece 4 sabores de sorvete (chocolate, morango, baunilha e creme) e 3 coberturas (calda de chocolate, calda de caramelo e chantilly). Quantas combinações diferentes de sorvete com cobertura é possível elaborar na loja?

Resposta: 12 combinações.

4 (opções de sorvete) x 3 (opções de cobertura) = 12

Portanto, há 12 combinações diferentes de sorvete com cobertura que podem ser feitas na loja.

Questão 4

Um aluno precisa escolher duas atividades extracurriculares para participar na escola, uma cultural e outra esportiva. Ele pode escolher entre o Clube de Teatro, o Clube de Música ou o Clube de Dança. Além disso, ele deve escolher a equipe de Futebol ou a de Vôlei. Quantas escolhas diferentes o aluno pode fazer?

Resposta: 6 escolhas diferentes.

3 atividades culturais x 2 atividades esportivas = 6

Questão 5

Uma pessoa viajará de avião entre duas cidades onde, é necessário fazer conexão, pois nenhuma companhia oferece voos diretos. Da cidade A até a cidade B, onde será realizada a conexão, três companhias aéreas oferecem opções de voos. Da cidade B para a C, outras quatro companhias realizam este trajeto.

De quantas formas diferentes este passageiro pode viajar de A para C e, voltar para A, utilizando voos diferentes.

Resposta: 72 opções.

De A para B há 3 opções e de B para C há 4 opções. Pelo princípio fundamental da contagem, o caminho de ida possui:

3 . 4 = 12 opções

Para voltar de C para B, sem repetir o mesmo voo, há três opções, pois das quatro que ligavam estas duas cidades, uma já foi utilizada.

Da cidade B para A há 2 opções que ainda não foram utilizadas. Para a volta há:

3 . 2 = 6 opções

Ao total haverão:

12 . 6 = 72 opções

Questão 6

(Enem 2022) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.

Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é

a) 8.

b) 9.

11.

18.

24.

Gabarito explicado

Há 7 opções de modelos e 2 de motores.

Em relação os opcionais: bancos de couro, rodas de liga e central multimídia é possível escolher os três, dois, um e nenhum.

  • Bancos de couro, rodas de liga e central multimídia;
  • Bancos de couro e central multimídia;
  • Bancos de couro e rodas de liga;
  • Rodas de liga e central multimídia;
  • Bancos de couro;
  • Rodas de liga;
  • Central multimídia;
  • Nenhum.

Assim, em relação aos opcionais, há 8 escolhas possíveis.

Aplicando o princípio fundamental da contagem e considerando o número de cores como x, temos:

7 espaço. espaço 2 espaço. espaço 8 espaço. espaço reto x espaço maior que espaço 1 espaço 000112. reto x espaço maior que espaço 1 espaço 000reto x espaço maior que espaço numerador 1 espaço 000 sobre denominador 112 fim da fraçãoreto x espaço maior que espaço 8 vírgula 9

Desse modo, deve haver 9 cores no mínimo.

Questão 7

(Enem 2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão.

A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por

a) 6.

b) 8.

c) 12.

d) 16.

e) 24

Gabarito explicado

Para a primeira chave há duas opções, para a segunda chave duas opções, assim como para a terceira e para quarta.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, há:

2 . 2 . 2 . 2 = 16

Há 16 frequências diferentes.

Questão 8

As Resoluções do CONTRAN nº 590, de 24/05/2016, nº 279, de 06/03/2018, e nº 741, de 17/09/2018, estabeleceram um novo padrão das placas de identificação de veículos brasileiros, seguindo as regras do MERCOSUL. Segundo essas resoluções, “as Placas de Identificação Veicular [...] deverão [...] conter 7 (sete) caracteres alfanuméricos”. Assim, no Brasil, “a placa MERCOSUL terá a seguinte disposição: LLLNLNN, em que L é letra e N é número”, em substituição ao padrão pré-Mercosul, LLLNNNN.

Supondo que não haja restrição em relação aos caracteres em nenhum dos padrões apresentados, quantas placas a mais, em relação ao sistema antigo, poderão ser formadas com o novo padrão de emplacamento?

a) 16.

b) 26 ao cubo vezes 25 – 10 ao cubo vezes 9 espaço

c) 260 ao cubo vezes 26

d) 24.

e)

Gabarito explicado

Há 26 opções de letras e 10 opções de algarismos. Como não há restrições, é possível repetí-los.

Modelo Mercosul LLLNLNN

Usando o princípio multiplicativo, temos:

26.26.26.10.26.10.10 espaço igual a espaço 26 à potência de 4.10 ao cubo

Modelo pré-Mercosul LLLNNNN

26.26.26.10.10.10.10 igual a 26 ao cubo.10 à potência de 4

Questão 9

Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ .

O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.

Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.

De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?

a) 59

b) 60

c) 118

d) 119

e) 120

Gabarito explicado

A palavra E-d-u-a-r-d-o possui sete letras. Como as letras edu devem permanecer sempre juntas, temos:

edu-a-r-d-o

Construir anagramas significa embaralhar as letras. Neste caso, consideramos edu como um único bloco ou, uma letra.

edu-a-r-d-o possui cinco elementos.

Para a primeira escolha possui há 5 opções;

Para a segunda escolha há 4 opções;

Para a terceira escolha há 3 opções;

Para a quarta escolha há 2 opções;

Para a quinta escolha há 1 opções;

Como queremos determinar o número total de opções, utilizamos o princípio multiplicativo.

5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

No entanto, é preciso lembrar que uma destas 120 combinações já está sendo usada por outro usuário, que é o próprio nome eduardo.

Então, 120 - 1 = 119

Questão 10

(UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todas as questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de resposta é:

a) 80.

b) 16 à potência de 5.

c) 5 à potência de 32.

d) 16 à potência de 10

e) 5 à potência de 16

Gabarito explicado

São 5 alternativas na 1ª questão e 5 alternativas na 2ª questão e 5 alternativas na terceira questão…

Assim, temos uma sequência de multiplicações por cinco com 16 fatores.

5 x 5 x 5 x 5 x ... x 5

Utilizando a propriedade de multiplicação de potência de bases iguais, repetimos a base e somamos o expoente. Como o expoente é 1 em cada fator, a resposta é:

5 à potência de 16

Aprenda mais sobre contagem e análise combinatória com:

E siga praticando com mais exercícios de matemática do 2º ano do Ensino Médio.

Rafael C. Asth
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.